對函數(shù)極限教學的探究

王明偉 朱亞培 溫曉楠 馮鑫鑫

摘?要：求解函數(shù)極限的方法多種多樣，需要掌握使用各種方法的技巧。本文主要介紹高等數(shù)學中求函數(shù)極限的三種方法及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學；函數(shù)極限；泰勒公式；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.077

高等數(shù)學的主要研究對象是函數(shù)，極限是建立相關(guān)理論和方法的基礎(chǔ)。利用極限定義出了連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等一些很重要的概念，因此我們要深刻理解極限的概念，牢牢掌握求極限的各種方法。函數(shù)極限的求解方法有很多，比如等價無窮小代換、兩個重要極限、無窮小的性質(zhì)、無窮小和無窮大之間的關(guān)系、洛必達法則等。本文針對“部分函數(shù)求極限”、利用泰勒公式求極限以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限這三種方法做了詳細的介紹。

1?“部分函數(shù)求極限”方法

“部分函數(shù)求極限”即“極限非零的乘積因子可以先把極限算出來”。這個方法可以簡化求極限的過程，尤其是使用洛必達法則求極限，要涉及分子、分母分別求導(dǎo)，使用這個技巧就可以先把函數(shù)的形式化簡，進而再利用洛必達，這樣求解過程就得到了極大的簡化。對于這個方法同學們都會用，也喜歡用，但是為什么可以這樣做，還是心存疑慮的。本文將對這個方法進行詳細的介紹。下面先給出幾個相關(guān)的性質(zhì)：

提前聲明，在下面的討論中，記號“l(fā)im”下邊沒有標注自變量的變化過程，實際上結(jié)論對于x→x0及x→SymboleB@

都是成立的。

性質(zhì)1?若limf（x）不存在，limg（x）=C≠0（C為常數(shù)），則limf（x）g（x）不存在。

證明：反證法。假設(shè)limf（x）g（x）=A（A為常數(shù)），則根據(jù)極限商的運算法則有

limf（x）=limf（x）g（x）g（x）=limf（x）g（x）limg（x）=AC，

與條件“l(fā)imf（x）不存在”矛盾，則假設(shè)不成立，證得limf（x）g（x）不存在。

性質(zhì)2?設(shè)limf（x）=SymboleB@

，limg（x）=C≠0（C為常數(shù)），則limf（x）g（x）=SymboleB@

。

證明：1f（x）g（x）=1f（x）·1g（x），等號兩邊同時取極限，利用無窮大與無窮小之間的關(guān)系可以得到

lim1f（x）g（x）=lim1f（x）·1g（x）=lim1f（x）·lim1g（x）=0·1C=0.

從而f（x）g（x）為無窮大，即limf（x）g（x）=SymboleB@

。

下面以定理的形式來說明“極限非零的乘積因子”為什么可以先把極限算出來。

定理設(shè)F（x）=f（x）g（x），其中l(wèi)img（x）=C≠0（C為常數(shù)），

（1）若limf（x）=A（A為常數(shù)），則limF（x）=AC.

（2）若limf（x）=SymboleB@

，則limF（x）=SymboleB@

.

（3）若limf（x）不存在（非無窮大的情況），則limF（x）不存在.

根據(jù)極限乘積的運算法則，定理的結(jié)論（1）成立，根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2，結(jié)論（2）和（3）成立。這個定理說明，當有極限非零的乘積因子時，原極限的結(jié)果取決于剩余部分函數(shù)的極限結(jié)果。所以在計算時，可以先把極限非零的乘積因子的極限算出來，最后求得的結(jié)果就是原極限的結(jié)果。

注：在使用這個方法的時候，要注意分子、分母中加、減項不可以先求出極限。一定得是“極限非零”的“乘積因子”才可以使用這個方法。否則，容易出現(xiàn)錯誤。

例1?求limx→02e2x－ex－3x－1exxsinx

解：原式=limx→02e2x－ex－3x－1x2??????=limx→04e2x－ex－32x??????=limx→08e2x－ex2=72

這個極限是00型的未定式，若直接使用洛必達法則，過程會比較繁瑣。這里limx→0ex=1，那么當x→0時，1ex就是極限非零的乘積因子，先把這個極限算出來，剩余部分函數(shù)利用等價無窮小代換進一步化簡，之后，利用兩次洛必達法則，即可更簡便地求出極限。這個方法也可以結(jié)合其他求極限的方法一起使用。

例2?求limx→03sinx+x2cos1x（1+cosx）ln（1+x）。

解：原式=limx→03sinx+x2cos1x2x=12limx→03sinxx+xcos1x=12（3+0）=32

這里limx→0（1+cosx）=2，也就是說當x→0時，11+cosx就是極限非零的乘積因子，先把其極限算出來，再根據(jù)重要極限以及有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮小，得出剩余部分極限。

2?利用泰勒公式求極限

經(jīng)常利用泰勒展開式來求00型未定式的極限，通常用到的是一些初等函數(shù)的帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式。比如ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m等。這類方法使用的前提是需要牢牢掌握并熟記這些公式，所以學生經(jīng)常避開使用這類方法。但是對于有的題目，這類方法用起來也是比較方便的。應(yīng)用時需要用到無窮小的運算性質(zhì)，下面先來了解一下：

性質(zhì)3?設(shè)m，n∈R+，m>n，則當x→0時，有如下的結(jié)論

（1）o（xm）±o（xn）=o（xn）;（2）xm·o（xn）=o（xm+n）;（3）o（xm）·o（xn）=o（xm+n）.

例3求limx→0ex2+2cosx－3x4.

解：∵ex2=1+x2+12！x4+o（x4），cosx=1－x22！+x44！+o（x4）

∴ex2+2cosx－3=（12！+2·14?。﹛4+o（x4）

原式=limx→0712x4+o（x4）x4=712.

本題中因為分母是x的4階無窮小，所以分子上只需要將函數(shù)展開到4階無窮小的項就足以定出所給的極限了。一般地，若函數(shù)為f（x）xk或xkf（x）的形式，只需要將f（x）展開到x的k次方那一項即可。此題利用洛必達法則也可以求解，但是過程會很繁瑣。

例4求limx→0tanx－sinxx3.

解：∵tanx=x+x33+o（x3），sinx=x－x33！+o（x3），

∴tanx－sinx=x32+o（x3），原式=limx→0x32+o（x3）x3=12.

本題說明當x→0時，函數(shù)tanx－sinx與x32是等價無窮小，因此在做等價無窮小替換時，只能用x32來替換tanx－sinx，而不能用（x－x）來替換。

3?利用導(dǎo)數(shù)求極限

導(dǎo)數(shù)是利用極限定義出來的，反過來，根據(jù)一點處導(dǎo)數(shù)的定義，也可以求極限。當函數(shù)的形式滿足導(dǎo)數(shù)的定義式時，就可以利用此方法很方便地求出極限。下面先來回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義。

定義設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx時（點x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)），函數(shù)y相應(yīng)的取得增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0）.

如果極限

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx

存在，則稱函數(shù)在這一點處可導(dǎo)，這個極限就是函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)。

例5設(shè)函數(shù)f（x）有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（1）=0，f′（1）=1，求極限limx→SymboleB@

xf（xx+2）.

解：limx→SymboleB@

xf（xx+2）=limx→SymboleB@

f（1－2x+2）－f（1）－2x+2·－2xx+2=f′（1）·（－2）=－2.

注：這是0·SymboleB@

型的未定式，也可以利用洛必達法則求解。

參考文獻

［1］張平.無窮小的性質(zhì)研究[J].科教導(dǎo)刊，2018，（29）：2122.

[2]張志會.高等數(shù)學中極限的教學探析[J].成才，2021，（7）：2.

[3]楊淑菊.考研數(shù)學利用泰勒公式求函數(shù)極限的方法探討[J].價值工程，2017，36（18）：2.

[4]陳書坤.函數(shù)極限求值的若干方法探究[J].黑龍江科學，2020，11（7）：2.

[5]宋顥.函數(shù)極限的求法探討[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，22（12）：360361.