快速迭代收縮閾值正則化改進算法在橋梁移動荷載識別中的應(yīng)用研究

陳震, 孫夢晴, 陳璐, 郭豐, 李曉克

(1.華北水利水電大學(xué) 土木與交通學(xué)院,河南 鄭州 450045; 2.中國建筑第七工程局有限公司,河南 鄭州 450004)

移動荷載識別屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題范疇,具有典型的不適定性,即其解的穩(wěn)定性、唯一性和存在性不能同時滿足。由于車輛動荷載不斷變化,直接測量車輛與橋梁之間的相互作用力往往難以實施,故根據(jù)實測橋梁動力響應(yīng)來反演橋面移動荷載的方法是一種行之有效的手段。迭代收縮閾值類稀疏正則化求解方法是反問題求解中較有前景的計算方法之一,其中迭代收縮閾值算法(Iterative Shrinkage Threshold Algorithm,ISTA)被廣泛應(yīng)用于線性逆問題求解及壓縮感知重構(gòu)算法中。

近年來,計算理論的發(fā)展極大地推動了移動荷載識別方法的發(fā)展。為了提高識別結(jié)果的穩(wěn)定性和準確性,許多研究者做了大量工作。趙瑜等[1]提出一種通過建立ARMA模型來辨識結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)的方法,在激勵數(shù)據(jù)未知時,基于ARMA模型的模態(tài)參數(shù)辨識法能夠準確地識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。楊慧等[2]采取BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對橋梁的動應(yīng)變進行訓(xùn)練,該方法可以快速識別車輛參數(shù),但對訓(xùn)練算法有較高的要求。針對移動荷載識別系統(tǒng)矩陣存在的不適定性,陳震等[3-4]通過研究得出,在迭代算法的基礎(chǔ)上結(jié)合改進的Gram-Schmidt正交化在保證識別精度的前提下可以減少迭代次數(shù)。WANG L J等[5]利用矩陣攝動法將移動荷載識別轉(zhuǎn)化為一系列確定的逆問題,提出一種用于識別移動荷載的快速迭代收斂法,該方法可有效提升算法的收斂速度。徐家云等[6]采用振型分解法求解車橋耦合振動動力方程,通過求解荷載脈動系數(shù)識別重載列車荷載。一般的橋梁動態(tài)稱重系統(tǒng)采用橋梁影響線計算靜態(tài)軸重,而忽略了動力效應(yīng)的影響,張偉超等[7]采用一階正則化和動態(tài)規(guī)劃法對不同類型的車輛種類進行荷載識別得出,基于移動荷載識別理論的動態(tài)稱重系統(tǒng)能有效利用結(jié)構(gòu)動力信息識別移動車輛荷載。PAN C D等[8]提出移動時間窗的概念來降低矩陣維數(shù),同時結(jié)合矩陣正則化有效節(jié)省了荷載識別時間。鄧露等[9]探討了橋梁動態(tài)稱重在不同類型橋梁上的適用性,并且指出路面平整度和噪聲會對識別效果產(chǎn)生不利影響。

本文采用一種快速迭代收縮閾值正則化改進算法(Iterative Regularization Improved Fast Iterative Shrinkage Threshold Algorithm,IRFISTA)求解移動荷載識別問題。通過引入迭代正則化,準確提取動態(tài)荷載的信號特征,以期在不增加計算量的前提下,提高ISTA算法的收斂速度。

1 基本理論

1.1 時域法識別移動荷載

以時域法為基礎(chǔ),建立車輛荷載與橋梁響應(yīng)力學(xué)映射關(guān)系,構(gòu)造車-橋系統(tǒng)方程。以簡支梁為例,假設(shè)忽略梁的轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形,橋梁跨長為L,單位密度為ρ,黏性阻尼比為C,抗彎剛度為EI,模型簡圖如圖1所示。

圖1 簡支梁移動車輛荷載識別模型

假設(shè)有一車輛移動荷載P(t)以速度c從梁的左端支座向梁的右端移動,則梁的振動微分方程可表示為:

(1)

利用模態(tài)疊加原理和卷積基本知識,在時域內(nèi)求解式(1),得到梁橋在t時刻距梁左端a處的彎矩響應(yīng)為:

(2)

(3)

2ξnωnω′ncos[ω′n(t-τ)]}。

(4)

采用時域法識別移動荷載時,荷載識別方程最終可寫為如下形式:

Ax=b。

(5)

式中:A∈Rm×n為車橋系統(tǒng)矩陣;b∈Rm×1為車橋系統(tǒng)響應(yīng),即加速度響應(yīng)、彎矩響應(yīng)經(jīng)過離散化形成的向量;x∈Rn×1為離散的移動荷載向量。

1.2 迭代收縮閾值算法

迭代收縮閾值算法是求解線性逆問題的經(jīng)典方法,隸屬于梯度類算法,其求解過程簡單便捷,可用于求解大規(guī)模不適定問題。當求解L1正則化問題時,該方法可利用當前點的信息進行迭代值的更新。

ISTA的求解步驟為:

xk+1=Sα(xk-2tkAT(Axk-b))。

(6)

Sα(e)i=sgn(ei)S(|ei|-α)+。

(7)

min(F(x))=f(x)+g(x)。

(8)

式中:f(x)是連續(xù)可微凸函數(shù);g(x)是連續(xù)凸函數(shù)。對于任意兩點x1、x2。RN滿足下式:

(9)

式中:L(f)為李普希茲常數(shù);對于任意L>0的數(shù)值,采用上式求解式(8),即可得到近似目標函數(shù)QL(x1,x2):

(10)

進而得到極小值點GL(x2)為:

(11)

由此可求得式(8)的迭代解為:

xk=GL(xk-1)。

(12)

1.3 快速迭代收縮閾值正則化改進算法

ISTA計算簡便,但同時存在迭代速度慢、計算精度低的缺陷。為此,本文在其基礎(chǔ)上進行正則化改進,通過在ISTA中引入加速因子yk+1,可得:

(13)

通過引入式(13)形成快速迭代收縮閾值正則化改進算法。該算法的迭代步驟為:

1)選取迭代初始解,首先給出迭代初始解的預(yù)估值:x=ATb,取閾值參數(shù)t1=1,迭代終止條件取為Tol;

2)采用式(12)對ISTA算法加速收斂,對ISTA算法進行正則化改進:

xk+1=Sα(xk)=Sα(yk-AT(Ayk-b))。

(14)

3)判斷‖xk+1-xk‖≤Tol是否滿足,如不滿足返回第2步重新求解。

ISTA求解的迭代值xk僅依賴于前一次的迭代值xk-1。IRFISTA求解的迭代值xk+1不僅依賴于前一次的迭代值xk,還依賴于次迭代值xk和xk+1的線性組合。橋梁移動荷載的識別誤差主要是由環(huán)境噪聲和大型車橋系統(tǒng)矩陣的不適定性引起的,改善識別方法的魯棒性和抗不適定性是提高移動荷載識別精度的有效手段。本文基于正則化改進的思想,在提高算法計算效率的前提下,通過引入正則化改進,有效提升了新算法的魯棒性和抗不適定性,進而實現(xiàn)橋梁移動荷載識別精度的提高。

2 數(shù)值仿真

以單跨簡支梁為例,梁長L=40 m,梁的單位長度密度ρ=12 000 kg/m,梁抗彎剛度EI=1.28×1011N·m2;數(shù)值計算分析頻段取0～50 Hz,采樣頻率取為200 Hz。橋梁前三階段固有頻率分別為3.2、12.8、28.8 Hz。車軸軸距為8 m,車輛勻速通過簡支梁,車速c=40 m/s。通過測量車輛行駛時簡支梁動力響應(yīng)識別橋梁移動車載,進而評價IRFISTA的有效性。移動車載前軸和后軸動態(tài)荷載真實值分別設(shè)為:

(15)

在識別過程中,采用相對誤差百分比(Relative Percentage Error,RPE)來評價荷載識別精度:

(16)

式中:Pidentified表示識別荷載;Ptrue表示真實荷載。

2.1 時變移動荷載識別

將本文提出的IRFISTA應(yīng)用于橋梁移動荷載識別,并將其與ISTA識別結(jié)果進行比較。數(shù)值模擬過程中考慮3類噪聲水平(1%、5%、10%)的干擾,荷載識別結(jié)果見表1,表1中 “a”代表加速度響應(yīng);“m”代表彎矩響應(yīng);1/4和1/2表示測點位于橋跨的1/4L和1/2L位置處;1/4a&1/2a表示采用1/4跨處的加速度響應(yīng)和1/2跨處的加速度響應(yīng)作為輸入響應(yīng)進行移動荷載識別,1/4a&1/2a&1/2m表示采用1/4跨處的加速度響應(yīng)、1/2跨處的加速度響應(yīng)、1/2跨處的彎矩響應(yīng)作為輸入響應(yīng)進行移動荷載識別。當誤差值大于100%時相對誤差百分比用“-”表示。帶下劃線數(shù)據(jù)為IRFISTA計算的識別誤差,無下劃線數(shù)據(jù)為ISTA的識別誤差。

表1 ISTA與IRFISTA識別誤差比較

由表1知:隨著噪聲水平的提高,ISTA識別誤差增大明顯,而IRFISTA識別誤差略有增大;兩種不同工況組合下的IRFISTA識別精度均高于ISTA的,表現(xiàn)出良好的抗噪性能。

圖2和圖3分別給出了1%和10%噪聲水平下,ISTA和IRFISTA在加速度響應(yīng)表1中工況1下兩軸車載的識別結(jié)果。由圖2和圖3可知,當單獨采用加速度響應(yīng)識別移動車載時,IRFISTA所識別的荷載與真實荷載的擬合度更高。

圖2 1%噪聲下ISTA與IRFISTA對兩軸車載的識別結(jié)果(工況1)

圖3 10%噪聲下ISTA與IRFISTA對兩軸車載的識別結(jié)果(工況1)

圖4和圖5分別比較了1%和10%噪聲水平下ISTA和IRFISTA在加速度響應(yīng)和彎矩響應(yīng)組合表1中工況2下兩軸車載的識別結(jié)果。當測量響應(yīng)數(shù)據(jù)增加后,兩種算法在工況2的識別精度較工況1的均略有增加,且IRFISTA的荷載識別結(jié)果較改進前的ISTA的有明顯優(yōu)勢。數(shù)值仿真結(jié)果表明:通過引入正則化改進,IRFISTA有效提升了ISTA的魯棒性和抗不適定性,進而實現(xiàn)橋梁移動荷載識別精度的提高。

圖4 1%噪聲下ISTA與IRFISTA對兩軸車載的識別結(jié)果(工況2)

圖5 10%噪聲下ISTA與IRFISTA對兩軸車載的識別結(jié)果(工況2)

2.2 收斂效率比較

由于車橋系統(tǒng)矩陣A為大型稀疏矩陣,通常難以計算其李普希茲常數(shù)。文中提出的新算法通過引入加速步驟以極少的額外計算量提高了收斂速度,使得ISTA的收斂速度從O(1/k)提升為O(1/k2),改進算法有利于提升荷載識別效率。

圖6對比了5%噪聲水平下,ISTA和IRFISTA在1/4a&1/2a&1/2m時函數(shù)值誤差。由圖6可知,與ISTA相比,IRFISTA的收斂效率更高且穩(wěn)定性更好,說明該算法在識別移動荷載時具有更高的識別效率。

圖6 ISTA與IRFISTA迭代效率比較

3 結(jié)論

基于移動荷載時域識別理論和ISTA特征,提出采用迭代正則化改進ISTA識別橋梁移動荷載,提出一種新的算法IRFISTA。數(shù)值計算結(jié)果表明:

1)IRFISTA在抗噪性能、識別精度等方面較ISTA有明顯的提高。改進后的IRFISTA在保持原有算法簡單性的前提下,實現(xiàn)了更精確地識別橋梁移動荷載。

2)兩種算法的識別效率均與迭代次數(shù)相關(guān),針對ISTA收斂速度慢的特點,通過引入加速步驟以極少的額外計算量提高了收斂速度,改進后的IRFISTA具有更高的識別效率。

3)對于移動荷載識別中最關(guān)注的識別精度和識別效率兩個方面,改進算法較ISTA有明顯提升。但當環(huán)境噪聲干擾較大時,在移動荷載時程的局部區(qū)域,IRFISTA識別荷載與真實荷載仍有一定的偏差,后續(xù)需針對該方法開展更深入的研究和探討。