基本不等式與其他知識的交匯融合

丁建兵

?江蘇省西亭高級中學(xué)

本文中歸納總結(jié)了基本不等式與其他知識交匯融合的6種常見題型，并結(jié)合具體實例進(jìn)行分析求解，以引導(dǎo)學(xué)生通過總結(jié)歸納強化和提升對相關(guān)知識、方法的綜合運用能力.

1 常見題型一：基本不等式與函數(shù)的交匯

求解有關(guān)代數(shù)式的范圍或最值時，往往需要適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，利用基本不等式或者基本不等式的變形結(jié)論加以靈活求解.

C.(2,+∞) D.(0,1)

圖1

解析：如圖1，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x)=|lnx|的圖象與直線y=m.根據(jù)題意可知函數(shù)y=|lnx|的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，且交點的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，不妨設(shè)x11.

故選：C.

評注：本題求解的關(guān)鍵有三點.一是活用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化題設(shè)已知條件；二是根據(jù)方程的根，獲得x1x2=1；三是借助基本不等式，準(zhǔn)確求解目標(biāo)式的取值范圍.

2 常見題型二：基本不等式與數(shù)列的交匯

以數(shù)列知識為背景而設(shè)置的求解最值問題，需要先根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列知識進(jìn)行具體分析，以便適當(dāng)轉(zhuǎn)化目標(biāo)式(寫成一元代數(shù)式)，再靈活運用基本不等式即可順利獲解.

例2已知遞增等差數(shù)列{an}中，a1a2=-2，則a3的( ).

A.最大值為-4 B.最小值為4

C.最小值為-4 D.最大值為4或-4

故選：B.

評注：本題看似簡單，但實則考查了等差數(shù)列的通項公式、單調(diào)性與基本不等式在求解最值問題中的綜合運用，且求最值時極易出錯(沒有關(guān)注基本不等式成立的前提條件).

3 常見題型三：基本不等式與向量的交匯

處理平面向量中的有關(guān)最值問題時，往往需要在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，先根據(jù)平面向量知識分析獲得一個具體的結(jié)論，再利用該結(jié)論以及基本不等式靈活求解目標(biāo)式的最值問題.

圖2

評注：本題主要考查了基底向量與向量的共線定理、性質(zhì)在解題中的綜合運用，同時也考查了利用基本不等式巧求目標(biāo)代數(shù)式的最小值(需要借助“1”的特性靈活變形).

4 常見題型四：基本不等式與直線和圓的交匯

處理直線和圓中的有關(guān)取值范圍問題時，需要先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析獲得一個具體的結(jié)論，再借助基本不等式或者基本不等式的推廣性結(jié)論加以靈活求解.

例4設(shè)m,n∈R，若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是( ).

故選：D.

5 常見題型五：基本不等式與立體幾何的交匯

以立體幾何為背景而設(shè)置的最值求解問題，需要先根據(jù)空間圖形以及立體幾何相關(guān)知識進(jìn)行具體分析，進(jìn)而靈活運用基本不等式即可順利獲解.

圖3

例5如圖3，三棱錐P-ABC的四個頂點恰是長、寬、高分別是m,2,n的長方體的頂點，若此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為.

評注：本題主要考查了三棱錐的體積公式、球的體積公式以及基本不等式在解題中的綜合運用，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合能力.

6 常見題型六：基本不等式與解三角形的交匯

處理解三角形中的有關(guān)最值問題時，往往需要先根據(jù)正弦定理、余弦定理、面積公式以及相關(guān)三角函數(shù)知識進(jìn)行綜合分析，再靈活運用基本不等式即可順利獲解.

評注：本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及基本不等式在解題中的綜合運用，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

總之，在處理有關(guān)范圍或最值問題時，應(yīng)適時創(chuàng)造有利條件，以便靈活運用基本不等式獲得巧思妙解，進(jìn)而提高解題的技能技巧，且學(xué)且悟且提升！