資產(chǎn)組合下投資者最優(yōu)清算策略研究

于爽 李鵬

摘要：當(dāng)投資者需要進(jìn)行資產(chǎn)交易時，投資者的每筆交易都會產(chǎn)生暫時性和永久性的價格沖擊。由于資產(chǎn)之間的交叉沖擊，在進(jìn)行一種資產(chǎn)交易時也要考慮對另一種資產(chǎn)產(chǎn)生的影響。為了尋求一種交易策略在限定時間內(nèi)清算資產(chǎn)并獲取最大的收益，可以利用動態(tài)規(guī)劃原理，求解模型對應(yīng)的HJB（Hamilton Jacobi Bellman）方程得到最優(yōu)的執(zhí)行策略，并將最優(yōu)的執(zhí)行過程拆分為基準(zhǔn)過程與追蹤比率，可以更直觀地對策略結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)解釋。

關(guān)鍵詞：資產(chǎn)組合；動態(tài)規(guī)劃原理；HJB方程；最優(yōu)執(zhí)行

2022年，全國商品住宅銷售面積下降，產(chǎn)業(yè)利潤不斷下滑，房地產(chǎn)進(jìn)入振蕩期，隨著恒大、碧桂園等大量房企杠桿率過高，債務(wù)壓力大，房地產(chǎn)的前景變得不容樂觀。因此，大量相關(guān)股票、債券遭遇拋售，面對此類情形，投資者產(chǎn)生了出售大量相關(guān)資產(chǎn)的需求。投資者要考慮投資者如何在賣出或買入大量的金融資產(chǎn)時，最小化由于買賣資產(chǎn)而對市場產(chǎn)生價格波動的不利影響。

為了解決交易的最優(yōu)執(zhí)行問題，Bertsimas和Lo建立了線性的價格沖擊模型，給出了模型的離散最優(yōu)控制解，以最小化預(yù)期交易成本。Almgren和Chris在Bertsimas和Lo模型的基礎(chǔ)上，將交易成本的平方項作為風(fēng)險規(guī)避標(biāo)準(zhǔn)。Ahn和Biais等人在實證分析中發(fā)現(xiàn)，交易量、訂單流和執(zhí)行成本都呈現(xiàn)典型的U型日內(nèi)模式。

此后，Pereira和Zhang提出一個考慮隨機(jī)價格影響的多期投資組合選擇模型。相對于單個資產(chǎn)的研究，資產(chǎn)組合下的最優(yōu)執(zhí)行策略更具現(xiàn)實研究意義，例如，Park和Van Roy研究在無限時間下投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題。Cartea和Gan考慮了一個具有協(xié)整資產(chǎn)的連續(xù)時間的最優(yōu)執(zhí)行問題。為了模擬真實金融市場中的狀態(tài)變化，Ma提出了一種帶有多狀態(tài)的暫時性與永久性沖擊的最優(yōu)執(zhí)行策略。

一、投資組合的執(zhí)行模型

假設(shè)投資者將T＞0固定為交易期限，可以考慮多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題：投資者計劃在固定的時間段[0，t]內(nèi)清算他的資產(chǎn)組合。設(shè)向量Q0∈Rd表示投資組合的初始庫存，投資者要考慮資產(chǎn)組合的交易速度，用表示投資者的交易速度，Qt表示投資者在t時刻的庫存過程，Qt滿足微分方程：

dQt=－vtdt? （1）

投資者在下達(dá)市價單時會對資產(chǎn)價格產(chǎn)生沖擊，通常情況下，賣出訂單推低價格，而買入訂單推高價格。令向量St∈Rd表示t時刻投資者的d維資產(chǎn)，資產(chǎn)價格過程的動態(tài)性表示為：

（2）

式中，Pt是表示市場中其他投資者凈永久沖擊的d×1維向量，B是衡量其他投資者永久價格沖擊而產(chǎn)生的對資產(chǎn)價格敏感性的d×d維的正定矩陣，σs是d×d維的非退化矩陣，并且Σs=σsTσs。其中，對角線元素對應(yīng)，單個股票的自身永久價格沖擊，而其非對角線元素對應(yīng)著其他股票的交叉永久價格沖擊。

為了量化市場中其他投資者的凈永久價格沖擊，假設(shè)Pt遵循如下的均值回復(fù)過程：

（3）

這里的Φ是一個具有非負(fù)元素d×d維的對角矩陣，代表著平均回歸率。σp是d×d維的常系數(shù)波動矩陣，并且Σp=σpTσp。令與之間的相關(guān)矩陣為pdt，p是一個d×d維的矩陣，并且。來自其他投資者 Pt的凈永久價格沖擊對資產(chǎn)價格的凈需求壓力有著這樣的解釋，令（BPt）l表示向量BPt的第i個元素，對于i=1，2，……，d。當(dāng)（BPt）l為正值時，表示目前市場中第i個資產(chǎn)，當(dāng)市場上資產(chǎn)的買家多于賣家，當(dāng)（BPt）l為負(fù)值時，正好相反。

除了永久性的價格沖擊外，投資者的交易也會導(dǎo)致暫時性的價格沖擊。然而，與永久價格沖擊的情況不同，投資者交易的臨時價格沖擊不會影響資產(chǎn)價格St，但會影響資產(chǎn)的執(zhí)行價格。根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)，假設(shè)臨時價格沖擊是線性的，并定義資產(chǎn)組合的執(zhí)行價格的向量StE∈Rd為：

StE=St －? fvt （4）

其中，f表示投資者在執(zhí)行資產(chǎn)組合的清算時對資產(chǎn)價格的暫時性沖擊，f是d×d維的矩陣，f的對角元素對應(yīng)單個股票的自身臨時價格沖擊，而非對角元素對應(yīng)其他股票的交叉臨時價格沖擊。

投資者按市值計價的財富，表示為，其中，投資者以設(shè)定的執(zhí)行價格進(jìn)行清算資產(chǎn)產(chǎn)生的收入過程表示為：

（5）

初始財富。

考慮投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題，投資者的目標(biāo)是在固定的時間范圍[0，T]內(nèi)清算其整個投資組合，并根據(jù)以下績效標(biāo)準(zhǔn)最大化其預(yù)期終端財富：

（6）

這里的表示為的條件期望。

上式中投資者的績效標(biāo)準(zhǔn)包括三個部分：第一，投資者在終端時間T的財富；第二，表示在終端時間清算剩余股份獲得的收入，假設(shè)時間T的線性臨時價格沖擊系數(shù)為κ，κ是Rd×d維的正定矩陣?？冃?biāo)準(zhǔn)的最后一項表示運(yùn)行庫存成本，表示懲罰矩陣，是Rd×d維的正定矩陣。特別說明的是，該懲罰項不會導(dǎo)致投資者現(xiàn)金頭寸的任何現(xiàn)金損失，但會影響最佳交易速度。換句話說，懲罰矩陣代表投資者進(jìn)行交易的緊迫程度。

投資的交易目標(biāo)是選擇其交易速度以最大化投資績效，因此投資者的價值函數(shù)定義為：

（7）

其中，是由個可預(yù)測過程的一組可容許策略集，使得。將投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題總結(jié)為以下隨機(jī)控制問題：

（8）

二、最優(yōu)執(zhí)行策略

在解決隨機(jī)控制問題時，通常采取動態(tài)規(guī)劃原理求解，為了簡寫符號，記號 ，

考慮下列HJB方程：

（9）

其中，

（10）

終端條件

設(shè)上式HJB方程的擬設(shè)為

（11）

通過將擬設(shè)（11）代入（9）式中的HJB方程，可以得到最優(yōu)交易策略是以下等式的解：

（12）

為了得到最優(yōu)的交易策略，令（12）式中的目標(biāo)函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為0便可求得最優(yōu)的交易策略

（13）

將擬設(shè)式（11）代入（9）式中的HJB方程可得

（14）

然后，匹配項和剩余項導(dǎo)出下列的耦合微分方程。

（15）

（16）

（17）

（18）

求解上述微分方程組可得最終結(jié)果為：

（19）

（20）

（21）

（22）

綜上所述，最終可得最優(yōu)的交易策略：

根據(jù)上式可以得知當(dāng)時，對于所有的，都有正定矩陣。在這種情況下，最優(yōu)交易策略可以重寫為下列式子：

（23）

其中，跟蹤率和基準(zhǔn)定義為：

（24）

（25）

根據(jù)（23），最優(yōu)交易策略可以表示為和的乘積。矩陣可以解釋為投資者清算其資產(chǎn)的比率，其完全由投資者的臨時和永久價格沖擊決定。其中，矩陣和的對角線元素為單只股票的自身（永久性和臨時性）價格沖擊。其他條件不變時，當(dāng)每個股票的自身價格沖擊增加時，的對角線元素會隨之減少。

此外，可以解釋為基準(zhǔn)過程，當(dāng)前凈需求壓力中與系數(shù)矩陣呈線性關(guān)系，并且體現(xiàn)了凈價格壓力的持續(xù)性。代表在時間t≥0時投資者投資組合的庫存，因此，表示投資者應(yīng)調(diào)整其交易策略，以跟蹤基準(zhǔn)過程。與的情況一樣，（25）中的基準(zhǔn)包含股票的自身和交叉價格沖擊。

根據(jù)（24）和（25），多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)交易策略意味著應(yīng)以的速率向基準(zhǔn)平倉。由于股票的自身和交叉價格沖擊，投資者在低沖擊下會表現(xiàn)出更積極地跟蹤基準(zhǔn)的交易策略。

三、數(shù)值模擬

本節(jié)將討論投資者在固定的期限范圍內(nèi)清算兩個資產(chǎn)的情況，利用數(shù)值模擬模擬價格變動以及清算資產(chǎn)的過程。在同時存在臨時和永久的價格沖擊的情形下，投資者在進(jìn)行清算時不僅需要考慮價格沖擊效應(yīng)，還要考慮進(jìn)行多資產(chǎn)清算時資產(chǎn)之間交叉沖擊效應(yīng)。本節(jié)將進(jìn)行數(shù)值模擬，其中的模型參數(shù)如表1所示。

下圖分別展示了資產(chǎn)1與資產(chǎn)2在固定期限內(nèi)的最優(yōu)執(zhí)行策略、基準(zhǔn)過程、以及庫存水平。

由上圖可以得知，當(dāng)前存與基準(zhǔn)過程之間的差距較大時，投資者的交易會變得積極，這是由于基準(zhǔn)過程代表資產(chǎn)的當(dāng)前凈需求。此外，資產(chǎn)2的清算過程顯得更加積極，這是由于資產(chǎn)2的價格影響系數(shù)產(chǎn)生的影響，也就是說在清算期末，如果資產(chǎn)未清算完畢，投資者不得不清算自己的剩余資產(chǎn)，由于價格沖擊的存在，價格的變動會不利于投資者清算，當(dāng)存在較大的價格影響系數(shù)時，投資者會傾向于在期限末前清算所有的資產(chǎn)，以避免產(chǎn)生較大的價格沖擊。

四、結(jié)語

本文主要介紹了多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)執(zhí)行過程，在清算過程中考慮了永久和暫時的沖擊效用，通過將大的交易目標(biāo)拆分為較小的子目標(biāo)規(guī)避部分沖擊。在模型中，將最優(yōu)執(zhí)行過程分為基準(zhǔn)過程與追蹤比率，使最優(yōu)執(zhí)行過程有了更加明顯的經(jīng)濟(jì)解釋。也就是說，投資者應(yīng)將庫存清算到一個代表市場凈需求壓力的基準(zhǔn)水平，但當(dāng)投資者向基準(zhǔn)點交易時，交易速度會受到價格沖擊的影響。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：于爽（1998），男，河南省開封市人，碩士研究生，主要研究方向為金融信息工程；李鵬（1977），河南省衛(wèi)輝市人，副教授，主要研究方向為計算數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)。