線性代數(shù)教學的探索與實踐

段中雨 孔彥玲

河南開封科技傳媒學院經(jīng)濟學院 河南開封 475000

線性代數(shù)是理工科院校的一門公共必修課，是大一新生接觸的第一門代數(shù)類課程。有關線性代數(shù)的教學改革不斷推進，將線性代數(shù)教學改革成果融入教學實踐活動中，已在各高校相繼展開，教學改革成果不斷涌出。其中已發(fā)表的線性代數(shù)教學改革相關的研究論文中既有具體內(nèi)容的教學改革討論[1-2]，也有對線性代數(shù)教學改革整體布局的研究[3-4]，還有著眼于哲學在線性代數(shù)中的引領作用的研究[5]。本文結(jié)合線性代數(shù)各章節(jié)內(nèi)容以及代數(shù)學發(fā)展史，從教學實踐出發(fā)給出了線性代數(shù)教學改革中幾點思考和方向。

1 線性代數(shù)教學改革方向分析

線性代數(shù)作為自然科學類的一門基礎課程，是一門應用比較廣泛的課程，其理論和方法普遍應用于數(shù)學的各個分支，也是計算機科學、物理學、經(jīng)濟學等學科不可或缺的基礎。因此，掌握和運用線性代數(shù)理論知識，對于理解其他數(shù)學分支，學習其他課程都是大有裨益的。但是，線性代數(shù)內(nèi)容抽象、對學生的邏輯思維能力有一定的要求、不同章節(jié)之間有著密切的聯(lián)系，對于剛接觸線性代數(shù)課程的大一新生來說，難度較大。此外，進行教學改革既需要考慮課時多少，又要考慮學生接受程度，改革過程切忌生搬硬套，而應采取與時俱進的方法，達到“潤物細無聲”的效果，要想達到此種效果，教學改革任重而道遠。

線性代數(shù)課程有著豐富的內(nèi)容，若能結(jié)合人才培養(yǎng)目標，積極挖掘線性代數(shù)知識點、線性代數(shù)發(fā)展史、線性代數(shù)原理背后蘊含的思想方法，把代數(shù)史、代數(shù)思想方法巧妙融入日常教學中，以知識內(nèi)容為導向，課堂講授為著力點，并將其與課堂教學合理融為一體，則能起到“1+1>2”的效果。這樣既增加了課堂的吸引力，又潛移默化地培養(yǎng)了數(shù)學情懷，使學生感受數(shù)學之美，增強學習興趣。

首先，線性代數(shù)教學改革必須以實際效果為目標。并且，教學改革目標要定位準確，以線性代數(shù)教學大綱為基礎，進而不斷發(fā)掘代數(shù)思想方法，以代數(shù)史為主線，逐步形成各個章節(jié)協(xié)調(diào)配合、循序漸進最終達成線性代數(shù)課程培養(yǎng)目標。其次，要落實教學改革效果，通過不同的班級對比，以及成績、活躍度、課堂參與度等多個方面來評估教學改革的效果，建立切實有效的評估體系。最終不斷改進教學方法，以期達到線性代數(shù)課程教學目標。

2 教學改革的探索與實踐

2.1 發(fā)掘代數(shù)故事

學習數(shù)學課程，無論是專業(yè)數(shù)學還是公共數(shù)學，對于代數(shù)學歷史背景的了解是必要的，只有扎根于過去，才能培育出新的成果。然而，通常課程所介紹的僅僅是一些數(shù)學成就、數(shù)學片段，而沒有提及概念內(nèi)容的目的，定理結(jié)論是如何探索得到的，以及數(shù)學知識是如何在生活中運用來改善我們的日常生活的。因此，在學習理論知識的過程中，應當系統(tǒng)地介紹學科發(fā)展脈絡，講解線性代數(shù)發(fā)展史，包括線性代數(shù)的起源、最初的研究對象，直到現(xiàn)代的發(fā)展方向。在這個過程中，可以用課前五分鐘，從代數(shù)史出發(fā)，按照代數(shù)學發(fā)展順序提供一個“課前講史平臺”，不僅使代數(shù)史與課程的內(nèi)容彼此聯(lián)系，更能把線性代數(shù)課程與數(shù)學思想的發(fā)展聯(lián)系起來。讓學生體悟數(shù)學家克服艱難困苦，探索未知領域，最終經(jīng)歷漫長艱苦的道路，開發(fā)新的理論過程，而不僅僅是淹沒在漫天的公式、命題和定理之中。在講到特定的概念，如行列式、向量組等重要概念時，則可以進一步展開說明這些概念的由來。此外，還可以布置課下任務，讓學生親身參與，了解數(shù)學家在科學和哲學思想的演進中的推動作用，了解他們對現(xiàn)代數(shù)學所產(chǎn)生的重要成果，進而培養(yǎng)數(shù)學情感。

借助代數(shù)史的發(fā)展，一方面可以講解清楚數(shù)學概念的由來，了解其產(chǎn)生的歷史背景。比如，在講解行列式時，可以介紹行列式的起源是17世紀，德國數(shù)學家萊布尼茨在求解方程組時，發(fā)現(xiàn)總是出現(xiàn)一些數(shù)相乘再相加或相減的情況，便想要通過簡單的數(shù)學符號來表示這一現(xiàn)象，于是行列式應運而生。隨后又經(jīng)過克萊姆、貝祖、范德蒙德、拉普拉斯等數(shù)學家的研究，行列式既自成體系，又在方程組的求解等實際問題中發(fā)揮著巨大的作用。這樣，借助線性代數(shù)發(fā)展史，既講清楚了行列式的由來，又點明了行列式的本質(zhì)是數(shù)。這樣讓學生在了解線性代數(shù)發(fā)展的基礎上，更好地理解線性代數(shù)概念的本質(zhì)。

借助代數(shù)史的發(fā)展，另一個方面是介紹中國傳統(tǒng)數(shù)學成就和中國古代數(shù)學思想，讓學生感受中華民族先賢的璀璨思想，理解中國人民勤勞勇敢，開拓創(chuàng)新的拼搏精神，進而提升民族自信、文化自信。中國作為四大文明古國之一，在文化科學的多個方面取得了開創(chuàng)性的成果，其中數(shù)學成就占據(jù)著重要的地位，如用尺規(guī)畫出各種幾何圖形、用幻方培養(yǎng)數(shù)理邏輯、發(fā)現(xiàn)勾股定理、求解不定方程等，對世界數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，這些都可以在線性代數(shù)課程教學中反映出來。比如在學習線性方程組時，可以用《九章算術》中記載的問題融入教學設計，進而引入消元法。以此為切入點，介紹方程組的求解，同時也指出，中國的《九章算術》中就已經(jīng)出現(xiàn)方程組的求解方法，這是已知的世界上最早的求解方程組的方法，在代數(shù)學早期歷史上占有重要地位，而且《九章算術》在公元1世紀左右就提出了正負數(shù)的概念和正負數(shù)的運算法則，給出了一些二次方程的解法。讓學生從《九章算術》中感受中華民族先賢的獨特智慧和探索精神，進而增強文化自信以及民族自豪感。

此外，還可以介紹數(shù)學家的生平事跡，可以從個人鉆研，學而不厭，開拓創(chuàng)新以及合作交流等方面入手，借助樸素的世界觀方法論等，幫助學生培養(yǎng)基礎而深刻的數(shù)學素養(yǎng)。

2.2 借用代數(shù)思想和方法

數(shù)學是人類從古至今傳承而來的智慧結(jié)晶，而代數(shù)學則是其中的精髓之一，數(shù)學中的巨大成就背后蘊含著深刻的思想方法。線性代數(shù)中也蘊含著豐富的辯證法，如特殊與一般、對立與統(tǒng)一、現(xiàn)象與本質(zhì)、理論與實踐等。在線性代數(shù)課堂中展現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在邏輯，揭示數(shù)學定理的本質(zhì)，不僅有利于學生掌握科學的方法、感受數(shù)學之美，而且能夠提高學生的思辨能力?？茖W的思想方法是數(shù)學的靈魂，以此作為改革點能夠把理論知識和數(shù)學思想方法進行有效結(jié)合，既提高了學生對于線性代數(shù)課程的理解，又加強了學生對世界的認識以及三觀的塑造。因此，通過線性代數(shù)課程的學習，引導學生掌握知識背后蘊藏的思想方法是非常有意義的。

2.2.1 從特殊到一般的思想

在定義行列式時，首先給出的是二階、三階的行列式，只是通過計算的角度給出了行列式的初印象，進而介紹一般的n階行列式，這種從特殊到一般的思想，在線性代數(shù)的學習中時常用到。其一般步驟為從客觀具體的現(xiàn)象出發(fā)，抓住主要特征，進而抽象出數(shù)學概念，總結(jié)出一般規(guī)律，最終通過科學的方法證明，得到定理、結(jié)論等。這種思想滲透在線性代數(shù)的方方面面。比如，在方程組的求解中，也是從一個特殊的方程組求解出發(fā)，進而總結(jié)出科學的方法——消元法，最后應用于一般方程組的求解。啟發(fā)學生，探索問題可以從特殊情況出發(fā)，進而得到一般的真理。

2.2.2 對立統(tǒng)一的思想

在向量組的線性相關性章節(jié)中，首先定義了向量組線性相關的概念，接著立即給出了向量組線性無關的概念，并指出向量組要么線性相關要么線性無關，兩者之間是非此即彼的關系。以此為切入點，分析線性代數(shù)中很多概念都存在對立統(tǒng)一的關系，它們彼此之間既相互排斥、相互獨立，又相互依存、相互聯(lián)系，并且在一定的條件下又可以相互轉(zhuǎn)化。正是這種對立面之間的統(tǒng)一和斗爭推動著學科的不斷發(fā)展和進步，以此，鼓勵學生要站在“對立統(tǒng)一”的辯證角度來看待問題。

2.2.3 現(xiàn)象與本質(zhì)

在二次型的學習中，最主要的問題是判別二次型的正定性。因此，需要借助多種方法化二次型為標準形。這個過程就采用了透過事物現(xiàn)象來研究問題本質(zhì)的思想方法。無論是配方法，還是正交變換法都實現(xiàn)了化繁為簡，找出了問題的本質(zhì)，把握事物的本質(zhì)之后，一切正定性的判別問題就迎刃而解。啟發(fā)學生在解決問題時，把握核心部分，忽略次要部分，把問題轉(zhuǎn)化為相對簡潔的形式，進而解決問題。

2.2.4 理論與實踐相結(jié)合的思想

各門科學都是以現(xiàn)實為基礎，又都反映著現(xiàn)實，線性代數(shù)也不例外。線性代數(shù)課程理論性較強，學生經(jīng)常遇到學習抽象理論和實際應用相矛盾的情況，應注意理論與實踐相結(jié)合的思想。在掌握線性代數(shù)理論知識的基礎上，可以用理論知識與自身學科相結(jié)合來解決一些實際問題。例如，矩陣的特征值在實際中的應用。矩陣的特征值和特征向量不僅在研究矩陣對角化中起著關鍵作用，而且在量子力學、經(jīng)濟學、化學等領域有著重要的影響。例如，在經(jīng)濟學中研究進出口總額與國內(nèi)生產(chǎn)總值、總消費、存儲量之間的關系時，在數(shù)據(jù)處理時，采用主成分估計就是基于特征值與特征向量理論[6]。啟發(fā)學生要把理論知識應用到實踐中去，注重理論與實踐相結(jié)合。

線性代數(shù)注重數(shù)學理論的探究，具有諸多樸素的辯證法思想，注重一般規(guī)律。只有讓學生對線性代數(shù)的思辨性有了深刻的認識，才能夠擺脫模糊不清的、約定俗成的部分，進而對線性代數(shù)有簡明清晰的可靠的理解。通過線性代數(shù)中蘊含的思想方法，可以從思辨能力、科學精神、創(chuàng)新思維等方面入手，引導學生分析問題時，要多方面觀察，尋找解決問題的可能性和可行性。

2.3 采取“線上+線下”教學模式

隨著信息技術的飛速發(fā)展，現(xiàn)階段的學習需要線上線下相結(jié)合的學習情景，線上學習時學生之間、師生之間缺乏面對面交流。學生有更多的時間接觸網(wǎng)絡信息，而大學生思想不夠成熟，易被錯誤信息誘導。部分學生作息混亂，對封閉式管理產(chǎn)生抵觸情緒，這些情況對線性代數(shù)日常教學工作提出了新的挑戰(zhàn)。線性代數(shù)課程的講授應把握當下形勢，改變單純的課堂講授的教學方式，而教學改革，也應該采取靈活的方式，借助便捷的互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境，設計出切實可行的“線上+線下”的教學模式，為單調(diào)的理論課程增加人文關懷，引導學生調(diào)節(jié)自身情緒。首先，在發(fā)揮線下課堂主陣地外，也要把握課外師生交流這一教學改革的重要戰(zhàn)場，針對“線上+線下”混合式教學的特點，需要加強師生之間的交流溝通，教師可以通過調(diào)查問卷、投票等多種形式進行互動，了解學生對教學改革方式的認可程度。其次，還應建立課前挖掘教學方法、課堂潛移默化傳播代數(shù)思想、課后進階鞏固理論知識的三位一體的教學改革體系。同時，要合理運用共享資源，可以借助雨課堂、超星學習平臺等學習APP，發(fā)布電子教案、課件、教學視頻，以此來進行教學互動[7]。這樣既可以讓學生獲得專業(yè)知識，又把代數(shù)思想、社會主義核心價值觀、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等內(nèi)容傳遞給了學生，進而提升這些社會主義未來接班人的思想水平和視野。這種采用傳統(tǒng)講授與信息化教學相結(jié)合的教學方式來設計課堂教學，就建立起了一種課前、課中、課后全方位的教學新模式。在探索線性代數(shù)教學改革多元化教學方法中，將價值引領與知識傳授相融合，依托線性代數(shù)在線課程建設網(wǎng)絡平臺，充分發(fā)揮網(wǎng)絡平臺的強大功能和作用，同時借助學習APP平臺數(shù)據(jù)，分析學生課堂學習情況，及時接收教學改革成果，量化教學改革效果。

通過“線上+線下”的教學模式，不僅順應課堂理論教學與互聯(lián)網(wǎng)融合的時代環(huán)境，而且增加了教學吸引力，加強了師生良性互動，進一步拓展了線性代數(shù)課程的影響力。

結(jié)語

線性代數(shù)教學改革任重道遠，在線性代數(shù)課程內(nèi)容中融入代數(shù)史和代數(shù)思想方法，仍然需要不斷地在潤物細無聲中實現(xiàn)價值引領。通過以上這些探索和實踐，在線性代數(shù)課程教學內(nèi)容設計、教學方法選取、教學實踐展開等環(huán)節(jié)將改革方法融入實際教學，在這個過程中要注重實際的教學效果，而不是形式。教學改革應以課堂、課程為起點，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)數(shù)學思維，最終達到“立德樹人”的目的。如何把線性代數(shù)教學改革做得更好，仍需要不斷優(yōu)化教學布局，完善課程體系，進行切實有效的探索和實踐。