驅(qū)動氣體的密度梯度對彈丸發(fā)射速度的影響*

王馬法，李俊玲，柳 森

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心超高速碰撞研究中心，四川 綿陽 621000）

超高速發(fā)射技術(shù)是地面模擬超高速撞擊現(xiàn)象、開展超高速撞擊效應(yīng)研究必不可少的試驗技術(shù)。輕氣炮是目前超高速發(fā)射常用的設(shè)備，雖然有報道一些二級輕氣炮的最高發(fā)射速度達(dá)到了10 km/s 以上[1-5]，但受到炮體材料性能的限制，常用的發(fā)射速度一般不超過8 km/s[6-7]，隨著超高速碰撞領(lǐng)域研究的不斷深入，8 km/s 的發(fā)射速度已經(jīng)很難滿足人們對超高速碰撞現(xiàn)象和機(jī)理的研究。以空間碎片為例，碎片的在軌平均速度為7～8 km/s，碎片相互撞擊的平均速度約8～9 km/s[8-9]，與其他物體相撞的平均速度約10 km/s[10-11]。因此需要研究具備更高發(fā)射速度的技術(shù)。

為了實現(xiàn)在彈丸過載不太大的前提下獲得更高的發(fā)射速度，從發(fā)射器的設(shè)計開始便一直追求能夠?qū)崿F(xiàn)勻加速發(fā)射的方法[12-13]。本文中提出一種更接近勻加速發(fā)射的方法—梯度氣體驅(qū)動。梯度氣體驅(qū)動是指采用重氣體與輕質(zhì)氣體混合成具有一定梯度分布的氣體作為氣體炮的驅(qū)動氣體，當(dāng)沖擊波在彈底反射后，在梯度氣體中傳播，一邊向活塞運(yùn)動，一邊不斷反射壓縮波向彈底運(yùn)動，而不需要傳播到端部后再反射沖擊波，因此可以縮減發(fā)射過程中沖擊波的反射時間，達(dá)到持續(xù)增強(qiáng)彈底壓力，抵消因彈丸運(yùn)動產(chǎn)生的彈底壓力下降問題。

為了分析梯度氣體對發(fā)射過程和發(fā)射速度的影響，對等直徑發(fā)射管中采用雙氣體填充的發(fā)射器結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析，利用沖擊波關(guān)系式建立彈丸運(yùn)動速度的解析表達(dá)式，進(jìn)而對影響發(fā)射性能的參數(shù)進(jìn)行計算分析。研究結(jié)果可為梯度氣體驅(qū)動技術(shù)中發(fā)射器的結(jié)構(gòu)設(shè)計和裝填參數(shù)選擇提供參考。

1 等直徑發(fā)射管模型及其作用過程波系結(jié)構(gòu)

假設(shè)在一等直徑發(fā)射管中存在2 種壓力相同、密度不同的驅(qū)動氣體，如圖1 所示，其中氣體1 的密度高于氣體2。氣體1 左端為活塞，氣體2 右端為彈丸?；钊院愣ㄋ俣菵向右推動驅(qū)動氣體，將彈丸加速到一定的速度。

圖1 發(fā)射器內(nèi)彈道示意圖Fig.1 Sketch of the constant cross-sectional area launch tube

根據(jù)一維不定常流理論可知，該等直徑發(fā)射管作用過程的波系圖如圖2 所示，圖中L1為氣體1 的初始長度，L2為氣體2 的初始長度。0 時刻活塞以速度D向右壓縮氣體1，形成右傳沖擊波，波后區(qū)為（11）區(qū)。當(dāng)沖擊波傳播至氣體界面處時，向氣體2 內(nèi)傳入沖擊波并向左反射稀疏波，在氣體1 中形成（12）區(qū)、在氣體2 中形成（21）區(qū)。氣體2 中的右傳沖擊波作用在彈丸上開始驅(qū)動彈丸，同時向氣體2 中反射左傳沖擊波，形成（22）區(qū)（在沖擊波線上）。彈丸開始運(yùn)動后向左傳入稀疏波，形成（23）區(qū)。反射左傳沖擊波到達(dá)氣體界面時會繼續(xù)向氣體2 中反射沖擊波，并與（23）區(qū)的左傳稀疏波相互作用形成（24）區(qū)，界面反射的右傳沖擊波會繼續(xù)傳播至彈丸底部，加大彈底壓力，并在彈丸底部第2 次反射左傳沖擊波，第2 次反射的沖擊波與（24）區(qū)相互作用形成（25）區(qū)。如此，沖擊波在氣體界面和彈丸底部來回反射，不斷加大彈底壓力。

圖2 發(fā)射器作用過程的波系圖Fig.2 Wave structure of the constant cross-sectional area launch tube

2 彈丸運(yùn)動速度求解模型

下面利用沖擊波關(guān)系式和稀疏波關(guān)系求解各區(qū)域的運(yùn)動參數(shù)。（11）區(qū)參數(shù)可由沖擊波關(guān)系式直接求解；（21）區(qū)和（12）區(qū)是（10）區(qū)沖擊波與氣體界面相互作用的結(jié)果，根據(jù)沖擊波與界面的作用規(guī)律，（21）區(qū)透射沖擊波，（12）區(qū)反射稀疏波，可由（21）區(qū)沖擊波關(guān)系式和（12）區(qū)稀疏波方程聯(lián)合界面連續(xù)條件求解。

2.1 沖擊波與彈丸的相互作用

假設(shè)彈丸為剛體，且初始時刻靜止，則反射沖擊波波陣面（22）區(qū)上的參數(shù)可以由沖擊波關(guān)系式和波后粒子速度u22=0 求得。

（23）區(qū)為以（22）區(qū)沖擊波后狀態(tài)為初始狀態(tài)的簡單波區(qū)，左行稀疏波是由彈丸運(yùn)動產(chǎn)生的，其通解可表示為[14-15]：

彈丸的運(yùn)動可以由牛頓第二定律得到：

式中：Mp為彈丸的面積質(zhì)量；帶下標(biāo)b 的量表示壁面上的參數(shù)，即彈丸上的參數(shù)，如ub為彈丸的運(yùn)動速度。

假設(shè)氣體1 和氣體2 均為多方氣體，根據(jù)多方氣體狀態(tài)方程及聲速的定義，有：

由于（23）區(qū)的參數(shù)u23、c23滿足式(1)，壁面上的參數(shù)也應(yīng)滿足式(1)，有：

由式(4)可得cb(ub)，代入式(3)得到：

將式(5)代入式(2)并進(jìn)行積分求解，得到：

式中：t1為彈丸開始運(yùn)動的時刻，即沖擊波到達(dá)彈丸的時刻?？捎桑?0）區(qū)的沖擊波速度D21求得：

式中：L2為氣體2 的初始長度。

2.2 沖擊波與彈丸二次作用

考慮到（23）區(qū)中，彈丸的運(yùn)動速度相對較小，產(chǎn)生的稀疏波對壓力的影響也相對較小，可假設(shè)（23）區(qū)為均勻區(qū)，其參數(shù)狀態(tài)與（22）區(qū)相同，因此，反射波與界面的相互作用即為沖擊波從氣體2 向氣體1 運(yùn)動的過程。根據(jù)2 種氣體的波阻抗關(guān)系可知，在界面上反射波和透射波均為沖擊波。利用（13）區(qū)和（24）區(qū)的沖擊波關(guān)系式和界面連續(xù)條件，可求得（13）區(qū)和（24）區(qū)的狀態(tài)。

在（24）區(qū)經(jīng)過界面反射的沖擊波會再次與彈丸作用，此時，彈丸具有了一定的速度。為了確定此時彈丸的運(yùn)動速度，先利用前面區(qū)域的沖擊波速度和彈丸的運(yùn)動速度求解沖擊波與彈丸的二次作用時間。

根據(jù)圖2 中的幾何關(guān)系，可以得到反射沖擊波與界面的作用時間t2為：

沖擊波與彈丸第2 次作用的時間t3與沖擊波速度和彈丸運(yùn)動之間的關(guān)系為：

式中：xb(t3)為（23）區(qū)彈丸的運(yùn)動距離，其表達(dá)式由彈丸運(yùn)動速度(6)對時間積分得到：

利用數(shù)值解法可求得t3，代入式(6)，得到此時彈丸的運(yùn)動速度ub(t3)。

利用（25）區(qū)沖擊波的關(guān)系式和彈丸運(yùn)動速度u25=ub(t3)，可以得到（25）區(qū)的流場參數(shù)p25、ρ25和c25。

與（23）區(qū)類似，采用牛頓第二定律可以得到（25）區(qū)彈丸的運(yùn)動速度：

經(jīng)過2 次反射后，氣體2 中的沖擊波已經(jīng)比較小，沖擊波馬赫數(shù)Ma≈1，可以視為弱波或不考慮其影響。因此，在雙氣體驅(qū)動中，彈丸的運(yùn)動速度可以表示為：

2.3 稀疏波的追趕與修正

活塞運(yùn)動的終止會向驅(qū)動氣體中傳入稀疏波，如圖2 所示，當(dāng)稀疏波追趕上彈丸時，會降低彈丸底部的壓力，使得加速度減小，最終降低彈丸的速度。假設(shè)活塞在時刻t4停止運(yùn)動，產(chǎn)生向右傳播的稀疏波，稀疏波以聲速傳播，波頭運(yùn)動速度為u+c，稀疏波需要依次經(jīng)過（12）、（13）和（25）區(qū)。通過以上建立的波系分析方程，計算分別填充氖氣、氬氣和空氣作為高密度氣體的情況，可以得到（12）、（13）和（25）區(qū)的稀疏波波頭運(yùn)動速度。經(jīng)分析表明，（13）區(qū)波速最小、（12）區(qū)居中、（25）區(qū)波速最大，且（12）區(qū)波速與3 個區(qū)域波速的平均值偏差不超過13%，（25）區(qū)的偏差不超過20%。同時，考慮到各稀疏波的追趕時間與各區(qū)的寬度也有關(guān)系，為簡化計算，模型以（25）區(qū)的傳播速度作為稀疏波的追趕速度，由此可以計算稀疏波追趕上彈丸的時刻t5。

時刻t5以后，由于稀疏波的作用，彈底壓力開始迅速下降。假設(shè)此區(qū)域（26）的壓力可以采用指數(shù)衰減規(guī)律進(jìn)行描述：

式中：k為衰減系數(shù)。此時，彈丸的運(yùn)動狀態(tài)與（25）區(qū)類似，仍然是高壓氣體膨脹造成的加速運(yùn)動，可采用式(11)計算得到，不同的是將式中的壓力改為稀疏波過后的壓力p26。因此，彈丸加速全過程的計算可以表示為：

3 模型驗證

為了驗證前述的模型，采用AUTODYN 有限元軟件對直徑8 mm 的等直徑發(fā)射器進(jìn)行仿真計算。

3.1 有限元仿真模型

發(fā)射器直徑為8 mm，活塞與彈丸的距離為50 cm，氣體1 為氖氣、長度37.5 cm，氣體2 為氦氣、長度12.5 cm，彈丸材料為鎂合金、厚度4 mm，發(fā)射管長度為50 cm。采用流固耦合方法進(jìn)行計算，所建立的仿真計算模型如圖3 所示。其中，氖氣和氦氣采用Euler 網(wǎng)格和理想氣體狀態(tài)方程；活塞、彈丸采用Lagrange 網(wǎng)格，活塞材料為鋼，采用Johnson-Cook 模型和Grüneisen 狀態(tài)方程，彈丸材料為鎂合金，采用Steinberg Guinan 模型和Grüneisen 狀態(tài)方程。彈丸和活塞材料參數(shù)均采用AUTODYN 材料庫自帶參數(shù)[16]?；钊\(yùn)動采用自定義速度曲線邊界條件設(shè)置，以7 km/s 的恒定速度向右移動40 cm。

圖3 AUTODYN 仿真計算模型Fig.3 Finite elements simulation model

3.2 計算結(jié)果對比

分別改變氣體初始壓力（1.0、1.72、2.5 MPa）和2 種氣體的界面位置（指氣體界面離活塞的距離與整個充氣長度的比值，即L1/（L1+L2））（55%、65%、75%），具體參數(shù)如表1 所示。采用有限元仿真對不同參數(shù)的發(fā)射器發(fā)射過程進(jìn)行計算，并將式(14)中k的取值調(diào)整為-0.02 進(jìn)行計算，得到的結(jié)果如表1 所示。從表1 中的結(jié)果可以看到，與有限元仿真結(jié)果相比，式(14)的計算誤差不超過8.1%。同時可以看到，彈丸的發(fā)射速度隨初始壓力的升高而迅速增大。圖4 中給出了不同初始壓力下彈丸的加速過程曲線，可以看到，所建立的模型不僅能夠較準(zhǔn)確地計算最終的發(fā)射速度，同時還能較準(zhǔn)確地計算發(fā)射速度歷程。

圖4 不同初始壓力下彈丸的加速過程對比Fig.4 Velocity-time histories of launchers with different initial pressures

表1 理論模型與數(shù)值計算結(jié)果Table 1 Muzzle velocities obtained from simulation and analytical equation

隨著初始界面位置的增加，發(fā)射速度略微增加。圖5 中給出了填充1.72 MPa 氣壓、不同界面位置下，彈丸底部壓力的變化曲線?？梢钥吹?，隨著界面的位置增大，彈丸受第1 次沖擊加載的時間延后，加載的時間長度縮短，第1 階段獲得的速度更低。但受第2 次沖擊波加載后，彈底壓力更高，二次沖擊加載的時長變化不大，第2 階段獲得的速度更高，經(jīng)過前2 個階段的加載，不同初始界面位置狀態(tài)下彈丸發(fā)射速度基本一致。發(fā)射速度略微增加的原因主要是，稀疏波追趕卸載后，彈底壓力仍然保持了二次沖擊加載后壓力較高的特性，因此后續(xù)加速能力略高。

圖5 不同界面位置下彈丸底部的壓力對比Fig.5 Pressure-time histories of launchers with different initial gas interfaces

3.3 計算結(jié)果與單一氦氣驅(qū)動對比

當(dāng)采用單一氦氣作為驅(qū)動氣體時，僅考慮沖擊波第1 次與彈丸的相互作用，此時可將公式(14)簡化為：

式中：帶下標(biāo)12 的量是指氣體沖擊波與彈丸作用后區(qū)域的參數(shù)。利用式（15）對表1 中的狀態(tài)進(jìn)行計算，通過調(diào)整充氣壓力使得發(fā)射過載pb,max（即pb最大值）或發(fā)射速度ub與式(14)結(jié)果相同，獲得的相同過載時的發(fā)射速度和相同發(fā)射速度時的過載分別如圖6～7 所示，圖中橫坐標(biāo)n為與表1 中對應(yīng)的算例編號?？梢钥吹剑谙嗤^載pb,max下，采用梯度氣體獲得的彈丸速度比采用單一氦氣獲得的速度高0.4～1.4 km/s；在相同發(fā)射速度下，采用梯度氣體可降低發(fā)射過載0.2～0.9 GPa。說明采用梯度氣體代替單一氣體驅(qū)動能夠有效提升發(fā)射速度或降低發(fā)射過載。

圖6 發(fā)射速度結(jié)果與單一氦氣驅(qū)動對比（相同過載）Fig.6 Muzzle velocities compared with the launchers with only helium driven gas (under the same pb,max)

圖7 發(fā)射過載結(jié)果與單一氦氣驅(qū)動對比（相同過載）Fig.7 Maximum base pressures compared with the launchers with only helium driven gas (under the same ub)

4 發(fā)射速度、彈底壓力影響參數(shù)分析

可能影響彈丸發(fā)射結(jié)果的因素有氣體1 的類型、活塞運(yùn)動的距離Lpist/(L1+L2)、活塞速度D、初始填充壓力、界面初始位置等。其中氣體1 的類型不同主要體現(xiàn)在氣體的密度和多方氣體指數(shù)兩個參數(shù)。下面分別利用公式(14)對不同狀態(tài)下彈丸的發(fā)射速度和最大彈底壓力進(jìn)行計算，分析上述因素對彈丸兩種發(fā)射參數(shù)的影響程度。

4.1 初始填充壓力與界面位置

以Ne 作為氣體1、活塞運(yùn)動距離Lpist/(L1+L2)=80%、活塞恒定運(yùn)動速度D=7 km/s 為基礎(chǔ)，改變初始填充壓力和界面初始位置，計算得到的彈丸發(fā)射速度和彈底最高壓力分別如圖8～9 所示。從圖中可以看出，發(fā)射速度隨界面位置的變化不明顯，但隨填充壓力的增大而迅速增大；最大彈底壓力隨界面位置和填充壓力的增大而均顯著增大。最大彈底壓力隨界面位置增大顯著增大的原因是，界面位置越大意味著界面與彈丸之間的距離越小，造成二次壓縮波到達(dá)彈丸底部的時間更短，兩次沖擊波強(qiáng)度疊加后的強(qiáng)度增強(qiáng)，最終使得彈底壓力增大。

圖8 界面位置和初始填充壓力對速度的影響Fig.8 Muzzle velocities of launchers with different initial pressure and position of gas interface

圖9 界面位置和初始填充壓力對過載的影響Fig.9 Maximum base pressures of launchers with different initial pressure and position of gas interface

4.2 活塞運(yùn)動距離與速度

仍以Ne 作為氣體1，設(shè)置填充壓力為2.0 MPa、界面位置L1/(L1+L2)=70%，改變活塞運(yùn)動距離與速度，計算結(jié)果如圖10～11 所示。可以看到，發(fā)射速度和最大彈底壓力均隨活塞速度的增大而近似線性增大，這是由于活塞運(yùn)動速度的增大使得沖擊波強(qiáng)度增強(qiáng)，從而提升了彈底壓力。隨著活塞運(yùn)動距離的增大，發(fā)射速度也會增大，但最大彈底壓力卻幾乎不變。這是由于活塞運(yùn)動距離僅影響活塞的終止時間，運(yùn)動距離越大，活塞運(yùn)動時間也越長，稀疏波追趕上彈丸的時間也越長，從而使彈底保持高壓的時間也越長，發(fā)射速度也就越大；而最大彈底壓力是由二次沖擊加載形成的，與活塞運(yùn)動距離造成的稀疏波的追趕時間無關(guān)。

圖10 活塞運(yùn)動距離與活塞速度對速度的影響Fig.10 Muzzle velocities of launchers with different D and displacement of the piston

圖11 活塞運(yùn)動距離與活塞速度對過載的影響Fig.11 Maximum base pressures of launchers with different D and displacement of the piston

4.3 氣體1 的密度和多方氣體指數(shù)

設(shè)置填充壓力為2.0 MPa、界面位置L1/(L1+L2)=70%、活塞運(yùn)動速度為7 km/s、活塞運(yùn)動距離Lpist/(L1+L2)=80%、氣體2 為Ne，改變氣體1 的密度ρ10和多方氣體指數(shù)γ1。為便于對比，氣體1 的 密度以Ne 的密度為基數(shù)，以相對密度形式變化，即同等壓力下Ne 的相對密度為1.0。計算結(jié)果如圖12～13 所示。從圖中可以看到，隨著多方氣體指數(shù)的增大，彈底壓力逐漸減小；而發(fā)射速度隨氣體相對密度的增大而增大，且隨多方氣體指數(shù)的增大發(fā)射速度的增幅也會變大。因此，氣體1 應(yīng)選擇多方氣體指數(shù)和密度較大的氣體，如Ne、Ar 等。

圖12 氣體1 參數(shù)對速度的影響Fig.12 Muzzle velocities of launchers with different ρ10 and γ1

圖13 氣體1 參數(shù)對過載的影響Fig.13 Maximum base pressures of launchers with different ρ10 and γ1

4.4 各參數(shù)敏感性分析

對比圖8～13，在所計算的參數(shù)范圍內(nèi)，各參數(shù)的變化對發(fā)射速度和過載的影響如表2 所示。從表中可以看出，氣體壓力的變化（1～2 MPa）能夠?qū)l(fā)射速度提升2.54～3.08 km/s、發(fā)射過載提高0.98～2.06 GPa；界面位置變化（50%～90%）可使發(fā)射速度提升不超過0.5 km/s、發(fā)射過載提高0.47～1.55 GPa；活塞運(yùn)動距離變化（40%～80%）可使發(fā)射速度提升1.28～1.4 km/s，但發(fā)射過載幾乎不變；活塞運(yùn)動速度變化（5～8 km/s）可使發(fā)射速度提升4.38～4.48 km/s、發(fā)射過載提高2.85 GPa；高密度氣體的密度變化（（2.5～10）倍低密度氣體的密度）可使發(fā)射速度提升4.08～6.02 km/s、發(fā)射過載提高3.62～3.79 GPa；高密度氣體多方氣體指數(shù)的變化（1.2～1.67）可使發(fā)射速度提升-0.14～1.80 km/s、發(fā)射過載降低1.24～1.07 GPa。從以上分析可知，發(fā)射速度對氣體密度和活塞運(yùn)動速度最敏感，氣體壓力次之，再次為多方氣體指數(shù)和活塞運(yùn)動距離，對界面位置最不敏感；發(fā)射過載也對氣體密度和活塞運(yùn)動速度最敏感，其次為氣體壓力、界面位置和多方氣體指數(shù)，對活塞運(yùn)動距離不敏感。

表2 發(fā)射能力對各參數(shù)的敏感性分析Table 2 The sensitivity of parameters in affecting launch performance

從以上對各參數(shù)的定性和定量分析可以看出，要提高發(fā)射器的發(fā)射速度，氣體1 應(yīng)選擇多方指數(shù)和密度較大的氣體、活塞速度和運(yùn)動距離越大越好，氣體界面初始位置應(yīng)在保證能夠?qū)崿F(xiàn)二次沖擊加載的前提下盡量小、填充氣體壓力越大越好。

5 結(jié) 論

對雙氣體填充的等直徑發(fā)射器建立了理論求解模型，采用理論模型對發(fā)射器的結(jié)構(gòu)和裝填參數(shù)進(jìn)行了分析，獲得了發(fā)射速度和最大彈底壓力隨氣體1 的密度和多方氣體指數(shù)、氣體界面位置、活塞運(yùn)動速度和距離、初始壓力等的變化規(guī)律。獲得以下主要結(jié)論：

(1)提出了一種采用梯度氣體替代單一氣體驅(qū)動的方式，并建立了雙氣體驅(qū)動理論求解模型，與有限元仿真獲得的加速過程和發(fā)射速度結(jié)果吻合，發(fā)射速度誤差不超過8.1%；

(2)通過對比采用單質(zhì)氦氣和梯度氣體作為驅(qū)動氣體時彈丸的發(fā)射速度和發(fā)射過載，發(fā)現(xiàn)采用梯度氣體作為發(fā)射器的驅(qū)動氣體能夠有效降低發(fā)射過載、提升發(fā)射速度；

(3)氣體密度和活塞運(yùn)動速度對發(fā)射速度和過載的影響最大，其次為氣體壓力和多方氣體指數(shù)，在設(shè)計等直徑梯度氣體驅(qū)動發(fā)射器時，應(yīng)當(dāng)選擇多方氣體指數(shù)較高的氣體作為高密度氣體，活塞速度和運(yùn)動距離盡可能大。

感謝加拿大麥吉爾大學(xué)Andrew Higgins 教授就本文中梯度氣體的驅(qū)動方法進(jìn)行的有益討論與指導(dǎo)！