一道高考多選題的深度教學(xué)與思考*

劉 娟

?合肥市第一中學(xué)合肥市劉娟教育名師工作室

自2020年起，全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為依據(jù)，試卷不分文理科，由八道單項(xiàng)選擇題、四道多項(xiàng)選擇題、四道填空題和六道必做解答題組成.其中，多項(xiàng)選擇題是新的類型，每小題5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分，即見錯(cuò)歸零，減少單選題中通過盲選也可得滿分的可能性，有效提高了滿分的思維價(jià)值.多選題的構(gòu)成要素較復(fù)雜，破解難度大，需要的能力點(diǎn)多，依托數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，要求學(xué)生具有完備、細(xì)致、全面的思維品質(zhì)[1].多選題四題中前兩題較為基礎(chǔ)，后兩題難度較大.

筆者以2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題為例，分析問題并從深度學(xué)習(xí)的不同角度給出教學(xué)建議.

1 問題呈現(xiàn)

圖1

A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

2 問題破解

圖2

圖3

法1：計(jì)算點(diǎn)P分別在線段CC1的端點(diǎn)C，C1及在線段CC1中點(diǎn)處時(shí)△AB1P的周長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的△AB1P的周長(zhǎng)不相等，從而△AB1P的周長(zhǎng)不是定值，故排除A選項(xiàng).

法2：如圖3，將面AA1C1C與面BCC1B1展開成長(zhǎng)方形AA1B1B，連結(jié)AB1，由于點(diǎn)P在線段CC1上運(yùn)動(dòng)，顯然△AB1P的周長(zhǎng)不是定值.

法3：要判斷△AB1P的周長(zhǎng)是否為定值，只需判斷|B1P|+|PA|是否為定值.

設(shè)|PC1|=x，x∈[0，1]，則

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

所以μ=0或μ=1.故點(diǎn)P不唯一.

圖15

故有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件.

圖16

法2：要證A1B⊥平面AB1P，只需證明A1B垂直于平面AB1P內(nèi)的兩條相交直線.由于ABC-A1B1C1是正三棱柱，顯然A1B⊥AB1.問題轉(zhuǎn)化為“判斷滿足A1B⊥B1P的點(diǎn)P是否唯一”.點(diǎn)A1在平面BCC1B1內(nèi)的投影為B1C1的中點(diǎn)D1(如圖16)，要想得出A1B⊥B1P，只需證BD1⊥B1P成立即可.顯然只有當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，△BB1D1≌△B1C1F，易得BD1⊥B1P，從而A1B⊥B1P.因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P.故選項(xiàng)D正確.

研究圖形的基本思想方法有綜合幾何法、解析幾何法、向量幾何法和分析法.在上述討論中，顯然向量幾何法在位置關(guān)系的判斷上比較簡(jiǎn)潔，后兩個(gè)選項(xiàng)直接利用平面向量的數(shù)量積便可做出判斷，但在度量關(guān)系上并不一定占據(jù)優(yōu)勢(shì)，所以前兩個(gè)選項(xiàng)重點(diǎn)用綜合幾何法和分析法進(jìn)行判斷.本題還可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，使用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來研究圖形，具體解法交由讀者自行研究.

3 教學(xué)建議

3.1 關(guān)注研究?jī)?nèi)容的結(jié)構(gòu)與聯(lián)想

本題對(duì)圖形的基本性質(zhì)(如圖17所示)的考查全面且深入.題干運(yùn)用平面向量基本定理表述點(diǎn)的位置，利用系數(shù)的變換，點(diǎn)動(dòng)成線，用平面的表述方式實(shí)現(xiàn)空間位置的確定，體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)中常用的將三維空間幾何問題轉(zhuǎn)化為二維平面中的問題來解決的基本思想.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》對(duì)整體的課程架構(gòu)歸納為整體→局部→整體，其中運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)是幾何課程的主線之一，而從變化中抓住不變的本質(zhì)是教學(xué)的重難點(diǎn).關(guān)注學(xué)生的思維過程，講解的思維進(jìn)階要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.隨著內(nèi)容的遞進(jìn)，以立體幾何為主體，不斷聚合不同主題下的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，抽絲剝繭，再重新織成網(wǎng)，以此為觸發(fā)器帶動(dòng)學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)到學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)遷移.

圖17

3.2 拓展軌跡形式，內(nèi)化知識(shí)的本質(zhì)

本題四個(gè)選項(xiàng)得出的點(diǎn)P的軌跡僅為與三棱柱的棱平行或垂直的線段，還可以作出以下變式，可不拘泥于題中λ，μ的范圍.本質(zhì)與變式強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)化[2].

變式1點(diǎn)P的軌跡為在三棱柱側(cè)面或底面上的線段.

變式2點(diǎn)P的軌跡為在三棱柱側(cè)面或底面上的曲線.

變式3點(diǎn)P的軌跡為在三棱柱內(nèi)的平面或曲面.

3.3 重要特征一般化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移

以正三棱柱為載體體現(xiàn)了新高考考查主干內(nèi)容的基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)了利用模型解題的通性通法，也可以回歸到最基本的正方體中，還可以在夯實(shí)點(diǎn)線面位置關(guān)系的同時(shí)強(qiáng)化度量關(guān)系，尤其是本例中未強(qiáng)調(diào)的角度問題，也可以通過割補(bǔ)等方式，引入陌生幾何體，或者加強(qiáng)對(duì)生活實(shí)踐的考查，以現(xiàn)有建筑或生活用品呈現(xiàn)的幾何體為例抽象出空間圖形，以生考熟.

學(xué)會(huì)應(yīng)用是遷移的重要表征，也是檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果的最佳途徑.遷移與應(yīng)用強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)成果的外化.如果把學(xué)習(xí)過程看作一個(gè)閉環(huán)結(jié)構(gòu)，那么遷移發(fā)生在閉合處，從別處遷移來，又從這里遷移到別處[2].

4 深度學(xué)習(xí)的發(fā)生

深度學(xué)習(xí)具有在學(xué)習(xí)對(duì)象(內(nèi)容)上關(guān)注聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、本質(zhì)與變式，在學(xué)習(xí)機(jī)制中關(guān)注活動(dòng)與體驗(yàn)、在學(xué)習(xí)實(shí)踐中關(guān)注遷移與應(yīng)用，以及關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的價(jià)值與評(píng)價(jià)等特征[3].

高考立足于立德樹人根本目標(biāo)，目前是新課標(biāo)、新課程、新教材與新高考的交匯時(shí)期，如何以核心知識(shí)的講授、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為不變，應(yīng)命題方式、試卷結(jié)構(gòu)及題目類型等的萬變，教師需要思考并嘗試，堅(jiān)持結(jié)合學(xué)生的切身實(shí)際，持續(xù)改進(jìn)教學(xué).研究高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)后發(fā)現(xiàn)，思維的深度很多時(shí)候體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用上，當(dāng)學(xué)生能夠結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法建立起能遷移且具有批判精神的思維方式時(shí)，深度學(xué)習(xí)就能夠成為發(fā)生在課堂中的真實(shí)景象[4].