帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階積分-微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性

張 晴, 李純碩, 李巧鑾

(河北師范大學(xué),數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050024)

0 引言

近些年來(lái),帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程引起了人們的極大關(guān)注,分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程邊值問(wèn)題解的存在性已經(jīng)有了很多研究成果[1-3],但是,含有變分?jǐn)?shù)階積分的p-Laplacian方程邊值問(wèn)題的研究相對(duì)較少.

Tian等[4]考慮了帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

正解的存在性,其中,α,β,γ∈R;1<α,γ≤2;β>0并且1+β≤α;ξ,η∈(0,1);a,b∈[0,+∞);1-aξα-β-1>0;1-bp-1ηγ-1>0并且ψp(s)=|s|p-2s,p>1,Dα是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子,應(yīng)用單調(diào)迭代法,得到正解的存在性結(jié)果.

考慮以下含有變Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的p-Laplacian方程:

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)下列條件成立.

A1)f∈C([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),(0,+∞)),a(t)是區(qū)間[0,1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).

首先給出本文用到的定義及相關(guān)引理.

定義1[5]令α>0是一個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù)u的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定義2[5]令β>0是一個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù)u的β階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義3[6]函數(shù)u的p(η)>0 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

引理1[5]若α>0,n=[α]+1,函數(shù)u∈L[0,1]∩C[0,1],則有

Iα(cDα(u(η)))=u(η)-a1-a2η-…-anηn-1,ai∈R,i=1,2,…,n.

引理2[7]設(shè)β≠1,h是[0,1]上的連續(xù)函數(shù),那么邊值問(wèn)題

(2)

(3)

注1 顯然,G(t,s) 是 [0,1]×[0,1] 上的連續(xù)函數(shù),并且G(t,s)≥0.

C1) {x∈P(ω,b,c)∣ω(x)>b}≠?,且對(duì)于x∈P(ω,b,c),ω(Tx)>b;

C3) 對(duì)于x∈P(ω,b,d),‖Tx‖>c,有ω(Tx)>b:

那么T至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2,x3,滿足 ‖x1‖

注2 如果c=d,則由引理4中的條件(C1)可以直接得到引理4的條件(C3).

2 主要結(jié)果

引入記號(hào)

引理5若 0<ξ<1,0<β<1,則對(duì)于h∈C[0,1],邊值問(wèn)題:

(3)

證令ψp(cDαx(t))=u(t),則邊值問(wèn)題(4)可簡(jiǎn)化為

由ψp(cDαx(t))=u(t) 得

上式兩邊同時(shí)求α階Riemann-Liouville積分,利用引理1得

由x(0)=x′(0)=0 得到a1=a2=0,所以

利用注1容易得到下面結(jié)論.

引理6若 0<ξ<1,0<β<1,且h(t)≥0,t∈[0,1],則邊值問(wèn)題(4)的解x(t)≥0.

引理7假設(shè)條件A1)成立,x(t)是方程(1)的解,那么

證

引理8假設(shè)條件A1) 成立,令算子T:P→U,

那么T:P→P是全連續(xù)算子.

故T(P)?P.

設(shè)H是P的有界子集,即,?M>0,使得對(duì)所有的x∈H,有 ‖x‖≤M.令

?x∈H,

并且

故T(H) 是一致有界的.

?x∈H,0≤t1

并且由p(s)-1∈(0,1) 有

所以T(H) 等度連續(xù),由Ascoli-Arzela定理得T(H) 是相對(duì)緊致的,因此T全連續(xù).

定理1假設(shè)條件A1) 成立,存在不同的正常數(shù)ω1,ω2,滿足

那么邊值問(wèn)題(1)至少存在1個(gè)正解x,滿足 min{ω1,ω2}≤‖x‖≤max{ω1,ω2},其中

證由引理8知T:P→P是全連續(xù)的,不失一般性,假設(shè) 0<ω1<ω2.令G1:={x∈P:‖x‖<ω1},G2:={x∈P:‖x‖<ω2}.對(duì)于x∈?G1,有

ω1=‖x‖,

并且

所以,對(duì)于x∈?G1,有 ‖Tx‖≤‖x‖.對(duì)于x∈?G2,由假設(shè)B2),有

并且

所以,對(duì)于x∈?G2,有 ‖Tx‖≥‖x‖.由引理3,邊值問(wèn)題(1)至少存在1個(gè)正解x.

定理2假設(shè)條件A1)成立,存在常數(shù)0

那么邊值問(wèn)題(1)至少存在3個(gè)正解x1,x2,x3,滿足‖x1‖

其中:

并且

即ω(x)>b.

下證 ‖x‖≤c.

并且

對(duì)于x∈P(ω,b,c),由假設(shè)O2),有

令s=ξτ,有

即ω(Tx)>b,所以引理4的條件C1) 成立.又由假設(shè)c=d以及注2 ,知引理4的條件C3) 成立,故邊值問(wèn)題(1)至少存在3個(gè)正解x1,x2,x3,滿足‖x1‖