一道向量題的探究

王惠清

?江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心

平面向量問(wèn)題一直是每年模擬、高考、競(jìng)賽等考試中的熱點(diǎn)與重點(diǎn)問(wèn)題之一，其借助平面幾何的背景，創(chuàng)新性、新穎性皆很強(qiáng)，且變化多端，?？汲Ｐ拢瑫r(shí)也是數(shù)學(xué)知識(shí)交匯與融合的理想場(chǎng)所之一，是考試中能力齊全、思維各異、方法多樣的一個(gè)主戰(zhàn)場(chǎng).破解平面向量問(wèn)題，主要是抓住平面向量與平面幾何的圖形特征，借助基底思維、坐標(biāo)思維、解三角形思維等方式切入，結(jié)合平面向量的相關(guān)運(yùn)算，得以研究相關(guān)的幾何元素之間的關(guān)系問(wèn)題.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題(2020屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三年級(jí)4月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)理科試卷·10)如圖1所示，在由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形中，設(shè)DF=3FA，則( ).

圖1

此題設(shè)計(jì)新穎別致，題意簡(jiǎn)潔明了，目標(biāo)明確，立意深刻，通過(guò)平面幾何圖形的拼接與組合，以兩個(gè)具有特殊關(guān)系的等邊三角形為問(wèn)題背景，結(jié)合其中線段之間的比例關(guān)系來(lái)確定平面向量的線性關(guān)系式.問(wèn)題以平面幾何圖形為背景，使得命題條件獨(dú)具特色，并增加了思維難度，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)高考的“多考思維，少考計(jì)算”的命題新理念，意在考查學(xué)生的觀察、歸納、猜想和邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2 問(wèn)題破解

思維視角一：基底思維

方法1：基底法——線性運(yùn)算法.

解析：根據(jù)題目條件可知△ABD≌△BCE≌△CAF.

由DF=3FA，可得ED=3DB，F(xiàn)E=3EC.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面圖形的形象直觀性，數(shù)形結(jié)合，利用三角形法則，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，“一條路到底”，再結(jié)合基底法的應(yīng)用來(lái)確定平面向量的線性關(guān)系式，從而正確求解.

方法2：基底法——待定系數(shù)法.

思維視角二：坐標(biāo)思維

方法3：坐標(biāo)法.

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

圖2

E(16x-6，16y).

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo).設(shè)F(x，y)，利用條件中線段長(zhǎng)度的關(guān)系分別表示出點(diǎn)D，E的坐標(biāo).結(jié)合CF=4CE建立相關(guān)參數(shù)的方程組，進(jìn)而確定點(diǎn)D的坐標(biāo).利用平面向量的基本原理及其坐標(biāo)運(yùn)算建立關(guān)系式，結(jié)合待定系數(shù)法來(lái)求解相應(yīng)的參數(shù)值，從而正確求解.

思維視角三：解三角形思維

方法4：余弦定理法.

圖3

解析：如圖3所示，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)BE交CA于點(diǎn)N.

結(jié)合DF=3FA，根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3，BM=CN=x，DM=EN=y.

在△BCE中，由余弦定理，得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的輔助線，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度，并結(jié)合余弦定理的應(yīng)用確定BC的長(zhǎng)度.通過(guò)相似三角形的判定與性質(zhì)建立相應(yīng)的關(guān)系式，得以確定相應(yīng)的參數(shù)值，再結(jié)合平面向量的平行關(guān)系、共線性質(zhì)以及線性運(yùn)算進(jìn)行分解，從而正確求解.

方法5：正弦定理法.

解析：如圖4所示，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M.

圖4

結(jié)合DF=3FA，根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3.記∠DAB=α，∠DBA=β.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的輔助線，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度，并結(jié)合正弦定理的應(yīng)用確定線段之間的關(guān)系，再結(jié)合三角形面積之間的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而確定線段之間的比例關(guān)系，最后結(jié)合平面向量的平行關(guān)系、共線性質(zhì)以及線性運(yùn)算進(jìn)行分解，從而正確求解.

3 變式拓展

探究1：保留題目條件，根據(jù)大、小等邊三角形之間的比例關(guān)系，通過(guò)面積關(guān)系來(lái)設(shè)置幾何概型問(wèn)題，利用概率的求解來(lái)進(jìn)行合理變式.

變式1如圖1所示，在由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形中，設(shè)DF=3FA，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概率是.

探究2：保留原問(wèn)題的部分條件，把具體的線段比例關(guān)系進(jìn)行一般化處理，將原問(wèn)題變式拓展，從而得到相應(yīng)的一般性結(jié)論.

該結(jié)論的具體證明過(guò)程可參照原問(wèn)題中方法4的求解過(guò)程.利用該結(jié)論，可以確定小等邊三角形與大等邊三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系、面積的關(guān)系以及與之相關(guān)的其他問(wèn)題，包括變式1中的幾何概型問(wèn)題等.

4 解后反思

破解平面向量問(wèn)題最常見的“三思維”：基底思維、坐標(biāo)思維、解三角形思維.在實(shí)際解答過(guò)程中，利用平面向量的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)分析與處理，具體破解與切入方式又有不同的形式.其實(shí)，在解決平面向量問(wèn)題時(shí)，要充分利用平面向量的特征，提高識(shí)“圖”與用“圖”能力，提升用“數(shù)”與解“數(shù)”思維，進(jìn)而從“形”的角度或“數(shù)”的角度切入，結(jié)合不同的思維方式來(lái)分析，達(dá)到多角度思維，多方法處理，多層面拓展.