聯(lián)合退相位噪聲下量子囚徒困境納什均衡分析

馬思佳 張舒寧 王奕涵 張新立

摘要： 為討論量子囚徒困境模型在聯(lián)合退相位噪聲信道影響下納什均衡策略情況，將聯(lián)合退相位噪聲引入到量子博弈中，通過MW量子化方案對囚徒困境博弈模型進(jìn)行量子化，建立了聯(lián)合退相位噪聲信道下的量子囚徒困境博弈模型。通過討論發(fā)現(xiàn)，在最大糾纏的條件下，參與者的收益關(guān)于噪聲參數(shù)呈現(xiàn)出周期性的變化，且在同一周期內(nèi)，隨著噪聲參數(shù)的增長，量子囚徒困境在不同的噪聲區(qū)間出現(xiàn)了存在唯一純量子納什均衡解、兩個純量子納什均衡解和沒有純量子的納什均衡解的情況，在沒有純量子均衡解的兩個噪聲區(qū)間中，參與者會陷入類似于石頭剪刀布的循環(huán)之中。說明在聯(lián)合退相位噪聲信道影響下，當(dāng)噪聲參數(shù)屬于特定噪聲區(qū)間時，參與者可以達(dá)成納什均衡。

關(guān)鍵詞： 量子博弈論；聯(lián)合退相位噪聲；囚徒困境；納什均衡

中圖分類號： O413; O225文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

收稿日期： 2021-10-24；修回日期：2022-03-29

基金項目： 教育部人文社科規(guī)劃項目（21YJA630116）

第一作者： 馬思佳（1997-），女，遼寧錦州人，碩士研究生，主要研究方向為量子博弈及應(yīng)用。

通信作者： 張新立（1970-），男，山東莘縣人，博士，教授，主要研究方向為量子博弈及應(yīng)用。

Analysis of Nash Equilibrium of Quantum Prisoner′s Dilemma with Collective-dephasing Noise Channel

MA Sijia， ZHANG Shuning， WANG Yihan， ZHANG Xinli

（School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116029， China）

Abstract：To discuss the Nash equilibrium strategy of the quantum prisoner's dilemma model under the influence of collective-dephasing noise channel， will collective-dephasing noise is introduced into the quantum game back， by MW quantization scheme to quantization of the prisoner's dilemma game， and a prisoners dilemma game under the effect of collective-dephasing noise is constructed. It is found that under the condition of the maximally entangle， each players payoff function shows periodicity about the parameter of the noise. And in the same period， along with the increase of the noise parameter， there is the unique pure quantum Nash equilibrium， two different pure quantum Nash equilibriums， and no pure quantum Nash equilibrium in different intervals. In the two noise intervals without a pure quantum Nash equilibrium， players were caught in a rock-paper-scissors loop. It shows that under the influence of collective-dephasing noise channel， players can reach Nash equilibrium when the noise parameters are in a specific interval.

Key words： quantum game theory; collective-dephasing noise channel; Prisoner′s dilemma; Nash equilibrium

0 引言

量子博弈論是以量子信息論為工具研究博弈論的一門交叉學(xué)科，最早由Meyer［1］與Eisert等［2］對翻硬幣和囚徒困境問題進(jìn)行量子化處理時提出。Marinatto等［3］隨后提出了通過密度矩陣將博弈量子化的方法，并通過這種量子化方法使得經(jīng)典博弈中的多個納什均衡解得到了統(tǒng)一。由于量子博弈能成功解決經(jīng)典博弈論所不能解決的一些問題，故越來越受到學(xué)者們的關(guān)注，并被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息科學(xué)、生物學(xué)等諸多領(lǐng)域。目前，大多數(shù)學(xué)者都是在封閉系統(tǒng)下對相關(guān)模型的均衡解問題進(jìn)行研究，而現(xiàn)實(shí)中沒有任何量子系統(tǒng)完全孤立于外部環(huán)境，量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境很容易耦合，發(fā)生退相干現(xiàn)象，因此研究外部環(huán)境對量子博弈均衡解的影響具有重要意義。在所有經(jīng)典模型中，囚徒困境作為最重要的模型一直備受關(guān)注，不同的學(xué)者從外部環(huán)境的不同視角對囚徒困境的退相干現(xiàn)象進(jìn)行了探討。Chen等［4］分析去極化、相位阻尼及振幅阻尼噪聲這3種典型噪聲對量子化囚徒困境的影響，得出在噪聲特定的取值范圍內(nèi)，納什均衡不會改變，但增加的噪聲會使參與者的收益降低。Ramzan等［5］討論了三人囚徒困境在去相位噪聲信道中，使用量子策略的參與者較使用經(jīng)典策略的參與者仍然具有優(yōu)勢，且參與者的收益是噪聲參數(shù)的函數(shù)，隨著噪聲的增大而減小，而記憶的存在不會改變博弈的納什均衡解，但參與者的收益會因記憶的存在而得到彌補(bǔ)。

在實(shí)際量子通信中，聯(lián)合退相位噪聲［67］作為一種常見的噪聲信道表現(xiàn)形式而備受關(guān)注，吳貴銅等［8］提出3個可認(rèn)證量子對話協(xié)議，分別用于抵抗聯(lián)合退相位噪聲、聯(lián)合旋轉(zhuǎn)噪聲以及同時抵抗兩種噪聲；Ye［9］提出了任意兩個邏輯Bell態(tài)和共享輔助邏輯Bell態(tài)之間糾纏交換的量子對話協(xié)議，該協(xié)議使用邏輯Bell態(tài)作為傳輸態(tài)抵抗聯(lián)合噪聲；Chang等［10］設(shè)計了聯(lián)合噪聲下基于GHZ糾纏態(tài)的量子對話協(xié)議，該協(xié)議提出了兩種新的編碼方式來抵抗聯(lián)合噪聲。

從上述文獻(xiàn)不難看出，量子博弈建立之后，系統(tǒng)不可避免地與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用，退相干現(xiàn)象就會發(fā)生。一般地，退相干性現(xiàn)象通常引入退相干因子進(jìn)行研究，而退相干因子的表示形式則由其選擇的噪聲信道來決定，并且滿足酉變換條件。目前國內(nèi)外很多學(xué)者把去極化信道、相位衰減信道、振幅衰減信道等形式引入到囚徒困境量子博弈中，對其進(jìn)行研究，得出這些噪聲信道與囚徒困境能夠完全契合，對其收益及量子納什均衡產(chǎn)生了不同程度的影響。而聯(lián)合退相位噪聲作為噪聲信道的一種主要形式，也具有退相干因子所具有的酉變換性質(zhì)，它對量子囚徒困境模型的收益及量子納什均衡解造成怎樣的影響，目前還鮮有學(xué)者進(jìn)行研究?；诖耍疚耐ㄟ^將聯(lián)合酉噪聲的一類特例聯(lián)合退相位噪聲以密度矩陣的形式引入到量子囚徒困境模型中，建立了聯(lián)合退相位噪聲下的量子囚徒困境模型，分析了聯(lián)合退相位噪聲在不同取值范圍內(nèi)對納什均衡解的影響，為聯(lián)合退相位噪聲條件下的開放量子系統(tǒng)解決囚徒困境的均衡解提供了一定的決策參考。

1 聯(lián)合退相位噪聲條件下的量子囚徒困境模型建立

囚徒困境一般描述為：有兩位嫌疑犯Alice與Bob被指控從事某項犯罪，被捕后對他們分別進(jìn)行審問，每位罪犯在無法與對方溝通的情況下有兩種策略可供選擇：保持沉默（合作）或承認(rèn)犯罪（背叛）。根據(jù)他們的選擇策略，Alice與Bob得到各自的收益如表1所示。

根據(jù)納什均衡的定義，雙方選擇背叛是一個納什均衡，但雙方互相合作是一個帕累托最優(yōu)，因此陷入了個人理性與集體理性的矛盾困境中。

為解決此困境，本文建立聯(lián)合退相位噪聲下的兩人囚徒困境量子博弈模型。帶有聯(lián)合退相位噪聲過程的量子信息流如圖1所示。

3 結(jié)語

本文研究了在最大糾纏的條件下，量子囚徒困境在聯(lián)合退相位噪聲的環(huán)境下參與者的納什均衡策略變化情況，通過計算與研究發(fā)現(xiàn)，參與者的收益是噪聲參數(shù)的函數(shù)，參與者的策略選擇與噪聲參數(shù)的取值密不可分，在不同噪聲區(qū)間，博弈可能出現(xiàn)沒有純量子均衡解、存在唯一純量子均衡解及存在兩個純量子均衡解的情況。在量子通信中，有許多學(xué)者開發(fā)出各種形式的量子對話協(xié)議，可以用來抵消量子信息在傳輸過程中受到的聯(lián)合退相位噪聲的影響，關(guān)于這些協(xié)議是否可以引入到量子博弈中，減少聯(lián)合退相位噪聲對量子博弈過程的影響，還需要我們進(jìn)一步進(jìn)行探索。

參考文獻(xiàn)：

［1］MEYER D A. Quantum strategies［J］. Physical Review Letters， 1999，82（5）：1052-1055.

［2］EISERT J， WILKENS M， LEWENSTEIN M. Quantum games and quantum strategies［J］. Physical Review Letters， 1998， 83（15）： 3077-3080.

［3］MARINATTO L， WEBER T. Which kind of two-particle states can be teleported through a three-particle quantum channel［J］. Foundations of Physics Letters， 2000， 13（2）：119-132.

［4］CHEN L K， ANG H， KIANG D， et al. Quantum prisoner dilemma under decoherence［J］. Physics Letters A， 2003， 316（5）： 317-323.

［5］RAMZAN M， KHAN M K. Noise effects in a three-player prisoner′s dilemma quantum game［J］. Journal of Physics A Mathematical and Theoretical， 2009， 41（43）：1-11.

［6］ZHANG M H， LI H F， PENG J Y， et al. Fault-tolerant semiquantum key distribution over a collective-dephasing noise channel［J］. International Journal of Theoretical Physics， 2017， 56（8）：2659-2670.

［7］VENKATESH B P， JUAN M L， ROMERO-ISART O. Cooperative effects in closely packed quantum emitters with collective dephasing［J］. Phys Rev Lett， 2018， 120（3）： 1-6.

［8］WU G T， ZHOU N R， GONG L H， et al. Quantum dialogue protocols with identification over collection noisy channel without information leakage［J］. Acta Physica Sinica， 2014，63（6）：50-57.

［9］Ye T Y. Robust quantum dialogue based on the entanglement swapping between any two logical bell states and the shared auxiliary logical bell state［J］. Quantum Information Processing， 2015， 14（4）：1469-1486.

［10］ YANG C W， HWANG T. Fault tolerant quantum key distributions using entanglement swapping of GHZ states over collective-noise channels［J］. Quantum Information Processing， 2013， 12（10）：3207-3222.

（責(zé)任編輯 耿金花）