《曉庵新法》對《崇禎歷書》交食算法中迭代運(yùn)算的改訂與推廣

關(guān)鍵詞：《崇禎歷書》；《曉庵新法》；王錫闡；迭代運(yùn)算；交食算法

中圖分類號： N09 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1673-8462（2023）04-0020-10

明中后期，隨著官方歷法《大統(tǒng)歷》的頻繁出錯(cuò)和歐洲天文學(xué)的傳入，朝野呼吁改歷之聲越來越高。至明末利用傳統(tǒng)天文學(xué)改歷的嘗試失敗后，在徐光啟（1562-1633）等人的推動下，崇禎帝（1611-1644）最終下令參照歐洲天文學(xué)修訂歷法，并完成了《崇禎歷書》這樣一部里程碑式的著作。但由于種種原因，該書直到明朝滅亡也沒有被正式頒行，反而在清朝統(tǒng)治者入主中原后很快得到官方認(rèn)可，并經(jīng)湯若望（Ad?am Schall von Bell，1592-1666）略加修訂更名為《西洋新法歷書》后被確立為官方歷法［1］。與此同時(shí)，許多中國民間學(xué)者開始積極學(xué)習(xí)西法，并指出了其中存在的一些不足之處，有的還提出了非常有價(jià)值的見解和改進(jìn)方法。例如，楊作枚（約1680-1740）不僅發(fā)現(xiàn)了《崇禎歷書》月亮理論表與《月離歷指》不合的事實(shí)，而且提出了合理的改進(jìn)方法，并對后來康熙末期所修的官方歷法《御制歷象考成》中的月亮理論產(chǎn)生了影響［2］。

作為最早一批學(xué)習(xí)西法的清初學(xué)者的典型代表，王錫闡（1628-1682）對《崇禎歷書》中的西法提出了不少獨(dú)到見解，并根據(jù)自己的理解提出了諸多修改意見，且大部分系其首創(chuàng)。這些內(nèi)容基本都被記錄在王錫闡“兼采中西，去其疵類，參以己意，著歷法六篇”所得的《曉庵新法》中［3］。到目前為止，前人已研究過該書中日、月、五星的相關(guān)理論和算法，并對王錫闡基于西法所做的改動進(jìn)行了討論［4-12］。然而對于最復(fù)雜的交食部分，雖然有學(xué)者曾討論過王錫闡確定日月食方位之法以及平實(shí)朔望的算法等，但其中絕大部分內(nèi)容實(shí)際上尚未被討論，以及與西法做過比較［13-14］。一方面，可能是由于西法交食算法本身比較復(fù)雜；另一方面，可能也和《崇禎歷書》沒有明確給出交食算法，且在介紹日食算法時(shí)缺失了一些重要內(nèi)容導(dǎo)致學(xué)界一直未能明晰《崇禎歷書》交食算法有關(guān)［15］?？上驳氖牵鼇砬叭藦?fù)原了《崇禎歷書》的日食算法，而月食算法亦可通過該文結(jié)合《崇禎歷書》得到［15］。但鑒于交食算法所涉及的內(nèi)容頗多，且算法比較復(fù)雜，限于篇幅很難在一篇文章中全面深入地比較《崇禎歷書》與《曉庵新法》交食算法的所有內(nèi)容。通過比較和分析，筆者發(fā)現(xiàn)，《崇禎歷書》的交食算法中使用了中國傳統(tǒng)歷法在交食推步中所沒有的迭代運(yùn)算［16］，即用變量的舊值遞推出新值來不斷逼近真實(shí)值的方法。而《曉庵新法》雖在交食算法中采用了西法的迭代運(yùn)算，但并非完全照搬，且對迭代運(yùn)算的應(yīng)用也不限于前者的范圍。因此，筆者擬以迭代運(yùn)算為切入點(diǎn)，先對《崇禎歷書》交食算法中的迭代運(yùn)算進(jìn)行介紹和分析，再將其與《曉庵新法》的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深入比較，厘清王錫闡對西法迭代運(yùn)算所做的改訂和推廣，并對相關(guān)的問題進(jìn)行討論和分析，從而加深學(xué)界對《崇禎歷書》《曉庵新法》以及當(dāng)時(shí)中國學(xué)者學(xué)習(xí)西法水平的理解。

1 《崇禎歷書》交食算法中的迭代運(yùn)算

《崇禎歷書》交食算法大體上可分為以下7個(gè)模塊（圖1）。（1）平會（平朔望）：根據(jù)歷元初始數(shù)據(jù)求得所求年月的平朔望時(shí)刻及相關(guān)參數(shù)，如平朔望時(shí)刻對應(yīng)的太陽平黃經(jīng)。（2）實(shí)會（實(shí)朔望）：求得平朔望、實(shí)朔望的時(shí)間差，加于平朔望時(shí)刻，得到實(shí)朔望時(shí)刻。（3）視會（食甚）：對于月食，將均時(shí)差加于實(shí)望這一平太陽時(shí)，得到真太陽時(shí)，即食甚時(shí)刻；若為日食，則還須求得視差對應(yīng)的時(shí)差，進(jìn)而得到食甚時(shí)刻。（4）食分：求得食分大小。（5）食甚前后（初虧、復(fù)圓等）：求得初虧與食甚及食甚與復(fù)圓之間的時(shí)間差，加減于食甚，得到初虧和復(fù)圓時(shí)刻（若食既和生光發(fā)生，則還須依照求初虧和復(fù)圓的方法求得食既和生光時(shí)刻）。（6）交食圖：根據(jù)所得食分大小及相關(guān)參數(shù)繪制交食圖。（7）其他地方交食：根據(jù)所求地方的北極出地和與里差之元（北京）的經(jīng)度差，得到所求地方的食分大小及食甚、初虧等時(shí)刻。［15］其中，實(shí)會模塊和日食的視會模塊使用了迭代運(yùn)算，下面分別進(jìn)行說明。

首先是實(shí)會模塊：由于《崇禎歷書》在該模塊日食和月食（即朔望）的算法相同，這里便以日食（朔）為例進(jìn)行說明。設(shè)t0 為平朔時(shí)刻，此時(shí)日、月平黃經(jīng)λˉs0 和λˉm0 相等。在該模塊中，《崇禎歷書》一共進(jìn)行了兩次迭代近似［15］。

（1）第一次近似。

以上可以看出，王錫闡在日食食甚前后時(shí)刻模塊沒有像其他模塊一般，參照《崇禎歷書》以固定的迭代次數(shù)終止迭代，而是以達(dá)到某一條件來終止迭代，此二者都是現(xiàn)代迭代運(yùn)算中的常用做法。事實(shí)上，雖然《崇禎歷書》在實(shí)際計(jì)算中僅迭代固定次數(shù)，但書中卻有以達(dá)到某一條件終止迭代的線索?！督皇硽v指》在日食視會模塊關(guān)于迭代有這樣的說明：“反覆推求，再三加減，吻與視會合者也?！保?8］610 這句話雖然沒有很明確地給出日食視會模塊迭代的細(xì)節(jié)，但卻有反復(fù)迭代，直到達(dá)到某一條件，使結(jié)果與視會吻合為止的含義。雖然研究表明，這并非《崇禎歷書》在視會模塊終止迭代的實(shí)際做法，但筆者猜想，王錫闡很有可能受此啟發(fā)，最終選擇在日食食甚前后模塊中試行此種方法來終止迭代。不過，由于迭代運(yùn)算的本質(zhì)是不斷逼近最終的結(jié)果，所以王錫闡所給的日月次距與初虧、復(fù)圓行分完全相等的條件實(shí)則是一種比較理想的情況，大概率在迭代很多次的情況下都很難實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上，王錫闡在實(shí)際推算過程中應(yīng)該沒有嚴(yán)格按照其在算法中所給的條件，而是設(shè)置了一個(gè)閾值，即當(dāng)日月次距與初虧、復(fù)圓行分的差值低于該閾值，也就是達(dá)到他預(yù)期的精度時(shí)，迭代便會終止。雖然王錫闡在“日食”一節(jié)中對此并未言明，但是他在之后的“凌犯”一節(jié)中仿照日食虧復(fù)的迭代運(yùn)算求解掩食初終二限時(shí)，明確指出“行差不及十分刻之一者，即以損益其泛時(shí)得定時(shí)”，換言之，行差刻分小于十分之一刻時(shí)，便可終止迭代。由此推測，日食食甚前后時(shí)刻的閾值很有可能也采用了該數(shù)值。

4余論

作為最早學(xué)習(xí)西法的清初學(xué)者之一，王錫闡對《崇禎歷書》的研究可謂相當(dāng)深入。他不僅意識到西法交食算法中迭代運(yùn)算的存在，領(lǐng)悟到其不斷逼近真實(shí)值的作用，而且根據(jù)個(gè)人理解進(jìn)行了改訂，并從《崇禎歷書》的簡單說明中獲得啟發(fā)，提出不同于《崇禎歷書》交食算法所用的另一種終止迭代運(yùn)算的方法。此外，王錫闡沒有將迭代運(yùn)算限于交食算法中，而是將其推廣到諸多關(guān)于時(shí)間求解的算法中以期提高精度，如日出入分、昏明分等［3］462-463。

然而，王錫闡對西法交食算法中迭代運(yùn)算的改定和推廣似乎并未得到當(dāng)時(shí)清初主要?dú)v算學(xué)家的支持與采納。他們或許會對西法交食算法的某個(gè)步驟或某個(gè)參數(shù)的求解提出一些修改意見，例如梅文鼎對《崇禎歷書》交食算法中均時(shí)差的求解進(jìn)行了修改［26］。但就迭代運(yùn)算而言，他們依舊如《崇禎歷書》一般只在實(shí)會和日食視會模塊按照相同算法進(jìn)行迭代。之所以會如此，或許是因?yàn)榈\(yùn)算雖然能夠逼近真實(shí)值，但是隨著迭代次數(shù)的增加，精度可能提升不了多少，計(jì)算的負(fù)擔(dān)反倒會加重很多。例如，從西法的一貫做法以及現(xiàn)代天文學(xué)的角度來看，月食初虧至食甚距時(shí)和食甚至復(fù)圓距時(shí)的差別甚小，常常只有數(shù)秒到數(shù)十秒的差別①，因此被視作相等是十分合理的。但王錫闡為了過分追求所謂的精度，認(rèn)為二者不能被視為相等，而且還應(yīng)用了頗為復(fù)雜的迭代運(yùn)算，實(shí)在是一種費(fèi)時(shí)費(fèi)力而收效甚微的做法。不過值得注意的是，雖然康熙末期官方編修的《御制歷象考成》亦如很多清初學(xué)者一般沒有采納王錫闡對西法迭代運(yùn)算的改訂與推廣，但卻在對日食食甚前后時(shí)刻的求解中借鑒了王錫闡的思路。具體來說，《御制歷象考成》沒有如《崇禎歷書》一般以日食定朔前后一小時(shí)作為初虧和復(fù)圓近似值，而是借鑒王錫闡的思路，直接以食甚求得初虧和復(fù)圓的近似值。但《御制歷象考成》也沒有直接采納王錫闡的迭代做法，而是仿照《崇禎歷書》的月食初虧和復(fù)圓算法求得了日食初虧和復(fù)圓近似值［27］。

總的來說，王錫闡對《崇禎歷書》交食算法中迭代運(yùn)算的認(rèn)識、改訂和推廣反映了以他為代表的清初中國學(xué)者對西法的理解已經(jīng)達(dá)到了較高的水平。雖然由于一些原因?qū)е孪嚓P(guān)內(nèi)容在當(dāng)時(shí)沒有被廣泛接受和采納，但也確有其可借鑒之處，且對官方歷法——《御制歷象考成》產(chǎn)生了影響。

［責(zé)任編輯 黃祖賓 楊小平］