鏡片的棱鏡效果與處方棱鏡的計(jì)算方法探析

張丙寅　肖虹

眾所周知，鏡片由無數(shù)個(gè)棱鏡組合而成。正球面透鏡是由無數(shù)個(gè)基底相對(duì)的三棱鏡旋轉(zhuǎn)而成，且兩者基底朝向光心；負(fù)球面透鏡是由無數(shù)個(gè)頂相對(duì)的三棱鏡旋轉(zhuǎn)而成，且兩者基底朝向邊緣。透鏡對(duì)光線的偏折作用稱為透鏡的棱鏡效果，透鏡上任意一點(diǎn)的棱鏡效果就是位于該點(diǎn)所具有的棱鏡度。在專業(yè)教學(xué)與實(shí)際工作中，視光師經(jīng)常采用Prentice規(guī)則來計(jì)算棱鏡度的大小[1～2]（如公式1）。

P=CF 公式1

在使用Prentice規(guī)則計(jì)算棱鏡度時(shí)，為了讓初學(xué)者更簡易地掌握并判斷棱鏡度方向，可以將棱鏡度和距離用矢量來表示，并對(duì)球面透鏡、柱面透鏡、球柱面透鏡的棱鏡效果進(jìn)行矢量計(jì)算，從而能夠通過符號(hào)判斷棱鏡方向。同時(shí)利用棱鏡效果公式，進(jìn)一步推導(dǎo)眼鏡定配中制作移心棱鏡時(shí)移心量的計(jì)算方法。

1 球面透鏡的棱鏡效果

如圖1所示，計(jì)算球面透鏡Q點(diǎn)的棱鏡效果時(shí)，以光心O點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，先確定Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），即視心在鏡片的坐標(biāo)位置。將Q點(diǎn)棱鏡度作為矢量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，則應(yīng)以Q點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，Q點(diǎn)指向光心O點(diǎn)為距離矢量C，該矢量在坐標(biāo)系中可以分解為水平分量CH和垂直分量CV，坐標(biāo)為（-x，-y）。使用Prentice規(guī)則計(jì)算Q點(diǎn)的棱鏡效果時(shí)，可以采用以下公式。

圖1

P_H=C_HF=-xF 公式2

P_V=C_VF=-yF 公式3

注：P_H：Q點(diǎn)透鏡棱鏡屈光力的水平分量；P_V：Q點(diǎn)透鏡棱鏡屈光力的垂直分量；F：球面透鏡的屈光力。

使用360°標(biāo)示法來表示棱鏡度方向，將360°標(biāo)示法放在以Q點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系里，從而計(jì)算得到P_V和P_H的數(shù)值，其符號(hào)含義如下所示：

P_H>0，底向0°；P_H<0，底向180°

P_V>0，底向90°；P_V<0，底向270°

使用視光學(xué)中棱鏡基底4個(gè)基本方向（底向上BU、底向下BD、底向內(nèi)BI、底向外BO）表示時(shí)，根據(jù)公式2、3可知，當(dāng)計(jì)算的“-F”為正時(shí)，棱鏡方向與x、y的坐標(biāo)方向一致，當(dāng)“-F”計(jì)算為負(fù)時(shí)，棱鏡方向與x、y的坐標(biāo)方向相反。

2 柱面透鏡的棱鏡效果

圖2

如圖2所示，由于柱面透鏡軸向屈光力為0，軸上無棱鏡，在垂軸方向屈光力最大，所以棱鏡效果只發(fā)生在垂軸的方向[3]。計(jì)算柱面透鏡Q點(diǎn)的棱鏡效果時(shí)，以光心O點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，確定Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），柱面透鏡軸與x正半軸夾角為柱鏡軸位β。根據(jù)幾何關(guān)系，使用公式4計(jì)算Q點(diǎn)到柱面透鏡軸的垂直距離。

C=y cosβ-x sinβ 公式4

計(jì)算Q點(diǎn)棱鏡度時(shí)，以Q點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，Q點(diǎn)到柱面透鏡軸的垂直距離矢量在水平方向分量和垂直方向分量分別以公式5、6進(jìn)行計(jì)算。

C_H=-（y cosβ-x sinβ）×cos（π/2+β）=（y cosβ-x sinβ）×sinβ=C sinβ 公式5

C_V=-（y cosβ-x sinβ）×sin（π/2+β）=-（y cosβ-x sinβ）×cosβ=-C cosβ 公式6

Q點(diǎn)到柱面透鏡軸的垂直距離矢量表示為Csinβ、-Ccosβ，因此使用Prentice規(guī)則計(jì)算Q點(diǎn)的棱鏡效果時(shí)，可以采用以下公式。

PH=CF sinβ 公式7

PV=-CF cosβ 公式8

注：PH：Q點(diǎn)透鏡棱鏡屈光力的水平分量；PV：Q點(diǎn)透鏡棱鏡屈光力的垂直分量；F：柱面透鏡的屈光力。

使用360°標(biāo)示法表示棱鏡度方向，棱鏡符號(hào)表示方法與球鏡表示方法相同。使用視光學(xué)中棱鏡基底4個(gè)基本方向（底向上BU、底向下BD、底向內(nèi)BI、底向外BO）表示時(shí)，根據(jù)公式7可知，當(dāng)Fsinβ、-Fcosβ為正時(shí)，棱鏡方向與Q點(diǎn)的坐標(biāo)方向x、y一致；當(dāng)Fsinβ、-Fcosβ為負(fù)時(shí)，棱鏡方向與Q點(diǎn)的坐標(biāo)方向x、y相反。

通過公式7推導(dǎo)水平方向的棱鏡度，可以得到以下兩個(gè)公式。

P_H=CF sinβ=（y cosβ-x sinβ）×sinβ×F=-F×sin2β×x+F sinβcosβ×y 公式9

P_H=F×sin²β×x 公式10

由公式9可知，其與公式10計(jì)算水平方向棱鏡度不同，這是因?yàn)楣?0混淆了球面透鏡和柱面透鏡的棱鏡效果計(jì)算方法[4]，柱面透鏡的棱鏡效果只能發(fā)生在垂軸方向，所以使用Prentice規(guī)則中的C也指的是Q點(diǎn)指向柱面透鏡軸的垂直距離，因此，視光師在實(shí)際工作中使用公式9計(jì)算水平方向棱鏡度更準(zhǔn)確。

同理，通過公式8推導(dǎo)出垂直方向的棱鏡度，如公式11所示。

P_V=-CF cosβ=-（y cosβ-x sinβ）×cosβ×F=-F×sinβcosβ×x+F cos2β×y公式11

3 球柱面透鏡的棱鏡效果

計(jì)算球柱面透鏡的棱鏡效果時(shí)，將球柱面透鏡分解為球鏡和柱鏡的形式[5]進(jìn)行計(jì)算后再求和，也可以將球柱面透鏡分解為兩個(gè)正交柱鏡的形式進(jìn)行計(jì)算后求和，計(jì)算出來的棱鏡方向判斷與球鏡片相同。

P_H=-F_S×x+（y cosβ-x sinβ）×sinβ×F_C公式12

P_V=-F_S×y-（y cosβ-x sinβ）×cosβ×F_C公式13

注：F_S：球面透鏡的屈光力；F_C：柱面透鏡的屈光力。

4 移心棱鏡的計(jì)算方法

在視光學(xué)理論中，根據(jù)處方棱鏡大小，通過將鏡片的光學(xué)中心移動(dòng)到偏離瞳孔中心位置，從而在鏡片視心位置產(chǎn)生棱鏡效應(yīng)，稱為移心棱鏡。

移心棱鏡的水平和垂直方向的移動(dòng)距離也是通過Prentice規(guī)則計(jì)算后得到。移動(dòng)距離矢量以瞳孔中心為原點(diǎn)，即以視軸為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，Q點(diǎn)指向光心的距離矢量C，其坐標(biāo)表示為（x，y），可以發(fā)現(xiàn)該坐標(biāo)與以光心O點(diǎn)建立坐標(biāo)的數(shù)值相等，方向相反，再利用公式14、15計(jì)算后得到x、y的數(shù)值。

x=P_H/F 公式14

y=P_V/F 公式15

同理，斜軸球柱透鏡移心棱鏡以視軸為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)與以光心O點(diǎn)建立坐標(biāo)的數(shù)值相等，方向相反，因此公式12、13可以變換為公式16、17。

P_H=F_S×x+（-y cosβ+x sinβ）×sinβ×F_C=F_C×sin²β×x-F_C×cosβ×sinβ×y? 公式16

P_V=-F_S×y-（y cosβ-x sinβ）×cosβ×F_C=-F_C×sinβ×cosβ×x+F_C×cos²β×y公式17

令：

A=F_C×sin²β 公式18

B=F_C×cosβ×sinβ 公式19

C=F_C×cos²β 公式20

將公式18、19、20帶入公式16、17，得到公式21、22。

x=（C×P_H+B×P_V）/F_C公式21

y=（B×P_H+A×P_V）/F_C公式22

計(jì)算斜軸球柱移心棱鏡的移心量時(shí)，可以使用公式21、22推算得之。

需要注意的是，對(duì)于單純斜軸柱面透鏡，由公式7、8可知，水平方向棱鏡與垂直方向矢量以及軸位存在以下關(guān)系（如公式23），從而得到C的大小，但由公式4無法推導(dǎo)出x、y的數(shù)值。如果軸位在水平或垂直方向上，則垂軸方向棱鏡為0，距離為0，可以計(jì)算出移心量的大小。

P_H/P_H=-tanβ 公式23

5 結(jié)論

通過以上公式推導(dǎo)，對(duì)于鏡片的棱鏡效果和棱鏡移心量的計(jì)算，筆者得出以下結(jié)論：

a. 可以利用公式2、3計(jì)算球面棱鏡某一點(diǎn)的棱鏡大小，并根據(jù)符號(hào)進(jìn)行棱鏡方向的判斷；

b. 在實(shí)際工作中，視光師應(yīng)使用公式9、11來計(jì)算斜軸柱面透鏡的棱鏡效果，而非使用公式10進(jìn)行計(jì)算；

c. 計(jì)算移心棱鏡移心量時(shí)，是以視軸為原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系，因此Q點(diǎn)指向光心的距離矢量C，其坐標(biāo)與以光心為原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)方向相反；

d. 計(jì)算斜軸球柱移心棱鏡的移心量時(shí)，推薦使用公式21、22進(jìn)行計(jì)算；

e. 對(duì)于單純斜軸柱面透鏡形成的移心棱鏡，很難通過公式確定x、y的數(shù)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 王靜.棱鏡眼鏡棱鏡度和棱鏡基底取向檢測(cè)方法的探討[J].計(jì)量與測(cè)試技術(shù)，2009，36（05）：28-29+31.

[2] 朱嫦娥.移心棱鏡眼鏡的三種制作方法之比較分析[J].中國眼鏡科技雜志，2020（09）：112-115.

[3] 張萍輝.快速確定三棱鏡鏡片的加工中心[J].中國眼鏡科技雜志，2017（01）：101-103.

[4] 謝銀月，李湘寧.自動(dòng)焦度計(jì)定量計(jì)算式的研究[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（02）：161-164.

[5] 眼鏡光學(xué)技術(shù)[M].人民衛(wèi)生出版社，朱世忠，余紅，2019.

作者單位：1.天津職業(yè)大學(xué)

2.天津市康視標(biāo)準(zhǔn)眼鏡有限公司

本研究成果為天津市科技特派員入駐天津市康視標(biāo)準(zhǔn)眼鏡有限公司時(shí)，與企業(yè)共同完成。由天津職業(yè)大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：20181108）資助。