基于干擾補(bǔ)償?shù)母叱曀僦茖?dǎo)炮彈反步滑模控制

王成，馬佳佳，張小祿，王旭剛，吳映鋒

(1.西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽(yáng) 712099；2.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；3.解放軍63961部隊(duì)，北京 100012)

高超聲速制導(dǎo)炮彈是指飛行速度大于5Ma的制導(dǎo)炮彈,其具有高毀傷、快響應(yīng)、強(qiáng)突防的戰(zhàn)略優(yōu)勢(shì)[1],一直以來(lái)備受國(guó)內(nèi)外研究人員關(guān)注[2-4]。高超聲速制導(dǎo)炮彈相比于常規(guī)制導(dǎo)炮彈,具有高不確定性、快時(shí)變性和外界強(qiáng)干擾的飛行控制問(wèn)題。

文獻(xiàn)[5-6]采用Winged-Cone的模型[7],將復(fù)雜的非線性模型分解為速度通道與高度通道,設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng),具有良好的魯棒性,但反饋線性化依賴于模型的精確性,穩(wěn)定性不能得到保證。文獻(xiàn)[8]對(duì)飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的慢回路設(shè)計(jì)PID控制律,快回路設(shè)計(jì)終端滑?？刂坡?具有良好的魯棒性。文獻(xiàn)[9]通過(guò)冪次項(xiàng)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)趨近滑模面的不同階段進(jìn)行調(diào)節(jié),顯著提高其收斂速度,但結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜,不適合工程應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]采用擴(kuò)展干擾觀測(cè)器進(jìn)行干擾估計(jì),與基于傳統(tǒng)滑模的高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)相比,此方法對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)中的非匹配耦合不確定因素具有很強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[11]則提出一種具有自適應(yīng)特性的光滑二階滑模有限時(shí)間控制策略。

文獻(xiàn)[12-14]針對(duì)高超聲速飛行器的巡航段,研究了基于干擾補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)策略,很好地抑制了建模不確定及外界干擾。但是高超聲速制導(dǎo)炮彈不同于飛行器,其體積小、存在滾轉(zhuǎn)、俯仰偏航耦合性強(qiáng)、發(fā)射平臺(tái)與巡航導(dǎo)彈等飛行器具有顯著區(qū)別,這些都給彈丸的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)增加了很多導(dǎo)彈所不存在的問(wèn)題。

因此,筆者針對(duì)高超聲速制導(dǎo)炮彈的高不確定性、快時(shí)變性和外界干擾的飛行控制問(wèn)題,結(jié)合反演滑?？刂评碚撆c非線性干擾觀測(cè)器,設(shè)計(jì)了一種基于干擾補(bǔ)償?shù)姆囱莼？刂品椒?。通過(guò)彈丸姿態(tài)控制系統(tǒng)的非線性仿射模型,設(shè)計(jì)反演滑模控制器,并針對(duì)其模型參數(shù)不確定性與外界強(qiáng)烈干擾,設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器(Nonlinear Distur-bance Observer,NDO)對(duì)其進(jìn)行干擾估計(jì),進(jìn)而補(bǔ)償?shù)娇刂破?并且對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和仿真分析。

1 系統(tǒng)建模與問(wèn)題描述

筆者研究的高超聲速制導(dǎo)炮彈的氣動(dòng)布局如圖1所示,采用十字形鴨式氣動(dòng)布局,尾部設(shè)置八片尾翼,增強(qiáng)其靜穩(wěn)定性[15-16]。

建立高超聲速制導(dǎo)炮彈姿態(tài)控制模型[17]如下:

(1)

式中:α、β分別為攻角、側(cè)滑角;ωx4、ωy4、ωz4分別為滾轉(zhuǎn)、偏航和俯仰角速度;?為俯仰角;a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7為動(dòng)力系數(shù);δeqz為俯仰等效舵偏角;δeqy為偏航等效舵偏角。

令Ω=[αβ]T,ω=[ωz4ωy4]T,u=[δeqzδeqy]T,得到非線性仿射控制模型如下:

(2)

矩陣g1,g2表達(dá)式為

考慮高超聲速飛行過(guò)程中的建模參數(shù)不確定性以及外界干擾,將式(2)表示為

(3)

式中:d1=[dαdβ]T,d2=[dωz4dωy4]T表示外界擾動(dòng)情況;Δf1(Ω),Δg1(Ω),Δf2(Ω,ω),Δg2表示模型的參數(shù)不確定性。

令x1=Ω=[αβ]T,x2=ω=[ωz4ωy4]T,u=[δeqzδeqy]T,將式(3)化簡(jiǎn)可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程:

(4)

式中:Δ1=[ΔαΔβ]T,Δ2=[ΔωzΔωy]T表示等效擾動(dòng),且Δ1=Δf1(x1)+Δg1(x1)x2+d1,Δ2=Δf2(x1,x2)+Δg2u+d2。

對(duì)高超聲速制導(dǎo)炮彈的姿態(tài)控制問(wèn)題建立如下假設(shè):

1)制導(dǎo)炮彈的姿態(tài)角信號(hào)及姿態(tài)角速度信號(hào)均可測(cè),且指令信號(hào)Ωc光滑連續(xù);

筆者的控制目的是:針對(duì)式(4)所述的一種具有建模參數(shù)不確定性以及外界干擾的高超聲速制導(dǎo)炮彈飛行控制問(wèn)題,設(shè)計(jì)基于干擾補(bǔ)償?shù)幕？刂葡到y(tǒng),使得制導(dǎo)炮彈的實(shí)際姿態(tài)角x1=Ω=[αβ]T能夠快速穩(wěn)定地跟蹤指令姿態(tài)角信號(hào)x1c=Ωc=[αcβc]T,并且在建模不確定性、內(nèi)部和外界干擾存在的情況下控制器依然具有較強(qiáng)的抗干擾能力與跟蹤精度。

2 基于NDO的反演滑?？刂?/h2>

筆者設(shè)計(jì)的基于非線性干擾觀測(cè)器的反演滑?？刂品椒?設(shè)計(jì)步驟如下:

首先,設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器對(duì)建模不確定性、內(nèi)部和外界擾動(dòng)帶來(lái)的等效擾動(dòng)進(jìn)行擾動(dòng)估計(jì)。然后,根據(jù)反步法的遞推思想,將控制系統(tǒng)分解為姿態(tài)角子系統(tǒng)與姿態(tài)角速度子系統(tǒng),對(duì)慢回路姿態(tài)角子系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律并補(bǔ)償其等效擾動(dòng)估計(jì)值,對(duì)快回路姿態(tài)角速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)滑?？刂坡刹⒀a(bǔ)償?shù)刃_動(dòng)估計(jì)值。最后通過(guò)李亞普洛夫穩(wěn)定性理論驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性并進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2.1 非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

當(dāng)控制系統(tǒng)存在建模參數(shù)不確定、內(nèi)部和外界干擾時(shí),增大滑?？刂频那袚Q項(xiàng)增益的同時(shí),也會(huì)使得控制輸入量即舵偏角的抖振加劇,這顯然會(huì)對(duì)彈丸的飛行穩(wěn)定性與控制性能帶來(lái)不利影響。因此,對(duì)于高超聲速飛行的制導(dǎo)炮彈這類具有高不確定性與強(qiáng)干擾的飛行控制問(wèn)題,筆者構(gòu)造非線性干擾觀測(cè)器,對(duì)建模不確定性、內(nèi)部和外界干擾的復(fù)合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì),并將其補(bǔ)償?shù)娇刂破髦?增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。筆者參考文獻(xiàn)[18]基于滑模微分器設(shè)計(jì)了一種非線性干擾觀測(cè)器。一般對(duì)控制系統(tǒng):

(5)

式中:x是狀態(tài)量;f,g為光滑已知向量場(chǎng);u為控制量;d為不確定干擾項(xiàng)。

將NDO設(shè)計(jì)為

(6)

(7)

定理1式(7)誤差系統(tǒng)是在有限時(shí)間穩(wěn)定的。

根據(jù)式(6)與控制系統(tǒng)表達(dá)式(4),可對(duì)姿態(tài)角子系統(tǒng)與姿態(tài)角速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下非線性干擾觀測(cè)器:

(8)

式中:λ10、λ11、λ20、λ21均為大于0的待設(shè)計(jì)參數(shù),并且其數(shù)值越大估計(jì)誤差越小,可根據(jù)數(shù)值仿真進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié);v1、v2為干擾觀測(cè)器內(nèi)部輔助變量;a/b為終端吸引子,且a、b均為正奇數(shù),并滿足0.5

結(jié)合定理1與非線性干擾觀測(cè)器式(8),可以看出,選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)λ10、λ11、λ20、λ21、a、b可以使得觀測(cè)器在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行精確估計(jì)。

2.2 Back-stepping滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

反步法的設(shè)計(jì)思想在于反演遞推,化繁為簡(jiǎn)。利用反步法將復(fù)雜的高階非線性控制系統(tǒng)分解為不超過(guò)系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng),然后每個(gè)分系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的虛擬控制律并進(jìn)行穩(wěn)定性分析,遞推至整個(gè)系統(tǒng)的控制律完成。筆者結(jié)合李亞普洛夫型自適應(yīng)律,設(shè)計(jì)反演滑?？刂葡到y(tǒng)。

步驟1設(shè)狀態(tài)跟蹤誤差為e1=x1-x1c,對(duì)跟蹤誤差求導(dǎo)可得:

(9)

設(shè)計(jì)虛擬控制律ψ為

(10)

為避免由于對(duì)虛擬控制量多次求導(dǎo)造成的微分爆炸問(wèn)題,引入低通濾波器,取φ為低通濾波器的輸出,有:

(11)

式中,τ為時(shí)間常數(shù)。

因此可得:

(12)

式中,ε=φ-ψ為濾波誤差。

步驟2定義滑模面為

s=x2-φ.

(13)

對(duì)滑模面求導(dǎo)可得:

(14)

取指數(shù)趨近律:

(15)

所以,聯(lián)立式(14)、(15),解得控制律為

(16)

2.3 穩(wěn)定性分析

為便于下文分析,在穩(wěn)定性分析之前,先給出如下引理:

(17)

可將式(17)表示為

(18)

因此,由式(18)和文獻(xiàn)[19]中引理得:

(19)

定義第一階子系統(tǒng)的李亞普洛夫函數(shù)V1為

(20)

對(duì)V1求導(dǎo)可得:

(21)

因此,可將式(21)表示為

(22)

所以根據(jù)文獻(xiàn)[20]知:

(23)

定義第二階子系統(tǒng)的李亞普洛夫函數(shù)V2為

(24)

對(duì)V2求導(dǎo)可得:

(25)

綜合姿態(tài)角子系統(tǒng)與姿態(tài)角速度子系統(tǒng),設(shè)李亞普洛夫函數(shù)V為

V=V1+V2,

(26)

對(duì)V求導(dǎo)得:

(27)

所以,反演滑?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真分析

以某高超聲速制導(dǎo)炮彈為例,對(duì)設(shè)計(jì)的基于非線性干擾觀測(cè)器的反演滑?？刂破鬟M(jìn)行數(shù)值仿真,驗(yàn)證其魯棒性能。取飛行彈道上某平衡點(diǎn)處制導(dǎo)炮彈飛行速度v=2 km/s,滾轉(zhuǎn)角速度為ωx=50 rad/s,氣動(dòng)參數(shù)參考文獻(xiàn)[16],控制任務(wù)為跟蹤指令姿態(tài)角信號(hào)x1c=Ωc=[αcβc]T,初始條件為[αβ]T=[0 0]T。非線性干擾觀測(cè)器的設(shè)計(jì)參數(shù)為:λ10=5,λ11=15,λ20=5,λ21=15,a=7,b=9。反演滑模控制器的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)為:k1=20,η1=10,η2=10,邊界層厚度μ=0.02。低通濾波器的時(shí)間常數(shù)τ=10 ms。為檢驗(yàn)控制方法的魯棒性與有效性,設(shè)計(jì)3種情況進(jìn)行仿真分析。

3.1 反演滑?？刂破?/h3>

當(dāng)輸入姿態(tài)角信號(hào)為αc=1°,βc=0°時(shí),仿真結(jié)果如圖2所示。

可以看出,在系統(tǒng)建模不確定性及外界的擾動(dòng)等較小,即Δ1=Δ2=[0.1sin 8t0.1cos 9t]T的情況下,設(shè)計(jì)的反演滑?？刂破髂軌蚩焖俜€(wěn)定地追蹤指令信號(hào),而且具有較強(qiáng)的抗干擾能力。從圖2(a)攻角的階躍響應(yīng)曲線可以看出,此時(shí)上升時(shí)間小于0.2 s,超調(diào)量小于2%,而且穩(wěn)態(tài)誤差也保持在±2%的誤差帶范圍之內(nèi),因此在小干擾存在的情況下,控制器具有強(qiáng)魯棒性,很好地滿足了控制性能要求。而且觀察圖2(a)的攻角響應(yīng)曲線與圖2(b)的側(cè)滑角響應(yīng)曲線,可以看出此時(shí)俯仰通道與偏航兩通道之間的耦合影響較小,因此兩通道之間的耦合可以忽略不計(jì)。從圖2(d)可以看出,由于指數(shù)趨近律中采用了雙曲正切函數(shù)切換代替了符號(hào)函數(shù)切換,使得滑模控制方法的抖振被顯著削弱,以便于能夠適應(yīng)工程實(shí)踐要求。

3.2 較大干擾存在時(shí)的反演滑?？刂破?/h3>

當(dāng)制導(dǎo)炮彈高超聲速飛行時(shí),式(7)中由于外界干擾與建模不確定性帶來(lái)的等效擾動(dòng)較大,為

輸入姿態(tài)角指令信號(hào)為αc=1°,βc=0°,設(shè)置仿真時(shí)間為10 s,仿真結(jié)果如圖3所示。

從圖3(a)～3(c)可以看出,當(dāng)?shù)刃Ц蓴_增大時(shí),攻角、側(cè)滑角和姿態(tài)角速度都有一定的波動(dòng),這表明干擾增大對(duì)控制器的控制能力具有一定的影響。但是由圖3(a)、3(b)可以看出穩(wěn)態(tài)誤差保持在±5%的誤差帶范圍之內(nèi),這反映了滑模變結(jié)構(gòu)控制的強(qiáng)魯棒性。盡管滑?？刂品椒梢栽龃笄袚Q項(xiàng)增益,達(dá)到提高控制器的抗干擾能力的目的,但從圖3(d)可以看出,這會(huì)使得控制輸入量即舵偏角的變化幅度增大遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)舵偏角的角度限制,引起輸入輸出受限的新的控制問(wèn)題,這顯然會(huì)對(duì)彈丸的飛行穩(wěn)定性與控制性能帶來(lái)不利影響。因此,對(duì)于高超聲速飛行的制導(dǎo)炮彈這類具有高不確定性與強(qiáng)干擾的飛行控制問(wèn)題,有必要設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器,對(duì)建模不確定性、內(nèi)部和外界干擾的復(fù)合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì),將其補(bǔ)償?shù)娇刂破髦?增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。

3.3 基于NDO的反演滑?？刂破?/h3>

采用筆者設(shè)計(jì)的非線性干擾觀測(cè)器對(duì)3.2節(jié)中非線性項(xiàng)、內(nèi)部外界擾動(dòng)和建模不確定性等因素帶來(lái)的復(fù)合干擾進(jìn)行估計(jì),得到結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出非線性干擾觀測(cè)器能夠在很短的時(shí)間內(nèi)跟蹤上實(shí)際干擾,而且跟蹤誤差快速收斂,這說(shuō)明設(shè)計(jì)的非線性干擾觀測(cè)器具備對(duì)復(fù)合干擾的快速精確估計(jì)能力。

圖5為采用基于NDO的反演滑模控制方法的階躍響應(yīng)曲線,可以看出,在干擾存在的情況下姿態(tài)角信號(hào)能夠快速穩(wěn)定地追蹤指令信號(hào),而且上升時(shí)間小于0.2 s,由于干擾觀測(cè)器的反饋補(bǔ)償,基本無(wú)超調(diào),穩(wěn)態(tài)誤差趨近于0,很好地滿足了控制性能要求。圖6為控制器對(duì)方波信號(hào)的追蹤效果,可以看出基于NDO的反演滑?？刂品桨笇?duì)于周期信號(hào)也具有良好的控制性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者以高超聲速制導(dǎo)炮彈為研究對(duì)象,針對(duì)其強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性、高不確定性和外界干擾問(wèn)題,以反演滑模控制理論為基礎(chǔ),研究基于干擾補(bǔ)償?shù)幕？刂撇呗浴ＴO(shè)計(jì)反演滑?？刂破?并針對(duì)其模型參數(shù)不確定性與外界強(qiáng)烈干擾,設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行干擾估計(jì),進(jìn)而補(bǔ)償?shù)娇刂破?并且對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。仿真結(jié)果表明:設(shè)計(jì)的基于非線性干擾觀測(cè)的反演滑?？刂破鲗?duì)干擾具有精確估計(jì)能力,能夠快速穩(wěn)定地追蹤指令信號(hào),上升時(shí)間小于0.2 s,基本無(wú)超調(diào),穩(wěn)態(tài)誤差接近于0。

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