平方根升余弦滾降濾波器在消除碼間串?dāng)_中的應(yīng)用

徐后樂(lè),董揚(yáng)威

(啟元實(shí)驗(yàn)室,北京 100854)

0 引 言

在無(wú)線通信中,有限帶寬的信道會(huì)導(dǎo)致發(fā)射信號(hào)在時(shí)域形成拖尾,多個(gè)碼元拖尾的疊加會(huì)使碼元判決出現(xiàn)錯(cuò)誤,導(dǎo)致碼間串?dāng)_的產(chǎn)生[1]。為減小或消除碼間串?dāng)_的影響,一般使基帶信號(hào)經(jīng)過(guò)脈沖成型濾波器,消除其他碼元的影響。

理想低通濾波器和升余弦滾降濾波器都滿足消除碼間串?dāng)_的條件,但是升余弦滾降濾波器因?yàn)槲膊克p快,當(dāng)存在一定的定時(shí)誤差時(shí),碼間串?dāng)_也盡可能地降低,因此升余弦滾降濾波器經(jīng)常被用于無(wú)線通信系統(tǒng)中。然而無(wú)線通信系統(tǒng)存在發(fā)送方和接收方,根據(jù)匹配濾波理論可知,為了使接收端的信噪比最大,接收端需要添加一個(gè)濾波器,該濾波器與發(fā)射信號(hào)呈某種關(guān)系,因此要求發(fā)送濾波器和接收濾波器級(jí)聯(lián)后的系統(tǒng)函數(shù)等于升余弦滾降濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[2]。

1 碼間串?dāng)_及消除碼間串?dāng)_的基本思想

無(wú)線通信系統(tǒng)發(fā)送端的基帶信號(hào)表示為:

(1)

式中:an為采樣時(shí)刻nTB時(shí)的碼元;δ(t-nTB)為采樣脈沖;碼元an的碼元速率為1/TB。

該基帶信號(hào)經(jīng)過(guò)發(fā)送濾波器、無(wú)線信道、接收濾波器后的輸出信號(hào)為:

r(t)=x(t)*h(t)+n(t)=

(2)

式中:n(t)為接收噪聲;h(t)為無(wú)線信號(hào)傳輸信道的單位沖激響應(yīng)。

第k個(gè)接收碼元為:

(3)

該式表明第k個(gè)接收碼元不僅與第k個(gè)碼元的的抽樣值有關(guān),還與其他碼元的疊加有關(guān),如果其他碼元信號(hào)對(duì)本碼元的干擾超過(guò)一定的閾值,就會(huì)導(dǎo)致碼元誤判出現(xiàn)錯(cuò)誤,從而出現(xiàn)碼間串?dāng)_。

從式(3)可以看到,無(wú)碼間串?dāng)_的基本思想:使其他碼元對(duì)本碼元的影響為零,即:

(4)

2 匹配濾波

圖1 接收機(jī)架構(gòu)示意圖

圖1中H(t)是一個(gè)濾波器,該濾波器與接收信號(hào)呈某種關(guān)系,使輸出信噪比最大,稱為匹配濾波器。匹配濾波器的輸入信號(hào)為:

r(t)=x(t)+n(t)

(5)

匹配濾波器的輸出信號(hào)為:

y(t)=xo(t)+no(t)

(6)

(7)

式中:X(f)為x(t)的傅里葉變換;XO(f)為xo(t)的傅里葉變換;H(f)為h(t)的傅里葉變換。

在t=t0時(shí)刻,輸出信號(hào)xo(t)的瞬時(shí)功率為:

(8)

噪聲的功率為:

(9)

在t=t0時(shí)刻,匹配濾波器輸出信噪比為:

(10)

根據(jù)柯西-施瓦茨不等式:

(11)

當(dāng)f(a)=kg*(a)時(shí),式(11)取等號(hào),不等式取得最大值。因此:

(12)

當(dāng)且僅當(dāng)H(f)=kX*(f)e-j2πft0時(shí),式(12)取最大值。

傅里葉變換時(shí)域與頻域之間的性質(zhì)有:

x*(-t)?X*(f)

(13)

x(t)y(t)?X(f)*Y(f)

(14)

可以將匹配濾波的頻域條件轉(zhuǎn)化為時(shí)域條件,濾波器的沖激響應(yīng)為:

h(t)=kx*(-t)*δ(t-t0)=kx*(t0-t)

(15)

時(shí),接收信號(hào)取得最大信噪比。

3 理想低通濾波器、升余弦滾降濾波器與平方根升余弦滾降濾波器

圖2 理想低通濾波器的頻譜

該理想低通濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)h(t)的計(jì)算公式為:

(16)

其波形如圖3所示。

圖3 理想低通濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)波形

由于sinc函數(shù)的特點(diǎn)是副瓣振蕩幅度較大,如果定時(shí)稍微有點(diǎn)誤差,將導(dǎo)致其他碼元對(duì)本碼元的干擾較大,因此理想低通濾波器不是理想的消除碼間串?dāng)_的濾波器[3]。

(17)

由于添加了滾降因子,所以上面的信號(hào)稱為升余弦滾降濾波器。

由于無(wú)線通信存在發(fā)送方和接收方,為了減小碼間串?dāng)_需要添加升余弦滾降濾波器,而在接收機(jī)中為了實(shí)現(xiàn)信噪比的最大化,需要接收機(jī)使用匹配濾波器。由于實(shí)際信號(hào)為實(shí)信號(hào),則式(15)匹配濾波器的沖激響應(yīng)為:

h(t)=kx*(-t)*δ(t-t0)=kx(t0-t)

(18)

發(fā)送濾波器與接收濾波器的乘積為升余弦滾降濾波器,則發(fā)送濾波器和接收濾波器的升余弦滾降濾波器的平方根,該濾波器稱為平方根升余弦滾降濾波器。

4 平方根升余弦滾降濾波器對(duì)改善碼間串?dāng)_現(xiàn)象的仿真

本文用對(duì)比法驗(yàn)證通信收發(fā)兩端改善碼間串?dāng)_的濾波器是采用平方根升余弦滾降濾波器還是升余弦滾降濾波器。通過(guò)觀察接收端的星座圖分布來(lái)驗(yàn)證無(wú)線通信的發(fā)送和接收端分別采用這2種濾波器后的接收信號(hào)的碼間串?dāng)_現(xiàn)象。

圖4是發(fā)射信號(hào)為16正交幅度調(diào)制(16QAM)信號(hào),通信信道為理想無(wú)噪聲信道時(shí)接收端的星座圖。

圖4 理想無(wú)噪聲的通信信道的16QAM解調(diào)星座圖

當(dāng)發(fā)射信號(hào)采樣16QAM調(diào)制、接收信號(hào)的信噪比為30 dB時(shí),收發(fā)兩端都采用平方根升余弦滾降濾波器作為改善碼間串?dāng)_的成型濾波器時(shí),接收端的星座圖如圖5所示。

當(dāng)發(fā)射信號(hào)采樣16QAM調(diào)制、接收信號(hào)的信噪比為30 dB時(shí),收發(fā)兩端都采用升余弦滾降濾波器作為改善碼間串?dāng)_的成型濾波器時(shí),接收端的星座圖如圖6所示。

對(duì)比圖5和圖6的星座圖分布,圖5的接收端星座圖分布良好,而圖6的接收端星座圖分布較差,容易出現(xiàn)碼元的誤判。通過(guò)上面的仿真,發(fā)現(xiàn)在實(shí)際工程中為了改善碼間串?dāng)_,通常在無(wú)線通信的收發(fā)兩端采用平方根升余弦滾降濾波器而不是升余弦滾降濾波器。

圖5 收發(fā)使用平方根升余弦滾降濾波器時(shí)接收機(jī)的16QAM信號(hào)的星座圖

圖6 收發(fā)使用升余弦滾降濾波器時(shí)接收機(jī)的16QAM信號(hào)的星座圖

圖7表明,在無(wú)線通信的收發(fā)兩端采用平方根升余弦滾降濾波器可以極大地降低誤碼率。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先分析了碼間串?dāng)_的原因,并提出了消除碼間串?dāng)_的基本思想;理論分析了匹配濾波器的頻譜函數(shù)和時(shí)域函數(shù),為平方根升余弦滾降濾波器作為無(wú)線通信收發(fā)兩端消除碼間串?dāng)_的成型濾波器提供了理論依據(jù);最后通過(guò)仿真對(duì)比了有無(wú)成型濾波器情況下無(wú)線通信接收機(jī)的星座圖和誤比特率。