數(shù)形結(jié)合，化此題無(wú)解為一題多解

龐海燕

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

正弦定理和余弦定理在解三角形中有著舉足輕重的作用，學(xué)生利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，求邊算角?？晒P者在教學(xué)時(shí)碰見(jiàn)下面這道題，著實(shí)難住了一些學(xué)生，連呼無(wú)法解。

例 [ΔABC]中，角[A，B，C]所對(duì)的邊分別為[a，b，c]，若[A=π3]，則[a（cosC+3sinC）]的值為（）

學(xué)生在課堂上反映無(wú)論用正弦定理還是余弦定理，想直接將條件實(shí)行邊角轉(zhuǎn)換，都很難突破。有的學(xué)生嘗試將[cosC+3sinC]合一變形，得到[2asin（C+π6）]或[2acos（C-π3）]，又苦于算不下去。

二、一題多解

教師引導(dǎo)：“如果數(shù)不行，形行不行？”學(xué)生就此展開(kāi)了討論，得出如下三種解法。

解法一：如圖1，作[BD⊥AC]于[D]，有

[a（cosC+3sinC）=acosC+3asinC=CD+3BD]，知道[CD+AD=AC=b]，而上式中[BD]的系數(shù)[3]該如何處理呢？注意到[π3]三角函數(shù)值的特殊性，有[3BD =? 33BD? +? 233BD? =? BDtanA? +? BD32=AD+BDsinA=AD+AB? ]，于是有[CD+3BD=CD+AD+AB=AC+AB=b+c]，求得答案[B]。

反思：在圖形中找到條件中數(shù)式對(duì)應(yīng)的幾何線段，系數(shù)[3]的處理充分應(yīng)用[π3]的三角函數(shù)值，提升學(xué)生的數(shù)感，落實(shí)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

解法二：如圖2，[a（cosC+3sinC）=2asin（C+π6）]，作角[A]的角平分線[AE]交[BC]于[E]，則[∠AEB=C+π6]，且[sin∠AEB=sin（C+π6）=sin∠AEC]。[ΔABE]中，由正弦定理，[BEsin∠BAE=ABsin∠AEB]，得[BEsin∠AEB=ABsin∠BAE=c2]，[ΔACE]中，由正弦定理，[CEsin∠CAE=ACsin∠AEC]，得[CEsin∠AEC=ACsin∠CAE=b2]，[BEsin∠AEB+C E sin ∠ AEC = B C sin ∠ AEB =a sin ∠ AEB = b+c2] ，[2asin（C+π6）=2?b+c2=b+c。]

反思：在圖中作出[C+π6]，是本方法的核心。從[π3]到[π6]，角平分線很關(guān)鍵，再到[C+π6]，外角定理發(fā)揮了作用，提升學(xué)生以形助數(shù)，由數(shù)輔形，落實(shí)邏輯推理核心素養(yǎng)。

解法三：不妨假設(shè)[C>π3]（[C≤π3]類(lèi)似可得），如圖3，[a（cosC+3sinC）=2acos（C-π3）]，在[AB]上取點(diǎn)[F]，使得[∠ACF=π3]，則[∠BCF=C-π3]，[ΔACF]為等邊三角形。延長(zhǎng)[CF]至[G]，過(guò)[B]作[BG⊥AG]。[2acos（C-π3）=2acos∠BCF=2CG=2（FG+CF）=2FG+2CF=BG+GA+AC]，由[CF=AF=AC]，得[BG+GA+AC=c+b]。

反思：在圖中作出[C-π3]，再到[2acos（C-π3）]的圖形轉(zhuǎn)化，法二比法三更具挑戰(zhàn)，前面形轉(zhuǎn)數(shù)的艱辛卻也換來(lái)運(yùn)算的暢快，學(xué)生從這一過(guò)程中深刻體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的妙處。

實(shí)際上，本題直接使用正弦定理也可得出答案，而學(xué)生的卡點(diǎn)主要是系數(shù)的處理。于是有下面的解法。

解法四：[a（cosC+3sinC）=2RsinAcosC+23sinAsinC]，由[sinA=32]，代入上式得

[2R（sinAcosC+32sinC）=2R（sinAcosC+12sinC+sinC）]

[=2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R（sin（A+C）+sinC）=2R（sinB+sinC）=b+c]

三、教學(xué)反思

正余弦定理的解題教學(xué)主要圍繞公式計(jì)算，課堂上這道借助于數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解三角形的題目，解開(kāi)了學(xué)生的“數(shù)”的困擾，也為他們打開(kāi)了“形”的大門(mén)。實(shí)際上，正余弦定理、射影定理的證明本身也可以從形出發(fā)，實(shí)現(xiàn)多種方法的證明，教學(xué)中可以做滲透，舉例如下。

由圖4，以銳角[ΔABC]為例，作[AD⊥BC]于[D]，有[AD=csinB=bsinC]，化簡(jiǎn)得[csinC=bsinB]，同理[asinA=csinC]，正弦定理得證；[BC=BD+CD=ccosB+bcosC=a]，同理[acosB+bcosA=c]，射影定理得證。

[AD=csinB，CD=BC-BD=a-ccosB]，[ΔACD]中根據(jù)勾股定理，得[b2=（a-ccosB）2+（csinB）2，]即[b2=a2+c2-2accosB]，余弦定理得證。

正如華羅庚教授說(shuō)的：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)學(xué)中，一個(gè)對(duì)象用不同領(lǐng)域的方式表示并不是數(shù)學(xué)游戲，它標(biāo)志著看問(wèn)題角度的變化，會(huì)帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容變化。教師在利用正余弦定理解三角形的教學(xué)過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生多視角來(lái)分析問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)一題多解，多題一解，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。