一題多變 拓展創(chuàng)新

文／王涵

在函數(shù)圖像中求面積問題，因其綜合性強，涉及的知識點多，常常出現(xiàn)在中考壓軸題中。下面對一道基礎(chǔ)題進行變式、拓展，希望同學(xué)們能從中體會到基本數(shù)學(xué)思想的靈活運用。

【例題呈現(xiàn)】如圖1，一次函數(shù)y=2x-2 的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求此圖像與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積。

圖1

圖2

【解析】一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的是直角三角形，求得兩條直角邊長即可。由題意得A（1，0）、B（0，-2），易得

【變式一】如圖2，一次函數(shù)y=2x-2 的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于C、D兩點（C在D右側(cè)），與y軸交于點B，求△COD的面積。

【解析】聯(lián)立兩個函數(shù)表達式，可得交點坐標(biāo)C（3，4）、D（-2，-6），OB=2，則S△COD=。通過本題，同學(xué)們要能體悟到，在平面直角坐標(biāo)系下，常常將不平行或不垂直于坐標(biāo)軸的線段向平行或垂直于坐標(biāo)軸方向轉(zhuǎn)化，即“化斜為直”。

【拓展一】點A（m，6m）、B（3m，2n）、C（-3m，-2n）在函數(shù)（k≠0）圖像上。若S△ABC=2，則k=________。

圖3

【變式二】如圖4，一次函數(shù)y=2x-2 的圖像與二次函數(shù)y=2x2-4x-10 的圖像交于E、F兩點（E在F右側(cè)），點E、F下方的二次函數(shù)圖像上有一個動點P，求△EFP的面積最大值。

圖4

圖5

【解析】不難發(fā)現(xiàn)這與“變式一”有相似之處。首先，聯(lián)立兩個函數(shù)表達式，得到E（4，6），F(xiàn)（-1，-4），過點P作x軸的垂線交EF于點M（如圖5）。因為P為動點，那么△EFP的面積隨著點P的位置的變化而變化，可以建立△EFP的面積與點P的橫坐標(biāo)之間的二次函數(shù)模型。設(shè)P（m，2m2-4m-10），則M（m，2m-2），PM=-2m2+6m+8，所以S△EFP=S△MPE+。當(dāng)時，S△ABE的最大值為。

【拓展二】如圖6，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A和點B（5，0），D（1，3）為頂點，在該圖像上是否存在點G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？

圖6

圖7