基于偏最小二乘多項(xiàng)式稀疏展開(kāi)的含風(fēng)電電力系統(tǒng)概率潮流計(jì)算

收稿日期：2022-01-17

基金項(xiàng)目：甘肅省青年科技計(jì)劃（21JR7RA745）；國(guó)家電網(wǎng)有限公司實(shí)驗(yàn)室研究項(xiàng)目

通信作者：董曉陽(yáng)（1995—），男，碩士、助理工程師，主要從事電力系統(tǒng)分析、概率潮流計(jì)算方面的研究。1767186198@qq.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2022-0073 文章編號(hào)：0254-0096（2023）06-0351-09

摘 要：計(jì)及新型環(huán)保綠色能源如風(fēng)電、光伏的不確定性，傳統(tǒng)確定性潮流計(jì)算難以全面描述電力系統(tǒng)的運(yùn)行情況。針對(duì)傳統(tǒng)蒙特卡洛概率潮流算法計(jì)算量龐大的問(wèn)題，結(jié)合偏最小二乘回歸算法和多項(xiàng)式代理模型，提出一種偏最小二乘多項(xiàng)式疏展開(kāi)的概率潮流算法。利用偏最小二乘回歸算法的偽交叉驗(yàn)證誤差自適應(yīng)機(jī)制篩選出多項(xiàng)式展開(kāi)式中的貢獻(xiàn)度較大的多項(xiàng)式，得到多項(xiàng)式展開(kāi)式的稀疏表達(dá)形式，可克服多項(xiàng)式展開(kāi)概率潮流在輸入變量較多時(shí)面臨的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。在改進(jìn)的IEEE-9，IEEE-30算例中進(jìn)行仿真計(jì)算，并與傳統(tǒng)方法作對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電；分布式電源；概率潮流；偏最小二乘回歸；多項(xiàng)式混沌展開(kāi)；隨機(jī)響應(yīng)面

中圖分類(lèi)號(hào)：O325/TK79 """""" """" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

分布式能源作為一種綠色環(huán)保型能源，具有可再生、清潔無(wú)污染、成本低等優(yōu)點(diǎn)，是緩解當(dāng)代能源危機(jī)和環(huán)境污染問(wèn)題的有效手段［1］。然而，隨著以風(fēng)能和太陽(yáng)能為主要代表的分布式能源的接網(wǎng)容量不斷增大，其自身隨機(jī)性和間歇性給電力系統(tǒng)的運(yùn)行帶來(lái)一定影響，因此量化分布式能源的不確定性，以及確定電力系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率分布情況對(duì)于電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義［2-3］。

概率潮流（probabilistic power flow，PLF）通過(guò)建立電力系統(tǒng)中不確定因素的概率模型，利用潮流計(jì)算獲取不確定因素對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)行的影響。近年來(lái)，大量學(xué)者在解析法、近似法以及模擬法等概率潮流算法上傾注了大量心血，得到豐碩的研究成果［4-5］。以蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation，MCS）［6-8］為主要代表的模擬法，雖然可不受系統(tǒng)規(guī)模和變量數(shù)量的限制獲得較為精確的結(jié)果，但其嚴(yán)重依賴(lài)于采樣數(shù)量，算法需大量采樣才能可靠收斂。解析法的主要代表為卷積法和半不變量法［9］，通過(guò)輸入變量卷積運(yùn)算借助級(jí)數(shù)展開(kāi)得到輸出變量的均值和方差等概率信息，具有運(yùn)算速度快的特點(diǎn)，但是由于其采用線(xiàn)性運(yùn)算處理計(jì)算過(guò)程，計(jì)算結(jié)果精度不高。近似法，如點(diǎn)估計(jì)法［10］是通過(guò)少量采樣進(jìn)行確定性計(jì)算得到系統(tǒng)近似模型，然后通過(guò)近似模型得到輸出變量的概率信息。點(diǎn)估計(jì)法可快速求得輸出變量的矩信息，但仍需借助級(jí)數(shù)展開(kāi)手段來(lái)獲得輸出變量的概率信息。

多項(xiàng)式混沌展開(kāi)（polynomial chaos expansion，PCE）理論作為一種不確定性量化的“黑盒”理論，目前在結(jié)構(gòu)力學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［11］，其不確定性量化的主要思想是將復(fù)雜系統(tǒng)過(guò)程視為一個(gè)不可見(jiàn)的“黑盒”，通過(guò)可見(jiàn)的正交多項(xiàng)式展開(kāi)式代替黑盒，通過(guò)關(guān)注系統(tǒng)輸入和輸出變量得到多項(xiàng)式展開(kāi)的簡(jiǎn)化模型。以獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式展開(kāi)的隨機(jī)響應(yīng)面法（stochastic response surface method，SRSM）作為PCE理論的一個(gè)分支已廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性評(píng)估［12］、含風(fēng)電的系統(tǒng)暫穩(wěn)評(píng)估［13］以及電力系統(tǒng)概率潮流計(jì)算［14］等研究中。構(gòu)建基于多項(xiàng)式展開(kāi)的PCE理論不確定性模型的重點(diǎn)在于多項(xiàng)式系數(shù)的求解。高維空間或高階系統(tǒng)中應(yīng)用PCE理論將面臨“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。將多項(xiàng)式稀疏化展開(kāi)，是處理高維系統(tǒng)中PCE理論所面臨的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題的有效方法。目前的PCE表達(dá)式稀疏化處理方法有最小角回歸［15］、壓縮感知技術(shù)［16］等。

本文利用偏最小二乘回歸（partial least squares regression，PLSR）篩選多項(xiàng)式展開(kāi)模型中具有最佳解釋效果的變量，有效應(yīng)對(duì)PCE理論難以處理高維不確定性的問(wèn)題，提出一種偏最小二乘回歸稀疏多項(xiàng)式混沌展開(kāi)方法（partial least squares regression sparse polynomial chaos expansion，PSPCE）。在較少的采樣量下通過(guò)偏最小二乘回歸獲得多項(xiàng)式系數(shù)的初步估計(jì)，然后通過(guò)自適應(yīng)篩選機(jī)制刪去多項(xiàng)式混沌展開(kāi)中對(duì)于輸出響應(yīng)影響較小的多項(xiàng)式獲得多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的稀疏表達(dá)式。在IEEE-9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)2個(gè)算例中進(jìn)行所提方法的概率潮流計(jì)算仿真，并與傳統(tǒng)方法對(duì)比，驗(yàn)證所提方法的計(jì)算精度與計(jì)算效率。

1 潮流計(jì)算不確定性模型的建立

1.1 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算模型

潮流計(jì)算時(shí)，系統(tǒng)潮流方程簡(jiǎn)寫(xiě)為：

[Z=g（V）S=h（V）]" （1）

式中：[Z]——系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)注入功率；[V]——節(jié)點(diǎn)電壓向量；[g]、[h]——潮流非線(xiàn)性約束；[S]——支路有功及無(wú)功向量。

MCS模擬是通過(guò)對(duì)[Z]的大量抽樣來(lái)擬合[V]和[Y]的概率統(tǒng)計(jì)信息。

1.2 負(fù)荷和風(fēng)電的概率模型

1.2.1 風(fēng)電概率模型

風(fēng)力發(fā)電作為一種綠色環(huán)保的清潔能源，受環(huán)境和氣候的影響其出力具有一定的間歇性和波動(dòng)性。風(fēng)電場(chǎng)出力大小直接受風(fēng)速變化的影響。一定時(shí)間內(nèi)的風(fēng)速分布通常滿(mǎn)足Weibull分布，其概率密度函數(shù)為：

[f（v）=kcvck-1e-vck] （2）

式中：[v]——風(fēng)速，m/s；[k、c]——形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

風(fēng)力發(fā)電機(jī)的出力常描述為關(guān)于風(fēng)速的分段函數(shù)形式：

[PW=0，vlt;vci或vgt;vcoPWRv-vcivr-vci，"vci≤v≤vrPWR，"vr≤v≤vco"]"" （3）

式中：[vci]——風(fēng)力發(fā)電機(jī)的切入風(fēng)速，m/s；["vr]——額定風(fēng)速，m/s；[vco]——切出風(fēng)速，m/s；[PWR]——風(fēng)力發(fā)電機(jī)的額定輸出功率，MW。

通常認(rèn)為風(fēng)力發(fā)電機(jī)工作在恒功率因數(shù)，則輸出無(wú)功功率[QW]為：

[QW=PWtanφ]""" （4）

式中：[φ]——風(fēng)力發(fā)電機(jī)的功率因數(shù)角。

為有效利用風(fēng)力資源，風(fēng)力發(fā)電廠(chǎng)一般設(shè)置在相鄰位置甚至同一地理位置，受環(huán)境氣候的影響不同風(fēng)電出力之間具有一定的相關(guān)性。風(fēng)電場(chǎng)出力之間的相關(guān)性用相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)描述，隨機(jī)排序［17］、Cholesky分解［18］等方法常用來(lái)處理控制正態(tài)變量之間相關(guān)性，但由于相關(guān)系數(shù)矩陣用于表示正態(tài)輸入變量之間的相關(guān)關(guān)系，風(fēng)電等新能源出力非正態(tài)分布，本文采用Nataf變換［19］將非正態(tài)輸入變量轉(zhuǎn)換為正態(tài)輸入變量進(jìn)而采用相關(guān)系數(shù)矩陣描述其相關(guān)性。

1.2.2 負(fù)荷概率模型

電力系統(tǒng)負(fù)荷的不確定性一般采用正態(tài)分布來(lái)描述。

[f（Pi）=12πσPiexp-（Pi-μPi）22σ2Pi]""" （5）

[f（Qi）=12πσQiexp-（Qi-μQi）22σ2Qi]""" （6）

式中：[Pi、Qi]——節(jié)點(diǎn)[i]的實(shí)際有功和無(wú)功功率，MW、Mvar；[μPi、μQi、σPi、σQi]——負(fù)荷節(jié)點(diǎn)[i]的有功和無(wú)功功率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

2 多項(xiàng)式混沌展開(kāi)理論

2.1 PCE理論基礎(chǔ)

基于概率空間下的平方可積函數(shù)[Y=f（x），][x=（x1，x2，???，xm）]，為[m]維獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量。假定xi的邊緣概率密度函數(shù)為[fi（xi）]，則隨機(jī)響應(yīng)向量[Y]可用一組標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式基混沌展開(kāi)描述［20］：

[Y=f（x）=ajφj（x）]"" （7）

式中：[aj]——多項(xiàng)式系數(shù)；[φj（x）]——[m]維變量的標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式。

其正交性滿(mǎn)足：

[φα（x）φβ（x）dx=Eφα（x）φβ（x）=δαβ]"" （8）

式中：[E（?）]——期望函數(shù)；當(dāng)[α=β]時(shí)，[δαβ=1]；當(dāng)[α≠β]時(shí)，[δαβ=0]。

綜合考慮模型建立和求解復(fù)雜度等因素，應(yīng)用過(guò)程中取其前p項(xiàng)：

[Y≈Mp（x）=i=0Paiφi（x）=ψ（x）a]" （9）

式中：[a]——待求系數(shù)項(xiàng)，[a=[a1，a2，???，ap-1]]；[p]——多項(xiàng)式階數(shù)。

[m]維空間下，多項(xiàng)式階數(shù)為[p]時(shí)，總多項(xiàng)式數(shù)量為：

[P=（p+m）！p！m！-1]""" （10）

2.2 SRSM模型

隨機(jī)響應(yīng)面法最早由Isukapalli等［21］提出，用于分析研究生物工程方面的不確定性量化問(wèn)題。SRSM作為PCE理論的一個(gè)分支，采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量作為混沌多項(xiàng)式展開(kāi)式的輸入變量，Hermite正交多項(xiàng)式作為混沌多項(xiàng)式展開(kāi)的基函數(shù)。本文采用SRSM建立概率潮流計(jì)算的代理模型，對(duì)于有[m]維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量輸入時(shí)，不確定模型的輸出響應(yīng)向量[Y]關(guān)于Hermite正交多項(xiàng)式可表示為：

[Y=a0+i1=1mai1H1（ξi1）+i1=1mi2=1i1ai1i2H2（ξi1，ξi2）+"""""" i1=1mi2=1i1i3=1i2ai1i2i3H3（ξi1，ξi2，ξi3）]""" （11）

式中：[a0、ai1、ai1i2、ai1i2i3]——多項(xiàng)式系數(shù)；[Hl（ξi1，ξi2，???，][ξil）]——l階Hermite正交多項(xiàng)式。

文獻(xiàn)［22］根據(jù)輸入隨機(jī)變量的方差靈敏度系數(shù)驗(yàn)證了概率潮流響應(yīng)為輸入變量單獨(dú)作用下的一維之和，進(jìn)一步建立忽略交叉相的改進(jìn)SRSM概率潮流計(jì)算模型，本文基于該概率潮流計(jì)算模型驗(yàn)證所提算法的有效性。

3 混沌多項(xiàng)式稀疏化處理流程

PLSR是一種新型回歸統(tǒng)計(jì)方法，用來(lái)處理高維數(shù)據(jù)多重共線(xiàn)性問(wèn)題［23］。PLSR利用提取主成分的方式獲取變量中具有最佳解釋能力的優(yōu)質(zhì)變量，然后進(jìn)行回歸分析，允許在樣本數(shù)量小于自變量數(shù)量的情況下進(jìn)行回歸分析。本文將PLSR與SRSM相結(jié)合提出一種偏最小二乘回歸稀疏多項(xiàng)式混沌展開(kāi)方法解決SRSM應(yīng)用于輸入變量較多情況下PLF計(jì)算遇到的“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。

3.1 SRSM中多項(xiàng)式系數(shù)的初步估計(jì)

采用擬蒙特卡洛抽樣方式獲取系統(tǒng)輸入變量樣本集[X]，對(duì)樣本進(jìn)行相應(yīng)次數(shù)的確定性潮流計(jì)算得到系統(tǒng)輸出向量[Y]，對(duì)向量[Y]進(jìn)行中心化處理，記作[F]。根據(jù)采樣計(jì)算多項(xiàng)式矩陣[Z]并進(jìn)行中心化，記作[E]。

從[E]中提取一個(gè)成分，[t1=Ew1]，其中[||w1||=1]，進(jìn)行[E]和[F]在[t1]上的回歸：

[E=t1p1+E0[F=t1r1+F0]]" （12）

式中：[p1]、[r1]——回歸系數(shù)（[r1]為標(biāo)量）。

記殘差矩陣為：

[E0=E-t1p1F0=F-t1r1]""" （13）

檢查回歸收斂精度，若滿(mǎn)足要求則進(jìn)行下一步，否則令[E=E0]，[F=F0]，繼續(xù)對(duì)殘差矩陣提取成分并進(jìn)行回歸分析。

假設(shè)在提取[h]個(gè)成分后方程滿(mǎn)足精度要求，此時(shí)實(shí)施[F]對(duì)于這[h]個(gè)成分上的回歸。

[F=r1t1+r2t2+???+rhth]""" （14）

由于[t1，t2，???，th]均是[E]的線(xiàn)性組合，式（14）可表示為：

[F=r1Ew1+r2Ew2+???+rhEwh] （15）

表示為多項(xiàng)式的形式：

[Y=a1Z1+a2Z2+???+apZp]""" （16）

多項(xiàng)式系數(shù)[aj=m=1hrmwhj，j=1，2，…，P。]

經(jīng)過(guò)逆中心化即可得到[Y]對(duì)于[Z]回歸方程。

大多數(shù)文獻(xiàn)中采用預(yù)測(cè)殘差平方和對(duì)PLSR的回歸精度（即迭代次數(shù)）進(jìn)行控制：

[ErrLOO≡1Ni=1NF（ξ（i））-F-i（ξ（i））] （17）

式中：[F-i（?）]——除第[i]個(gè)樣本之外的樣本集作為訓(xùn)練樣本時(shí)得到的代理模型響應(yīng)值。

對(duì)于多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式，直接根據(jù)定義來(lái)計(jì)算代價(jià)會(huì)很大，且易造成過(guò)擬合。文獻(xiàn)［24］定義了一種簡(jiǎn)化計(jì)算方法：

[F（ξ（i））-F-i（ξ（i））=F（ξ（i））-F（ξ（i））1-hi] （18）

[ε*LOO（P）≡1N.1V（Y）i=1NF（ξ（i））-F（ξ（i））1-hi]" （19）

式中：[hi]——矩陣[T（TTT）-1TT]的第[i]個(gè)對(duì)角線(xiàn)元素，[T=（t1，t2，???，th）]。

當(dāng)偽交叉驗(yàn)證達(dá)到一定值時(shí)停止迭代，得到SRSM多項(xiàng)式系數(shù)的初步估計(jì)。

3.2 SRSM多項(xiàng)式系數(shù)的更新估計(jì)

直接采用PLSR回歸一般會(huì)保留所有多項(xiàng)式的系數(shù)，然而在多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式大部分的多項(xiàng)式對(duì)于輸出響應(yīng)的相關(guān)性較弱。如果將這些不重要的多項(xiàng)式刪去，可獲得多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的稀疏表達(dá)式。剩下的多項(xiàng)式將擁有更加充足的樣本，代理模型的穩(wěn)健性和準(zhǔn)確性也會(huì)得到提升。

一般回歸系數(shù)絕對(duì)值較小的多項(xiàng)式對(duì)輸出響應(yīng)的影響較小，根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)絕對(duì)值的大小，每次進(jìn)行回歸分析時(shí)只保留多項(xiàng)式系數(shù)較大部分。設(shè)置保留比例[β]（0lt;[β]lt;1），每次回歸時(shí)保留多項(xiàng)式數(shù)絕對(duì)值按從大到小前的那部分多項(xiàng)式作為自變量集合，然后進(jìn)行PLSR回歸，同時(shí)記錄偽交叉驗(yàn)證[ε*LOO（P）]，在此過(guò)程中多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式的稀疏度不斷增加。為保留足夠多的多項(xiàng)式參與回歸，當(dāng)[ε*LOO（P）]達(dá)到預(yù)定值停止迭代，得到多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的稀疏表達(dá)式。

3.3 偏最小二乘回歸稀疏多項(xiàng)式混沌展開(kāi)方法的具體步驟

1）獲得網(wǎng)絡(luò)基本參數(shù)，采樣數(shù)量[N，]多項(xiàng)式保留比例[γ]，SRSM多項(xiàng)式展開(kāi)階數(shù)[p]；

2）構(gòu)建不含交叉項(xiàng)的二階多項(xiàng)式混沌展開(kāi)模型；

3）采用擬蒙特卡洛對(duì)輸入變量進(jìn)行采樣并進(jìn)行確定性潮流計(jì)算，然后對(duì)輸出響應(yīng)向量[Y]和多項(xiàng)式矩陣[Z]進(jìn)行中心化處理；

4）進(jìn)行PLSR獲得系數(shù)初步估計(jì)值；

5）對(duì)系數(shù)矩陣[a]取絕對(duì)值并按從大到小排序得到[||a||]，按保留比例[β]，保留[||a||]中前[γ]個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式得到[Z0]，然后對(duì)于[Z0]和[Y]進(jìn)行PLSR回歸并記錄偽交叉驗(yàn)證[ε*LOO（P）]和多項(xiàng)式系數(shù)[aPLSR]；

6）判斷[ε*LOO（P）]是否達(dá)到預(yù)定值，若達(dá)到預(yù)定值，則[a=aPLSR]得到多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的稀疏表達(dá)式，否則進(jìn)行步驟5）；

7）根據(jù)所得的稀疏多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式，通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算或?qū)斎胱兞窟M(jìn)行大量抽樣可得到輸出響應(yīng)的概率信息。

綜上，本文所提PSPCE概率潮流計(jì)算流程如圖1所示。

4 案例分析

為分析本文所提算法的計(jì)算效率與計(jì)算精確性，分別在IEEE-9節(jié)點(diǎn)和IEEE-30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)中并入風(fēng)力發(fā)電設(shè)備分析負(fù)荷及風(fēng)電出力隨機(jī)性以及風(fēng)電出力相關(guān)性對(duì)于潮流輸出的影響并與傳統(tǒng)方法作對(duì)比。

4.1 IEEE-9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本節(jié)采用IEEE-9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，考慮節(jié)點(diǎn)負(fù)荷服從額定功率期望值，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1倍的期望值的正態(tài)分布模型，系統(tǒng)共有6個(gè)輸入變量，SRSM采用不含交叉項(xiàng)的2階展開(kāi)式中共有多項(xiàng)式數(shù)量P為13個(gè)。定義抽樣比[α=N/P]，分別取4、3、2、1時(shí)，抽取樣本數(shù)量為28、21、14、7?；谶@4組采樣數(shù)據(jù)分別采用本文所提PSPCE方法進(jìn)行概率潮流計(jì)算，并與20000次MCS模擬結(jié)果作對(duì)比。取偽交叉驗(yàn)證誤差[ε*LOO（P）=0.005]，保留比例[β=0.5]繪制6節(jié)點(diǎn)電壓幅值如圖2所示。

不同抽樣比下所保留的多項(xiàng)式數(shù)量如表1所示。不同抽樣比下，PSPCE算法模擬誤差如表2所示。

定義相對(duì)誤差指標(biāo)為：

[ηξμ=μξs-μξbμξb×100%ηξσ=σξs-σξbσξb×100%]""" （20）

式中：[μξb]、[σξb]——基于MCS模擬條件下輸出響應(yīng)期望與標(biāo)準(zhǔn)差的基準(zhǔn)值；[μξs]、[σξs]——PSPCE模擬下輸出響應(yīng)的期望與標(biāo)準(zhǔn)差；[ηξμ]、[ηξσ]——相對(duì)誤差。

由表1可看出，4種抽樣比下均保留了9個(gè)重要多項(xiàng)式，對(duì)于保留的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)只有抽樣比為3、4，模型抽取的樣本數(shù)量達(dá)到保留多項(xiàng)式數(shù)量的2～3倍，獲得精確的計(jì)算結(jié)果。抽樣比為1時(shí)所抽取樣本數(shù)量對(duì)于保留的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)嚴(yán)重不足、計(jì)算誤差較大。從圖2可看出，抽樣比取2、3、4時(shí)，所提算法計(jì)算結(jié)果和MCS計(jì)算結(jié)果一致，抽樣比取1時(shí)計(jì)算結(jié)果有較大誤差，抽樣比取2、3、4時(shí)所抽取樣本對(duì)于算法中所保留的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)較為充足可得到精確的結(jié)果。

從表2可看出，隨著抽樣比的增加PSPCE方法的計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差逐漸下降，抽樣比為1、2時(shí)，樣本數(shù)量為保留多項(xiàng)式的0.78～1.56倍，樣本數(shù)量過(guò)少，計(jì)算結(jié)果誤差較大。當(dāng)抽樣比為3、4時(shí)，樣本數(shù)量達(dá)到保留多項(xiàng)式數(shù)量的2.33～3.11倍，驗(yàn)證了當(dāng)樣本數(shù)量達(dá)到待求系數(shù)的3倍以上時(shí)，模型具有較高的精確度。不同抽樣條件下的系統(tǒng)計(jì)算時(shí)間對(duì)比情況如表3所示。

選取抽樣比為3進(jìn)行仿真模擬，繪制節(jié)點(diǎn)6電壓幅值概率密度曲線(xiàn)如圖3所示。

4.2 IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

采用標(biāo)準(zhǔn)的IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，設(shè)置節(jié)點(diǎn)負(fù)荷服從額定功率為期望值，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1倍的期望值的正態(tài)分布模型。系統(tǒng)共設(shè)置42個(gè)輸入變量，采用不含交叉項(xiàng)的2階展開(kāi)式中共有多項(xiàng)式數(shù)量[P]為84個(gè)。定義抽樣比[α=N/P]，[α]分別取4、3、2、1時(shí)，抽取樣本數(shù)量：168、126、84、42，取偽交叉驗(yàn)證誤差[ε*LOO（P）=0.005]進(jìn)行模擬并與2萬(wàn)次MCS模擬結(jié)果作對(duì)比，驗(yàn)證本文所提PSPCE算法的計(jì)算準(zhǔn)確性，并繪制節(jié)點(diǎn)電壓幅值概率密度曲線(xiàn)如圖4所示。不同軸樣條件下，PSPCE方法保留多項(xiàng)式的數(shù)量如表4所示。

不同抽樣比下，PSPCE算法模擬誤差如表5所示。

由表4、表5可看出，隨著抽樣比的增加PSPCE計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差逐漸下降，當(dāng)抽樣比為3、4時(shí)，樣本個(gè)數(shù)達(dá)到保留多項(xiàng)式數(shù)量的3倍以上，模型有較高精確度，該結(jié)論與IEEE-9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中所得結(jié)論一致。由表6可看出，抽樣比為4時(shí)，PSPCE算法由于需篩選重要多項(xiàng)式，計(jì)算耗時(shí)略大于SRSM，但計(jì)算準(zhǔn)確度高于SRSM算法。

2個(gè)額定出力為15 MW、滿(mǎn)足[k=0.397]、[c=10.7]的雙參數(shù)Weibull概率分布、風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.8的風(fēng)電場(chǎng)分別接入IEEE-30標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的29和30節(jié)點(diǎn)。仍取偽交叉驗(yàn)證誤差[ε*LOO（P）=0.005]，此時(shí)系統(tǒng)共有44個(gè)輸入變量，分別取4、3、2、1時(shí)，抽取樣本數(shù)量為176、132、88、44。繪制不同抽樣比下，節(jié)點(diǎn)電壓幅值和支路功率概率密度曲線(xiàn)如圖5、圖6所示。

不同抽樣比下，PSPCE算法模擬誤差如表7所示。

并入風(fēng)電場(chǎng)后PSPCE在3種抽樣比下均保留44個(gè)重要多項(xiàng)式，抽取3倍保留多項(xiàng)式數(shù)量的樣本數(shù)進(jìn)行PSPCE仿真并與20000次MCS模擬結(jié)果作對(duì)比繪制25節(jié)點(diǎn)電壓幅值概率密度圖如圖7所示。不同抽樣條件下，PSPCE、SRSM、MCS這3種方法系統(tǒng)計(jì)算耗時(shí)對(duì)比如表8所示。

由圖6和圖7可看出，風(fēng)電接入對(duì)于接入點(diǎn)電壓波動(dòng)影響較大，接入點(diǎn)電壓概率密度曲線(xiàn)受風(fēng)電出力影響呈威布爾分布的特征，由于系統(tǒng)呈現(xiàn)的非線(xiàn)性特點(diǎn)，遠(yuǎn)離風(fēng)電接入的節(jié)點(diǎn)其電壓概率密度曲線(xiàn)呈現(xiàn)正態(tài)分布特性。風(fēng)電接入對(duì)于支路功率的影響情況與節(jié)點(diǎn)電壓類(lèi)似。

5 結(jié) 論

本文結(jié)合多項(xiàng)式展開(kāi)的概念提出一種改進(jìn)的概率潮流算法，結(jié)合偏最小二乘回歸，利用偽交叉驗(yàn)證，有效辨識(shí)了多項(xiàng)式展開(kāi)式中對(duì)于輸出響應(yīng)具有最佳解釋效果的變量，得到輸出響應(yīng)的稀疏表達(dá)形式，有效解決了傳統(tǒng)多項(xiàng)式展開(kāi)難以適用于多維隨機(jī)變量系統(tǒng)的問(wèn)題，提升了概率潮流算法的計(jì)算效率。分別在IEEE-9和IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證計(jì)算效率，并與SRSM和MCS方法作對(duì)比。

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PROBABILISTIC FLOW CALCULATION OF POWER SYSTEM CONSIDERING WIND POWER BASED ON SPARSE POLYNOMIAL

CHAOS EXPANSION WITH PARTIAL LEAST SQUARES METHOD

Dong Xiaoyang1，2，Liang Chen1，2，Ma Xiping1，2，Li Yaxin1，2，Yang Junting1，2

（1. State Grid Gansu Electric Power Co.， Electric Power Research Institute， Lanzhou 730070， China；

2. Power Grid Loss Reduction and Energy Saving Technology Laboratory of State Grid， Lanzhou 730070， China）

Keywords：wind power； distributed generation； probabilistic power flow； partial least squares regression； polynomial chaotic expansion； random response surface