月歷表中的數(shù)學(xué)

小朋友，新的一年馬上就要開(kāi)始了，你家中購(gòu)買(mǎi)新掛歷了嗎？掛歷中有一年12個(gè)月的月歷表（如圖1 所示，是2024 年2 月的月歷表），月歷表不僅可以方便人們查詢?nèi)掌冢渲羞€隱藏著許多數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)呢，下面我們一起來(lái)看一看吧！

例題1 仔細(xì)觀察圖1中的月歷表，回答下面的問(wèn)題。

（1）月歷表中橫向、縱向或斜向相鄰的兩個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）月歷表中橫向、縱向或斜向相鄰的三個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

（1）橫向相鄰的兩個(gè)數(shù)，后者比前者多1（如8 和9，9 比8 多1）；縱向相鄰的兩個(gè)數(shù)，后者比前者多7（如2 和9，9 比2 多7）；左上與右下斜向相鄰的兩個(gè)數(shù)，后者比前者多8（如1 和9，9 比1 多8）；右上與左下斜向相鄰的兩個(gè)數(shù)，后者比前者多6（如3和9，9比3多6）。

（2）橫向相鄰的三個(gè)數(shù)，后者比相鄰的前者多1（如5、6、7，6 比5多1，7 比6 多1）；縱向相鄰的三個(gè)數(shù)，后者比相鄰的前者多7（如12、19、26，19 比12 多7，26 比19 多7）；左上、右下斜向相鄰的三個(gè)數(shù)，右下的數(shù)比相鄰的上一個(gè)左上的數(shù)多8（如13、21、29，21 比13 多8，29 比21 多8）；右上與左下斜向相鄰的三個(gè)數(shù)，左下的數(shù)比相鄰的上一個(gè)右上的數(shù)多6（如3、9、15，9比3 多6，15 比9多6）。

無(wú)論位置是橫向、縱向，還是斜向相鄰的三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和都是中間那個(gè)數(shù)的3 倍（如5、6、7，5＋6＋7＝18，18 是6 的3 倍）；中間的那個(gè)數(shù)是其余兩個(gè)數(shù)之和的一半（如13、21、29，13＋29＝42，21 是42 的一半）。

例題2 用一個(gè)“田”字形在圖1的月歷表中圈出四個(gè)數(shù)，斜向排列的兩組數(shù)之間有什么關(guān)系？

假設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)是5、6、12、13（如圖2），通過(guò)計(jì)算可知，5＋13＝6＋12，即左上角與右下角的兩數(shù)之和等于右上角與左下角的兩數(shù)之和。是不是其他的情況也滿足這個(gè)規(guī)律呢？

我們可以假設(shè)“田”字形中左上角的數(shù)是a，那么右上角的數(shù)是a＋1，左下角的數(shù)是a＋7，右下角的數(shù)是a＋8（如圖3）。通過(guò)計(jì)算，你會(huì)發(fā)現(xiàn)左上角與右下角上兩個(gè)數(shù)的和是2a＋8，右上角與左下角上兩個(gè)數(shù)的和也是2a＋8，所以無(wú)論怎么圈，用“田”字形圈出的四個(gè)數(shù)，左上角與右下角的兩數(shù)之和等于右上角與左下角的兩數(shù)之和。

例題3 用一個(gè)“十”字形在圖1的月歷表中圈出五個(gè)數(shù)。

（1）這五個(gè)數(shù)的和與正中間的那個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）如果圈出的五個(gè)數(shù)的和是85，你知道圈出的是哪五個(gè)數(shù)嗎？

（3）如果要使圈出的五個(gè)數(shù)的和等于66，等于90，能辦到嗎？

（1）假設(shè)圈出的五個(gè)數(shù)是8、14、15、16、22（如圖4），這五個(gè)數(shù)的和是8＋14＋15＋16＋22＝75，因?yàn)?5÷15＝5，所以這五個(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的5倍。是不是其他的情況也滿足這個(gè)規(guī)律呢？

我們可以假設(shè)圈出的正中間的那個(gè)數(shù)是a，如圖5 所示，填出其他位置上的數(shù)。通過(guò)計(jì)算可知，這五個(gè)數(shù)的和是5a，5a 是a 的5 倍，所以用一個(gè)“十”字形圈出的五個(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的5倍。

（2）已知圈出的五個(gè)數(shù)的和是85，因?yàn)橛谩笆弊中稳Τ龅奈鍌€(gè)數(shù)的和是正中間那個(gè)數(shù)的5 倍，所以正中間的那個(gè)數(shù)是85÷5＝17。再根據(jù)月歷表中相鄰的兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，填出其他位置上的數(shù)，答案如圖6所示。

（3）因?yàn)槿Τ龅奈鍌€(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的5倍，所以圈出的五個(gè)數(shù)的和一定是5的倍數(shù)。

因?yàn)?6÷5＝13……1，66 不是5 的倍數(shù)，所以圈出的五個(gè)數(shù)的和不可能等于66。

因?yàn)?0÷5＝18，所以正中間的那個(gè)數(shù)是18。觀察圖1 的月歷表，18 這個(gè)數(shù)在最右邊的一列，不能作為正中間的數(shù)，所以圈出的五個(gè)數(shù)的和不可能等于90。

例題4 用3×3的方格在圖1的月歷表中圈出九個(gè)數(shù)。

（1）這九個(gè)數(shù)的和與方格正中間的那個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）如果圈出的九個(gè)數(shù)的和是126。求出方格里最大和最小的數(shù)。

（3）如果要使圈出的九個(gè)數(shù)的和是171，能辦到嗎？

（1）假設(shè)圈出的九個(gè)數(shù)是9、10、11、16、17、18、23、24、25（如圖7），這九個(gè)數(shù)的和是9＋10＋11＋16＋17＋18＋23＋24＋25＝153，因?yàn)?53÷17＝9，所以這九個(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的9 倍。是不是其他的情況也滿足這個(gè)規(guī)律呢？

我們可以假設(shè)圈出的正中間的那個(gè)數(shù)是a，如圖8 所示，填出其他位置上的數(shù)。通過(guò)計(jì)算可知，這九個(gè)數(shù)的和是9a，9a 是a 的9 倍，所以用3×3 的方格在圖1 的月歷表中圈出的九個(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的9倍。

（2）已知這九個(gè)數(shù)的和是126，因?yàn)橛?×3的方格圈出的九個(gè)數(shù)的和是正中間那個(gè)數(shù)的9 倍，所以正中間的那個(gè)數(shù)是126÷9＝14。再根據(jù)月歷表中斜向相鄰的三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可知，最大的數(shù)比正中間的那個(gè)數(shù)大8，最大的數(shù)是14＋8＝22；最小的數(shù)比正中間的那個(gè)數(shù)小8，最小的數(shù)是14－8＝6。

（3）因?yàn)槿Τ龅木艂€(gè)數(shù)的和是正中間的那個(gè)數(shù)的9 倍，所以圈出的九個(gè)數(shù)的和一定是9的倍數(shù)。

因?yàn)?71÷9＝19，171 是9 的倍數(shù)，所以正中間的那個(gè)數(shù)是19。觀察圖1 中的月歷表，19 在月歷表中最左邊的一列，不能作為正中間的數(shù)，所以圈出的九個(gè)數(shù)的和不可能等于171。

小朋友，月歷表中還有其他的規(guī)律，你可以試著找一找。掌握月歷表中的規(guī)律，可以輕松地解決問(wèn)題。