初中數(shù)學校本分層作業(yè)設(shè)計與思考
——以“二次函數(shù)”為例

董盼紅

一、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計背景分析

在數(shù)學學習中，二次函數(shù)是一個非常重要的領(lǐng)域。然而，每個學生的學習水平和學習需求都不盡相同，校本分層作業(yè)設(shè)計正是基于這種需求而提出的，它可以根據(jù)學生的實際情況，為每個學生量身定制作業(yè)，使每位學生在適當?shù)碾y度下學習，避免因整體教學速度過快或過慢而導致的學習困擾。由于作業(yè)的難度與學生的實際水平相匹配，學生更容易理解和掌握知識，從而提高學習效果。

二次函數(shù)這一課涉及圖象、方程、解析式等多個方面，對學生的邏輯思維和數(shù)學抽象能力提出了很高的要求。根據(jù)學生的數(shù)學基礎(chǔ)，教師應(yīng)分層設(shè)計基礎(chǔ)概念的習題，對于基礎(chǔ)較好的學生，可以設(shè)計一些深入探討二次函數(shù)性質(zhì)的問題；對于基礎(chǔ)較弱的學生，則可以設(shè)計一些較為簡單的題目，幫助他們建立起基本概念。同時，二次函數(shù)的圖象和方程之間有著密切的聯(lián)系。對于學生來說，將圖象轉(zhuǎn)化為方程，或者根據(jù)方程繪制出準確的圖象，都是重要的學習內(nèi)容，校本分層作業(yè)可以設(shè)計一些關(guān)于圖象與方程轉(zhuǎn)化的題目，根據(jù)學生的實際能力分層設(shè)置難度。

二、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計目標

通過本單元的學習，基礎(chǔ)層的學生能夠理解并運用二次函數(shù)的標準形式和頂點形式，能夠簡單地將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為這兩種形式，并確定二次函數(shù)的圖象特征，如開口方向、最值點等。提高層的學生能夠深入分析二次函數(shù)的性質(zhì)，包括最值、零點，并運用這些性質(zhì)解決簡單的實際問題，如最大最小值問題和二次函數(shù)方程的解。拓展層的學生在掌握基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上能夠運用二次函數(shù)解決更為復(fù)雜的實際問題，包括最優(yōu)化問題、二次函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合應(yīng)用等，培養(yǎng)實際問題建模和解決問題的能力。

三、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計案例

在設(shè)計初中數(shù)學校本分層作業(yè)時，教師要著眼于學生的不同學習需求和能力水平，制訂基礎(chǔ)層、提高層和拓展層三個層次的教學目標和相應(yīng)的分層作業(yè)內(nèi)容，這樣的設(shè)計不僅充分考慮了學生的差異化學習需求，也促使他們在不同層次上獲得相應(yīng)難度的練習，從而更好地鞏固和拓展二次函數(shù)的知識。分層作業(yè)設(shè)計是為了滿足不同層次學生的學習需求，特別是在學習二次函數(shù)時，分層作業(yè)顯得尤為重要。

（一）基礎(chǔ)層：鞏固基本概念

基礎(chǔ)層的學生通常對二次函數(shù)的基本概念有所了解，但需要進一步鞏固知識，這個層次的作業(yè)將側(cè)重于幫助學生理解標準形式和頂點形式之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象的基本特征。在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，系數(shù)a決定了拋物線的開口方向和是否為正（凹）或負（凸）；系數(shù)b影響了拋物線的位置，決定了最值點的橫坐標；常數(shù)項c決定了拋物線與y軸的交點，通過這些參數(shù)，學生能夠深入分析二次函數(shù)的性質(zhì)。

示例題目一：

考慮二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，其中a，b和c是常數(shù)，求該二次函數(shù)的頂點坐標（h，k）。

（設(shè)計意圖：通過這個問題，學生將學會如何找到二次函數(shù)的頂點坐標，這是了解二次函數(shù)圖象特征的基礎(chǔ)。在這個問題中，學生需要了解二次函數(shù)的頂點形式f（x）=a（x-h）2+k。其中，h是頂點的橫坐標，k是頂點的縱坐標。為了找到頂點坐標（h，k），可以利用公式x=-b/2a來求解。學生需要識別出二次函數(shù)的a，b和c的值，然后將這些值代入公式x=-b/2a中，得到頂點的橫坐標h。接著，將h代入原始函數(shù)中，即可求得頂點的縱坐標k。最終，學生得到了頂點坐標（h，k），這就是二次函數(shù)的最低點或最高點，具體取決于a的正負性。這個問題的解答過程幫助學生理解了頂點坐標的一般求解方法，同時也加深了他們對二次函數(shù)圖象特征的認識，為學生提供了解決更復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。）

示例題目二：

1.將二次函數(shù)y=-2x2+8x-6 轉(zhuǎn)化為頂點形式，并求出頂點坐標。

貓眼女人看著他。她用指頭沾點地上的血，舉到鼻子上聞了聞。她明白了什么。她說那你等著吧，我叫人送錢來！貓眼女人打個電話，一輛黑色的奔馳商務(wù)車開過來，嘎地一聲在他跟前停下。車上下來幾個穿黑衣黑褲手里拎鋼管的大漢，揪著大福的脖領(lǐng)子問那疼。大福手指指腰，鋼管就砸到腰上；大福手指指腿，鋼管就砸到腿上。直砸得他渾身青腫，跪在地上求饒才罷手。

2.比較二次函數(shù)f（x）=x2+4x+5 與g（x）=x2-6x+10的圖象，分析它們的開口方向和最值點。

（設(shè)計意圖：在第一個問題中，學生需要運用配方法將二次函數(shù)寫成y=-2（x2-4x）-6 的形式，接下來，化簡得到y(tǒng)=-2（x-2）2+2，從中可以看出頂點坐標為（2，2）。這個問題要求學生熟練運用平方公式，同時幫助他們理解頂點形式中的h和k分別代表什么意義，以及如何從中得出頂點坐標。

在第二個問題中，學生需要將兩個二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為標準形式，比較它們的系數(shù)，然后分析它們的圖象特征。首先，將兩個函數(shù)轉(zhuǎn)化為標準形式，得到f（x）=（x+2）2+1 和g（x）=（x-3）2+1。比較系數(shù)，可以看出f（x）是一個開口朝上的拋物線，最小值點為（-2，1）；而g（x）也是一個開口朝上的拋物線，最小值點為（3，1），這個問題培養(yǎng)了學生對二次函數(shù)圖象特征的觀察和分析能力。

通過這些基礎(chǔ)層的題目，學生不僅僅是在鞏固基本知識，更是在建立對數(shù)學圖象和函數(shù)性質(zhì)的直觀認識。這種直觀的認識是學生后續(xù)學習更高階數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是他們應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的基礎(chǔ)。幫助學生打牢這些基礎(chǔ)，能夠使他們在更高級的數(shù)學學習中更加游刃有余。

（二）提高層：深入解析二次函數(shù)的性質(zhì)

提高層的學生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念，需要更深入地了解二次函數(shù)的性質(zhì)，包括最值、零點和凹凸性，這個層次的作業(yè)將側(cè)重于幫助學生運用這些性質(zhì)解決更為復(fù)雜的問題。

示例題目一：

給定二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，求該函數(shù)的最大值或最小值，并指出在哪個點取得。

（設(shè)計意圖：教師可以提供不同a的二次函數(shù)，有些有最大值，有些有最小值。學生需要使用x=-b/2a找到頂點，然后代入函數(shù)，比較得出最大值或最小值，并找出取得最值的點。在這個問題中，學生需要判斷二次函數(shù)的開口方向。如果a為正數(shù)，二次函數(shù)的圖象開口向上，有最小值；如果a為負數(shù)，二次函數(shù)的圖象開口向下，有最大值。學生需要找到頂點的橫坐標h，然后將h代入原始函數(shù)，即可求得頂點的縱坐標k。這樣，頂點坐標（h，k）就找到了。接著，學生需要判斷最值是最大值還是最小值。如果a＞0，那么函數(shù)的最小值就是k，取得最小值的點為（h，k）；如果a＜0，那么函數(shù)的最大值就是k，取得最大值的點也是（h，k）。通過這個問題，學生不僅掌握了最值的一般求解方法，還學會了如何判斷最值以及找出取得最值的點，這種問題的設(shè)計能夠幫助學生理解二次函數(shù)圖象特征的變化規(guī)律，并且學會舉一反三。

示例題目二：

1.對于二次函數(shù)y=-3x2+12x-10，求其最大值，并確定使函數(shù)取得最大值的x值。

2.解方程2x2-4x-6=0，并分析方程的根與二次函數(shù)y=2x2-4x-6 的圖象的關(guān)系。

（設(shè)計意圖：在第一個問題中，學生需要將給定的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點形式。首先，利用配方法將二次函數(shù)寫成y=-3（x2-4x）-10 的形式，然后完成平方得到y(tǒng)=-3［（x-2）2-4］-10。接下來，化簡得到y(tǒng)=-3（x-2）2+2，從中可以看出最大值為2，并且當x=2 時取得最大值。這個問題要求學生運用完全平方公式，同時加深了對頂點形式的理解。

在第二個問題中，學生需要求出方程的根，然后觀察根的位置與函數(shù)圖象的關(guān)系。首先，利用求根公式得到x=-1 或x=3，這兩個根分別對應(yīng)著函數(shù)圖象上的兩個交點。通過觀察系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)這是一個開口朝上的拋物線，根的位置與函數(shù)的頂點有關(guān)。這個問題培養(yǎng)了學生觀察數(shù)學關(guān)系的能力，同時鞏固了解二次函數(shù)與方程根的關(guān)系。

（三）拓展層：應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題

拓展層的學生已經(jīng)具備了較高的數(shù)學抽象和建模能力，現(xiàn)在需要將二次函數(shù)的知識應(yīng)用到更為復(fù)雜的實際問題中。這個層次的作業(yè)將側(cè)重于培養(yǎng)學生的問題解決能力，使他們能夠?qū)⑺鶎W知識應(yīng)用到真實世界的情境中。在現(xiàn)實生活中，二次函數(shù)常常出現(xiàn)在自然科學、經(jīng)濟學、工程學等領(lǐng)域的建模問題中，學生需要學會將抽象的數(shù)學知識與實際問題相結(jié)合，進行建模和分析，以便應(yīng)對實際挑戰(zhàn)。

示例題目一：

1.一架火箭發(fā)射后的高度h（單位：米）與時間t（單位：秒）的關(guān)系由二次函數(shù)h（t）=-5t2+60t描述，求火箭的最大高度及達到最大高度的時間。

2.一家工廠生產(chǎn)的電視機銷售價格x（單位：元）與銷售數(shù)量q（單位：臺）的關(guān)系由二次函數(shù)P（x）=-0.01x2+200x-500000 描述，求該工廠的最大利潤及相應(yīng)的銷售價格。

（設(shè)計意圖：在第一個問題中，學生需要通過求解二次函數(shù)的最值問題，找到火箭的最大高度及達到最大高度的時間。首先，將火箭的高度函數(shù)h（t）轉(zhuǎn)化為頂點形式，得到-5（t-6）2+180。從中可以看出，最大高度為180 米，達到最大高度的時間為t=6 秒。這個問題模擬了火箭發(fā)射的實際情境，幫助學生將數(shù)學知識應(yīng)用到物理問題中，培養(yǎng)他們的建模和解決實際問題的能力。

在第二個問題中，學生需要分析電視機的利潤函數(shù)，并找到使得利潤最大的銷售價格。首先，將利潤函數(shù)P（x）轉(zhuǎn)化為頂點形式，得到P（x）-0.01（x-10000）2+500000。從中可以看出，最大利潤為500000元，相應(yīng)的銷售價格為x=10000 元。這個問題模擬了企業(yè)定價的實際情境，要求學生將數(shù)學知識與經(jīng)濟實際相結(jié)合，為企業(yè)提供最佳策略建議。通過這類問題，學生不僅深入理解了二次函數(shù)的應(yīng)用，還培養(yǎng)了他們的分析和決策能力。）

示例題目二：

一個人站在河邊，希望拋出一個物體跨過河到達對岸。假設(shè)河的寬度為d米，拋物線的方程為y=ax2+bx+c，其中y表示高度（米），x表示水平距離（米）。如何選擇a、b、c，使得物體能夠以最小的初速度拋出，成功跨過河流，而不觸及對岸的地面？

（設(shè)計意圖：在這個問題中，學生需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。首先，設(shè)定物體起始點為拋物線的頂點，即（0，c），并要求物體能夠跨越河流，因此頂點的高度必須大于河流的寬度，即c＞d。其次，拋物線與x軸的交點為拋物線的兩個根，其中一個根為負數(shù)（物體的起點在拋出時已經(jīng)在空中），另一個根表示物體著陸的位置。接下來，學生需要建立一個目標函數(shù)：S=a2+b2，這個函數(shù)表示了初速度的平方和。問題要求最小初速度，即需要最小化目標函數(shù)。為了求解這個問題，學生可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)，如頂點坐標的x值為-b/2a。通過將這個值與河流的寬度相比較，學生可以得到關(guān)于a和b的方程。接著，結(jié)合c＞d，學生可以得到問題的可行解集。最后，通過分析S這個函數(shù)的最小值，學生可以確定最小初速度以及相應(yīng)的a、b、c的值，滿足問題的要求。通過這個案例，學生將學會將二次函數(shù)用于實際的優(yōu)化問題中，培養(yǎng)了他們的問題建模和求解能力，進一步提高了他們的數(shù)學建模水平。）

通過以上分層作業(yè)設(shè)計，學生在逐步深化對二次函數(shù)理論知識的掌握的同時，也得到了充分的解決實際問題的機會。這種分層作業(yè)設(shè)計不僅滿足了學生個性化學習的需求，也為他們將來更深入地學習數(shù)學打下了堅實的基礎(chǔ)。