借助數(shù)形結(jié)合促升解題能力

鄭淑平

?甘肅省張掖市實驗中學(xué)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大核心內(nèi)容，二者表面看相互獨立，實則緊密聯(lián)系，往往是數(shù)中有形，形中有數(shù).解題時將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化可以使問題變得簡單、直觀，進(jìn)而方便學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知找到解題的切入點，從而高效、高質(zhì)解決問題.然在現(xiàn)實教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識淡薄，考試時很少應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，應(yīng)用也僅限于將簡單的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，究其原因是學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的重要性認(rèn)識不足，難以發(fā)現(xiàn)代數(shù)問題中的幾何意義，也不能將幾何中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解.為此，在教學(xué)中，教師要重視滲透和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生巧借數(shù)形轉(zhuǎn)化提升解題效率.

1 數(shù)形結(jié)合的重要性

數(shù)形結(jié)合有利于夯實學(xué)生基礎(chǔ)，培養(yǎng)思維的深度；也能提升解題效率.數(shù)與形看似獨立，卻密不可分，只有將它們有機(jī)地結(jié)合在一起，才能使數(shù)學(xué)更加精彩.例如，在求函數(shù)值域時若直接從代數(shù)角度求解不僅過程復(fù)雜，而且計算量大，而將其轉(zhuǎn)化為幾何問題，解題思路也更加直觀、清晰，求解更方便.只有二者有機(jī)結(jié)合，才能把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)和精髓，才能使數(shù)形結(jié)合成為解決數(shù)學(xué)問題的有力武器.

2 數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用原則

雖然數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)生解題效率、發(fā)展思維方面發(fā)揮著不可估量的作用，但并非所有的問題都適合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合.眾所周知，圖形雖然直觀，但有時并不一定可以完整地刻畫出所有的數(shù)量關(guān)系，若轉(zhuǎn)化時忽略了等價性，可能使解題出現(xiàn)漏洞；其次，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時要將直觀的分析和抽象的探索有機(jī)結(jié)合起來，即關(guān)注雙向性.最后，將問題向簡單化轉(zhuǎn)化，其目的是為了高效解決問題，而并非為了追求新奇而刻意使用.

3 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如，在解決三角函數(shù)、向量、不等式、方程等問題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可以達(dá)到簡化解題過程、優(yōu)化解題策略的目的.下面筆者借助幾個典型案例展示數(shù)形結(jié)合的魅力.

3.1 應(yīng)用于解方程問題

在解決一些含參的對數(shù)、指數(shù)或根式方程時，若通過代入、開方等常規(guī)的解題思路求解，雖然思路簡單但難以計算，故需要巧借數(shù)形結(jié)合將問題向簡單化轉(zhuǎn)化，從而使求解更加簡潔明快.

例1已知a，b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點.

(1)求a和b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點；

(3)設(shè)h(x)=f(f(x))-c，其中c∈[-2,2]，求函數(shù)y=h(x)的零點個數(shù).

第(1)問求得a=0，b=-3；第(2)問得出x=-2是g(x)的極值點.這兩個問題的求解過程在此就不詳細(xì)講解了，本題重點分析如何利用數(shù)形結(jié)合求解第(3)問.

問題(3)求函數(shù)y=h(x)的零點個數(shù)即為h(x)=0的根的個數(shù).

解析：(3)令h(x)=0，則f(f(x))=c，令f(x)=t，則c=f(t).

當(dāng)c=2時，設(shè)c=f(t)的兩個根為t1，t2，則t1=-1，t2=2.由圖象知方程f(x)=-1的根有3個，方程f(x)=2的根有2個，且這5個根不相等.故c=2時，f(f(x))=c的根有5個，即y=h(x)的零點個數(shù)為5個.

同理，c=-2時，y=h(x)的零點個數(shù)也為5個.當(dāng)-2

綜上，當(dāng)|c|=2時，函數(shù)y=h(x)有5個零點；當(dāng)|c|<2時，函數(shù)y=h(x)有9個零點.

點評：問題(3)中“函數(shù)y=h(x)的零點個數(shù)”經(jīng)過換元轉(zhuǎn)化為“方程f(x)=t的根的個數(shù)”，即將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程問題.雖然解方程問題學(xué)生較為熟練，但本題若直接求解很難實現(xiàn)，故通過數(shù)形結(jié)合再次轉(zhuǎn)化為討論y=f(x)與y=t的圖象交點問題，使問題向直觀化轉(zhuǎn)化，從而結(jié)合圖象可以順利求解問題.

3.2 應(yīng)用于最值問題

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求最值是較為常見的方法.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合往往要根據(jù)題目特點構(gòu)造出使問題簡單化和直觀化的圖形，從而搭建起“數(shù)”與“形”的高架橋，進(jìn)而達(dá)到事半功倍的效果.

例2在△ABC中，AC邊上的中線為BD，若BD=2，AB=AC，當(dāng)頂角A變化時，求△ABC的面積的最大值.

圖1

點評：本題求解時根據(jù)圖形特點巧妙地以BC所在直線為x軸，BC的中點為原點O建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用基本不等式求得△ABC面積的最大值.當(dāng)然，本題在求解時還可以以BD所在的直線為x軸，BD中點為原點O建立平面直角坐標(biāo)系，由阿氏圓定義可確定點A的軌跡為圓，進(jìn)而結(jié)合圖形求解△ABC的最大值.雖然前者主要運(yùn)用了代數(shù)思維，后者為解析幾何思維，但求解過程中都需要經(jīng)過圖形的轉(zhuǎn)化.可見，在求最值問題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合往往可以收獲驚喜.

3.3 應(yīng)用于不等式問題

在解不等式問題時，若不等式兩邊不能轉(zhuǎn)化為熟悉的方程或不等式組，或不等式恒成立等問題，直接求解不僅運(yùn)算量過大，而且可能越解越復(fù)雜，容易使學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒，故可以嘗試借助不等式中蘊(yùn)含的幾何意義將問題向直觀化轉(zhuǎn)化.

例3已知x，y，z∈(0,1)，求證：x(1-y)+y·(1-z)+z(1-x)<1.

圖2

證法1：如圖2構(gòu)造邊長為1的正三角形ABC.

設(shè)點D,E,F分別在邊AC，AB，BC上，|AD|=x，|BE|=y，|CF|=z.

由面積關(guān)系，得S△ADE+S△FEB+S△CDF

故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1得證.

點評：本題在證明過程中充分利用代數(shù)式的幾何意義構(gòu)造正三角形ABC，將不等式問題轉(zhuǎn)化為三角形的面積問題，使抽象的代數(shù)問題更加直觀化.不等式問題是教學(xué)的重難點，也是高考的重要考點，因此，在教學(xué)中要注意典型問題的推理和拓展，以豐富學(xué)生的解題思路，提升解題效率.

3.4 應(yīng)用于函數(shù)值域問題

求函數(shù)值域雖然是比較熟悉的問題，然因其題型靈活多變，涉及的內(nèi)容廣，因此該類問題也是數(shù)學(xué)的一個重難點.若將函數(shù)與圖形有機(jī)地結(jié)合，通過直觀觀察可以直接找到問題的突破口，使解題更加高效.

例4求函數(shù)y=|x-1|+|x+2|的值域.

分析：記實數(shù)x，1，-2在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P，A，B，則函數(shù)y=|x-1|+|x+2|可以看成數(shù)軸上點P到定點A，B的距離的和.

解：記實數(shù)x，1，-2在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P，A，B，則函數(shù)y=|x-1|+|x+2|看作數(shù)軸上點P到定點A，B的距離的和.結(jié)合圖3可知，當(dāng)點P在線段AB上時，y=|x-1|+|x+2|=|AB|=3；當(dāng)點P在AB的延長線上或BA的延長線上時，y=|x-1|+|x+2|>|AB|=3.所以y=|x-1|+|x+2|的值域為[3,+∞).

圖3

點評：本題雖然為求函數(shù)值域的問題，但通過數(shù)形結(jié)合可將其轉(zhuǎn)化為距離問題，即數(shù)軸上的任意點到兩定點的距離問題，轉(zhuǎn)化后問題更具直觀性.本題因點P的位置不確定，所以解題時應(yīng)根據(jù)三種可能存在的位置進(jìn)行分類討論.各知識點交互交融，解題方法和數(shù)學(xué)思想又相互滲透，因此，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行解題方法和解題技巧的總結(jié)和探究，進(jìn)而提升應(yīng)變能力.

總之，數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)的重要解題策略和數(shù)學(xué)思想，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價值是不言而喻的.教師必須重視引導(dǎo)和滲透，從而通過轉(zhuǎn)化揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生具備將知識轉(zhuǎn)化為技能的能力，進(jìn)而提升解題效率，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.