石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁自由振動(dòng)的解析解

張靖華, 司成龍, 馬 浩

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

石墨烯獨(dú)特的二維結(jié)構(gòu)使其具有許多優(yōu)良的力學(xué)特性[1],成為了非常理想的增強(qiáng)材料.將少量的石墨烯或其衍生物按特定方式加入基體,能大幅提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度[2].根據(jù)功能梯度材料[3-4]的設(shè)計(jì)理念,將石墨烯疊成的石墨烯片(graphene plate-lets,GPL)方向隨機(jī)且均勻地散布在每層基體中,而其含量沿厚度梯度變化,形成新一代復(fù)合材料,即功能梯度石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料(functionally graded graphene platelets reinforced composites,FG-GPLRC).該材料在航天、建材、電子信息、防腐涂層等領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景.FG-GPLRC可以通過(guò)改變GPL的分布方式、質(zhì)量分?jǐn)?shù)和幾何參數(shù)來(lái)獲得最優(yōu)的力學(xué)性能,有巨大的工程應(yīng)用潛力,因而其力學(xué)特性研究成為工程應(yīng)用中亟待解決的關(guān)鍵性問(wèn)題.

近幾年,FG-GPLRC結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性吸引了許多海內(nèi)外學(xué)者的研究興趣.在FG-GPLRC梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性研究方面,Kitipornchai等[5]分析了多孔納米梁的自由振動(dòng),Feng等[6]采用里茲法研究了GPL增強(qiáng)多層聚合物納米梁的非線性振動(dòng).這些分析都發(fā)現(xiàn),在基體中添加少量的GPL作為增強(qiáng)體可以明顯提高梁的固有頻率.此外,Chen[7]對(duì)FG-GPLRC多孔納米梁的非線性自由振動(dòng)進(jìn)行了研究,利用Timoshenko梁理論和Von-Kármán非線性應(yīng)變位移關(guān)系得到梁自由振動(dòng)的非線性控制方程,并采用Ritz法和直接迭代法求解得到梁的非線性振動(dòng)頻率.在FG-GPLRC板結(jié)構(gòu)振動(dòng)方面,Song等[8]對(duì)該復(fù)合板的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行了研究;Reddy等[9]采用有限元法研究了不同邊界條件下FG-GPLRC板的自由振動(dòng);Gholami和Ansari[10]基于三階剪切變形理論對(duì)FG-GPLRC矩形板的非線性振動(dòng)進(jìn)行了研究,并對(duì)GPL的分布模式、質(zhì)量分?jǐn)?shù)、GPL納米填料的幾何形狀和FG-GPLRC板的邊界約束等各種參數(shù)的影響進(jìn)行了分析.

目前已有對(duì)FG-GPLRC梁自由振動(dòng)的研究基本都是采用各種近似解法獲得數(shù)值結(jié)果,而對(duì)該問(wèn)題的控制方程進(jìn)行直接解析求解并獲得解析表達(dá)式方面的研究鮮有報(bào)道.本文將基于Euler-Bernoulli梁理論由哈密頓原理推導(dǎo)出FG-GPLRC梁的動(dòng)力學(xué)控制方程,并對(duì)自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行解析求解獲得固有頻率、振動(dòng)模態(tài)的解析表達(dá)式,同時(shí)進(jìn)行參數(shù)研究分析FG-GPLRC梁固有頻率的影響機(jī)理.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 FG-GPLRC物性參數(shù)

圖1 3種不同的GPL分布模式

式中:gGPL表示石墨烯的質(zhì)量分?jǐn)?shù);ρM和ρGPL分別表示聚合物基體和石墨烯的密度.

(1)

式中:lGPL、bGPL和hGPL分別表示GPL的長(zhǎng)、寬和高.

1.2 FG-GPLRC梁的控制方程

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論得到采用軸向位移u(x,t)和橫向撓度w(x,t)表示的梁軸向應(yīng)變?chǔ)舩為

(4)

(5)

根據(jù)式(5),并沿厚度積分得到梁橫截面的軸力Nx和彎矩Mx分別為

(6)

式中:A表示梁橫截面總面積;A11、B11和D11分別表示梁的拉壓剛度、拉-彎耦合剛度和彎曲剛度,可通過(guò)積分計(jì)算得到,即

基于哈密頓原理建立FG-GPLRC梁的動(dòng)力學(xué)控制方程,即

(7)

式中:δ表示變分;T、U和V分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力勢(shì)能.

本文研究梁的自由振動(dòng),系統(tǒng)外力勢(shì)能V=0,動(dòng)能和應(yīng)變能分別為

考慮線性橫向自由振動(dòng),忽略面內(nèi)慣性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性,將式(8)和式(9)代入式(7)變分可以得到梁自由振動(dòng)的微分方程為

聯(lián)立式(10)和式(11),消去軸向位移u可得關(guān)于撓度w的微分方程為

(12)

由于本文考慮的3種GPL分布模式均關(guān)于幾何中面對(duì)稱分布,所以拉-彎耦合剛度B11為0.因此,梁的振動(dòng)微分方程可簡(jiǎn)化為

(13)

1.3 動(dòng)力學(xué)控制方程的解析求解

為了簡(jiǎn)化方程,并使所求得的解具有一般性,引入如下無(wú)量綱量:

式中:AM11和IM1分別表示純基體梁的剛度系數(shù)和截面慣性矩.

通過(guò)代入無(wú)量綱量,化簡(jiǎn)可以得到FG-GPLRC梁線性自由振動(dòng)問(wèn)題的無(wú)量綱控制方程為

(14)

設(shè)式(14)具有分離變量形式的解,并考慮固有振動(dòng)可得:

W(X,τ)=ψ(X)f(τ)=ψ(X)cos(ωτ)

(15)

式中:ψ(X)表示振型函數(shù);ω表示固有振動(dòng)頻率.

再將式(15)代入式(14)并化簡(jiǎn)可得:

(16)

(17)

式(17)的通解為

(18)

式中:C1、C2、C3和C4表示待定積分常數(shù),可由邊界條件確定.

本文求解時(shí)考慮梁具有如下3種邊界條件:

兩端簡(jiǎn)支(S-S)

ψ(X)=0,ψ″(X)=0 (X=0,1)

(19)

兩端夾緊(C-C)

ψ(X)=0,ψ′(X)=0 (X=0,1)

(20)

一端夾緊一端簡(jiǎn)支(C-S)

(21)

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支FG-GPLRC梁,將邊界條件(19)代入式(18)可解得:

(22)

由于shβ≠0,以上各式聯(lián)立可解出C4=0,則式(18)簡(jiǎn)化為

sinβ=0

(23)

再將C1,C3,C4代入式(18),并由正則化方法得到兩端簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為

(24)

同理可得兩端夾緊邊界條件下FG-GPLRC梁的固有頻率為

(25)

模態(tài)函數(shù)為

(26)

式中:

一端夾緊一端簡(jiǎn)支邊界條件下FG-GPLRC梁的固有頻率為

(27)

模態(tài)函數(shù)為

(28)

式中:

當(dāng)石墨烯的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0時(shí),FG-GPLRC梁便退化為一般的均勻材料梁,由此可得均勻梁的固有頻率ω*,故FG-GPLRC梁的固有頻率可由相同邊界條件下均勻梁的固有頻率表示為

ω=cω*

(29)

2 數(shù)值算例分析

解析表達(dá)式的數(shù)值算例計(jì)算中選取純環(huán)氧樹(shù)脂作為基體材料,其彈性模量為3 GPa,密度為1.2 g/cm3,泊松比為0.34.綜合考慮各方面性能,梁的總層數(shù)NL為10,厚度h為0.01 m,長(zhǎng)厚比為10.石墨烯的彈性模量為1.01 TPa,密度為1.062 g/cm3,泊松比為0.186[11].如無(wú)特別指出,石墨烯的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.3%,幾何尺寸lGPL=2.5 μm,bGPL=1.5 μm,hGPL=1.5 nm.

為證明本文理論推導(dǎo)和求解過(guò)程的正確性,由解析表達(dá)式(25)和FG-GPLRC梁的固有頻率與相同邊界條件下均勻梁的固有頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式(29)同時(shí)計(jì)算出,當(dāng)GPL的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5%時(shí)前三階固有頻率的數(shù)值結(jié)果,并將該固有頻率與文獻(xiàn)[6]中使用里茲法所獲得的相應(yīng)結(jié)果同時(shí)列入表1對(duì)比分析.可以看出,用本文解析求解方法所得結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中數(shù)值方法所得結(jié)果極其接近,由此說(shuō)明本文理論推導(dǎo)和解析求解過(guò)程正確可靠.

表1 石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的前三階固有頻率比較(C-C,NL=10,l/h=20)

2種邊界條件下石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的前四階振動(dòng)模態(tài)圖如圖2所示.可以看出,該復(fù)合材料梁的振動(dòng)模態(tài)與均勻材料或者一般復(fù)合材料梁的模態(tài)相似,由此說(shuō)明梁的振動(dòng)模態(tài)與組成材料的特性無(wú)關(guān).

圖2 石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的前四階振動(dòng)模態(tài)

表2列出了在3種GPL分布模式下FG-GPLRC梁的固有頻率.可以看出,在同一邊界條件下X-GPL分布模式梁的固有頻率最高,然后是U-GPL分布,最后是O-GPL分布.由此說(shuō)明:GPL的分布模式不同時(shí)梁的剛度也不同,通過(guò)加入適當(dāng)?shù)牟痪鶆蚍植糋PL可以使功能梯度梁達(dá)到最佳的增強(qiáng)效果;當(dāng)GPL的質(zhì)量分?jǐn)?shù)不變時(shí)可以通過(guò)改變GPL的分布模式來(lái)改變梁的固有頻率,且當(dāng)GPL以X-GPL模式分布在梁的每層時(shí)固有頻率的增強(qiáng)效果最明顯.

表2 FG-GPLRC梁的前三階固有頻率(gGPL=0.3%,NL=10,l/h=20)

圖3繪出了在X-GPL分布模式下GPL質(zhì)量分?jǐn)?shù)變化時(shí)對(duì)應(yīng)的基頻,圖中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示GPL的寬高比和梁的基頻.可以看出:當(dāng)在聚合物基體中加入極少量GPL時(shí),梁的頻率會(huì)顯著增加;當(dāng)GPL在基體中所占比例越高時(shí),梁的固有頻率也隨之增大,這是由于梁的彎曲剛度隨之增大.

圖3 石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對(duì)S-S梁基頻的影響

圖4繪出了3種邊界條件下梁的基頻隨石墨烯片寬高比變化的關(guān)系曲線.可以看出,兩端夾緊邊界條件下FG-GPLRC梁的基頻最大,其次是一端夾緊一端簡(jiǎn)支邊界條件下FG-GPLRC梁的基頻,由此說(shuō)明約束越強(qiáng)基頻越大.但無(wú)論在哪種邊界條件下,隨著石墨烯寬厚比的增大,梁的基頻逐漸增大.

圖4 不同邊界條件下FG-GPLRC梁的基頻

為了進(jìn)一步分析石墨烯片的幾何尺寸對(duì)振動(dòng)頻率的影響,圖5和圖6繪出了兩端簡(jiǎn)支梁的基頻隨GPL幾何參數(shù)變化的關(guān)系曲線.圖中,橫坐標(biāo)分別表示GPL的寬厚比和長(zhǎng)寬比,縱坐標(biāo)表示梁的基頻,增強(qiáng)方式為X-GPL分布模式,GPL的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.3%.在石墨烯總含量和石墨烯寬度不變的情況下,較大的長(zhǎng)寬比意味著石墨烯片具有較大的表面積,較大的寬厚比意味著石墨烯中所含的單層石墨烯片較少[11].

圖5 石墨烯片的寬厚比對(duì)FG-GPLRC梁基頻的影響

圖6 石墨烯的長(zhǎng)寬比對(duì)FG-GPLRC梁基頻的影響

由圖5可以看出,隨著GPL寬厚比的增大,梁的基頻逐漸增大,由此說(shuō)明單層石墨烯片含量越少梁的增強(qiáng)效果越明顯.但當(dāng)GPL的寬厚比大于103時(shí),基頻的增大幅度變小,梁的增強(qiáng)效果變得不太明顯.因此,當(dāng)寬厚比大于103時(shí),再無(wú)法通過(guò)增大GPL的寬厚比來(lái)有效提高梁的彎曲剛度和基頻.

由圖6可以看出,隨著GPL長(zhǎng)寬比的增大,梁的基頻逐漸增大,即彎曲剛度增大,由此說(shuō)明具有較大表面積的石墨烯對(duì)于功能梯度梁基頻的影響更加明顯.但當(dāng)GPL的長(zhǎng)寬比較大時(shí),梁的一階固有頻率變化不再特別明顯.由此說(shuō)明,當(dāng)石墨烯的尺寸達(dá)到一定值時(shí)石墨烯的幾何尺寸改變對(duì)于基頻的影響將變得不明顯,甚至可以忽略不計(jì).

圖7繪出了在3種邊界條件下不同GPL分布模式對(duì)梁的基頻影響關(guān)系曲線.圖中,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示GPL的寬厚比或長(zhǎng)寬比和梁的基頻,GPL的長(zhǎng)寬比為1,寬厚比為103.可以看出,當(dāng)GPL的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.3%時(shí),3種分布模式的GPL對(duì)于梁都有一定的增強(qiáng)效應(yīng),都可以提高功能梯度梁的彎曲剛度和固有頻率.在X-GPL分布模式下梁的基頻最高,其次是U-GPL分布,最后是O-GPL分布.這是因?yàn)橄鄬?duì)于其他2種分布模式,X-GPL分布模式下梁因其上、下表面具有最高的GPL含量而具有最高的彎曲剛度.由此說(shuō)明,雖然不同的GPL分布模式對(duì)梁都有增強(qiáng)效應(yīng),但最有效的辦法是在功能梯度梁中加入X-GPL分布模式的石墨烯片.

圖7 3種GPL分布模式下FG-GPLRC梁的基頻

3 結(jié)論

本文對(duì)石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析,獲得梁的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)的解析表達(dá)式.并且通過(guò)數(shù)值算例分析探討了GPL分布模式、幾何尺寸、質(zhì)量分?jǐn)?shù)等參數(shù)對(duì)FG-GPLRC梁自由振動(dòng)的影響,得出如下主要結(jié)論:

1) 石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的振動(dòng)模態(tài)與均勻材料或者一般功能梯度材料梁的振動(dòng)模態(tài)相同.

2) 加入含量極少的GPL可以顯著提高FG-GPLRC梁的固有頻率,且GPL在基體中的含量越高增強(qiáng)效果越明顯.

3) 在GPL質(zhì)量分?jǐn)?shù)一定的情況下,石墨烯的幾何尺寸對(duì)梁的剛度和固有頻率有較大的影響;隨著GPL寬厚比和長(zhǎng)寬比的增大,梁的固有頻率逐漸增大;當(dāng)石墨烯的表面積較大且其中所含的單層石墨烯片較少時(shí)將表現(xiàn)出更好的增強(qiáng)效果.