全等三角形的“一”與“多”

文／李靜

中考復(fù)習(xí)中，經(jīng)常會出現(xiàn)一題多解、一題多變、多題歸一的情況。下面以全等三角形為例，提煉數(shù)學(xué)思想方法，希望能幫助同學(xué)們真正做到融會貫通。

類型一：一題多解

如圖1，P是∠CAB的平分線上的一點(diǎn)，分別在射線AB、AC上確定點(diǎn)D、E，使△APD≌△APE，你有什么辦法？并說明你的依據(jù)。

圖1

【分析】∠1=∠2，AP=AP是已知的，要確定點(diǎn)D、E，使△APD≌△APE。判定三角形全等的方法有ASA、SAS、AAS，還有SSS。從已知看，我們已經(jīng)有了一個(gè)角和一個(gè)邊，那么前三個(gè)判定定理會更適合。

方法1：以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作圓弧，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E，利用“SAS”來證明△APD≌△APE。

方法2：過點(diǎn)P作DE⊥AP，DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，利用“ASA”來證明△APD≌△APE。

方法3：過點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，利用“AAS”來證明△APD≌△APE。

方法4：過點(diǎn)P作PD∥AC交AB于點(diǎn)D，PE∥AB交AC于點(diǎn)E，利用“ASA”來證明△APD≌△APE。

【總結(jié)】在尋找點(diǎn)的過程中，一定要利用好已知的條件，明確解題目標(biāo)，有的放矢地去尋找點(diǎn)D和點(diǎn)E。

類型二：一題多變

以類型一中的方法3 畫對應(yīng)的圖形為例，連接DE，請猜想關(guān)于線段DE和線段AP之間存在什么樣的位置關(guān)系？

圖2

【分析】猜想“AP垂直平分線段ED”。證明方法不唯一，可以先通過三角形全等證明AE=AD，PE=PD，再用垂直平分線的定義來證明，也可以先通過證明△AEF≌△ADF或△PEF≌△PDF，再用垂直平分線的定義來證明。

【總結(jié)】由此我們可得到這樣一個(gè)結(jié)論：已知P是∠CAB的平分線上一點(diǎn)，若PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，連接ED交AP于點(diǎn)F，則AP垂直平分ED。如果這道題的條件做一些變化，該怎么處理？

變式已知：如圖3，P是∠CAB的平分線上一點(diǎn)，∠3+∠4=180°。求證：PD=PE。

圖3

圖4

方法1：在AB上取一點(diǎn)F，使AE=AF，如圖4，再通過∠1=∠2，AP=AP，根據(jù)“SAS”，得△AEP≌△AFP，從而∠3=∠AFP，EP=FP。又因?yàn)椤?+∠4=180°，∠AFP+∠PFD=180°，故∠PFD=∠4，從而PF=PD，所以PE=PD。

方法2：在AC上取一點(diǎn)F，使得AF=AD，如圖5，再通過∠1=∠2，AP=AP，根據(jù)“SAS”，得△ADP≌△AFP，從而∠4=∠PFA，F(xiàn)P=DP。因?yàn)椤?+∠4=180°，∠3+∠PEF=180°，故∠PEF=∠4，從而∠PEF=∠PFE，進(jìn)一步得到EP=FP，所以PE=PD。

圖5

方法3：通過證明兩個(gè)三角形全等這一途徑來達(dá)到證明兩條線段相等的目的。在AB上取一點(diǎn)F，使AP=FP，如圖6，則∠PFA=∠2=∠1。因?yàn)椤?+∠4=180°，∠4+∠PDF=180°，所以∠3=∠PDF，根據(jù)“AAS”，可得△AEP≌△FDP，從而PD=PE。

圖6

【總結(jié)】變式的解法不止這3 種。因此，在一題多解的基礎(chǔ)上，通過題目的變化，我們可以對三角形全等的判定進(jìn)行更加深入的思考。

類型三：多題歸一

已知：如圖7 所示，在△ABC中，∠CAB和∠CBA的平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，且AE=BE，∠3=40°。求證：PE=PD。

圖7

圖8

方法1：根據(jù)角平分線，聯(lián)想到作PF、PG、PH分別垂直AB、BC、AC，垂足分別為F、G、H。因?yàn)锳D、BE分別平分∠CAB、∠CBA，可以得到PH=PF=PG，且∠PHE=∠PGD=90°。我們很容易得到∠PDB=∠PEH=80°，根 據(jù)“AAS”，可證明△PEH≌△PDG，從而PE=PD。

方法2：在AB上取一點(diǎn)F，使AE=AF。由∠1=∠2，AP=AP，根據(jù)“SAS”，得到△AEP≌△AFP，從而∠EPA=∠FPA=60°，EP=FP，從而∠FPB=∠DPB=60°，結(jié)合∠3=∠4，PB=PB，根據(jù)“ASA”，可以證明△FPB≌△DPB，故DP=FP=EP。

圖9

【總結(jié)】我們從剛才幾個(gè)題目不難發(fā)現(xiàn)，可以找第三個(gè)量作為關(guān)聯(lián)量，來證明另外兩個(gè)量相等。這就是數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性。