淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

馬列紅

反思能力是指自覺地對數(shù)學(xué)的認(rèn)知活動進(jìn)行分析、總結(jié)、評價、反饋、控制和調(diào)節(jié)的能力。這種能力主要分為兩大部分：一是認(rèn)知過程中的自我監(jiān)控能力，二是自我調(diào)節(jié)能力。培養(yǎng)學(xué)生的反思能力旨在用控制論原理剖析課堂信息交流的規(guī)律。且培養(yǎng)學(xué)生的反思能力可以促使他們從新的角度、多層次、多側(cè)面地對問題及解決問題的思維過程進(jìn)行全面考慮、分析與思考，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質(zhì)，探索出問題的一般規(guī)律。

一、滲透數(shù)學(xué)的審美觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的反思意識

哲學(xué)數(shù)學(xué)家羅素曾說：“數(shù)學(xué)如果正確看待它，不但擁有真理，而且也具有至高無上的美。”數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，數(shù)學(xué)美也深深蘊(yùn)藏在它的基本結(jié)構(gòu)之中。我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常向?qū)W生揭示內(nèi)在美、對稱美、和諧美、奇異美、簡單美、統(tǒng)一美和類比美。

如在橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，就應(yīng)始終抓住橢圓具有的對稱美的基本特征，讓學(xué)生在美的追求中將其組織成為具有美學(xué)結(jié)構(gòu)的公式，從而促使學(xué)生在積極思維中完成學(xué)習(xí)任務(wù)的教學(xué)過程。下面是化簡過程的教學(xué)設(shè)計(jì)。

由定義得|MF1|+|MF2|=2a，

又由距離公式知[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]? （1）

教師：方程（1）能不能作為橢圓的方程？

（稍后）可以！追問：這個形式你滿意嗎？

（稍后）不滿意！因?yàn)樗环蠑?shù)學(xué)美的簡潔性特征，有繼續(xù)化簡的必要。

學(xué)生：經(jīng)兩次平方（根據(jù)化簡的常規(guī)方法）整理得：

[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]

[∴x2a2+y2a2-c2=1（a>c>0）]

教師：此方程雖比（1）簡單多了，但是從橢圓的對稱性，我們期望它的方程也應(yīng)具有對稱性，你能根據(jù)[a2-c2]的正負(fù)特點(diǎn)做出變換嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生輕松地設(shè)想下列方法：

學(xué)生：設(shè)[a2-c2=b2（b>0）]，

則[∴x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師給學(xué)生及時的贊揚(yáng)，最后指出引進(jìn)字母純粹是由于對美的追求，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)原來也是妙趣橫生，充滿了美的音符，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生帶著一種高漲的情緒繼續(xù)學(xué)習(xí)，這樣反思才能成為自覺的行為。

二、建立反思小檔案，養(yǎng)成反思習(xí)慣

人最有價值的行為和語言往往是自省和反思，而數(shù)學(xué)思維本身就是一種反思性思維，力求從最少的問題中發(fā)現(xiàn)最多的規(guī)律，受到最好的啟發(fā)，得到最佳的學(xué)習(xí)效果。首先，教師可讓學(xué)生準(zhǔn)備一本學(xué)習(xí)記錄冊和錯題集，要求學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)工作，寫下下節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和預(yù)習(xí)中遇到的困難。同時要求寫下學(xué)習(xí)心得、個人反思，做到對知識進(jìn)行分階段的大盤點(diǎn)，以求達(dá)到不斷建構(gòu)知識的目的。其次，要求學(xué)生把作業(yè)、練習(xí)卷、測試卷中較典型的、易混淆的題記到錯題本中，而后進(jìn)行兩個層次的反思。第一層次：錯在哪里？為什么出錯？是知識性錯誤，還是計(jì)算等其他原因?qū)е洛e誤？怎樣才能避免錯誤？另外可讓學(xué)生對同一類型的錯題做上標(biāo)記，以便下次翻閱。第二層次反思：鼓勵學(xué)生在整理錯題時利用知識點(diǎn)層層拓展的特點(diǎn)，寫下解此題時的心路歷程，對學(xué)習(xí)行為做出自我評價，并在批判的基礎(chǔ)上對知識進(jìn)行解構(gòu)與重組，以便對思維進(jìn)程具有更好的調(diào)控作用。事實(shí)上，整理錯題的過程又是一次深刻理解、鞏固知識的學(xué)習(xí)過程。以下是摘自一位學(xué)生錯題集中的題。

如橢圓[x29+y24=1]的焦點(diǎn)為F1 ，F(xiàn)2 ，點(diǎn) P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2 為鈍角時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是? ? ? ? ? ? 。

錯因：（1）用余弦定理cos∠F1PF2<0求解時計(jì)算錯誤，因?yàn)樽鲱}時心態(tài)浮躁，只求速度計(jì)算不仔細(xì)；

（2）沒有想到用極限思想先求90°的情形。

對策：在平時的學(xué)習(xí)過程中改掉有了思路就不具體計(jì)算的習(xí)慣。

心得：平時要養(yǎng)成一題多思和一題多變的學(xué)習(xí)習(xí)慣，要學(xué)會像老師那樣對題進(jìn)行一些加工和引申，這樣在測試時才能運(yùn)籌帷幄。

變式：（1）橢圓[x29+y24=1]的焦點(diǎn)為F1 ，F(xiàn)2 ，點(diǎn) P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2 為銳角時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是? ? ? ? ? ? 。

（2）若橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦點(diǎn)為F1 ，F(xiàn)2 ，點(diǎn) P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2 為銳角時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是? ? 。（不會）

該學(xué)生帶著疑問來尋求答案，教師應(yīng)對學(xué)生提出問題給予積極評價，讓學(xué)生感受到自己是一個思考者、發(fā)現(xiàn)者、探求者和成功者，并在課堂上以此為范例與其他學(xué)生一起探討解決。

讓反思成為學(xué)習(xí)生活中必不可少的一個重要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生真正養(yǎng)成反思習(xí)慣，厚積薄發(fā)，獲得成功，也讓學(xué)生喜歡反思，并在此基礎(chǔ)上提高自己，真正成為學(xué)習(xí)的主人。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思能力是我們數(shù)學(xué)教育工作者面臨的一個新課題，如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，是一個從理論到實(shí)踐都需要認(rèn)真研究的課題，需要我們在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索。