一種改進(jìn)的雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差調(diào)制方案

查 峰，位秋碩，何泓洋

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)是補(bǔ)償慣性測(cè)量單元（inertial measurement unit，IMU）常值誤差、安裝誤差和刻度系數(shù)誤差等誤差的有效方法［1-5］。與一般慣性導(dǎo)航系統(tǒng)相比，旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)可以大大提高系統(tǒng)的導(dǎo)航精度，因此，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于高精度導(dǎo)航領(lǐng)域［6］。當(dāng)前國(guó)際上的高精度激光陀螺慣導(dǎo)系統(tǒng)，普遍采用了旋轉(zhuǎn)自動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)［7］。

旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償效果與IMU 旋轉(zhuǎn)方案直接相關(guān)，因此，旋轉(zhuǎn)方案是提高系統(tǒng)精度的核心因素。旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中主要有連續(xù)旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)停兩種旋轉(zhuǎn)方式。20 世紀(jì)80 年代，Levinson E提出了旋轉(zhuǎn)調(diào)制的概念。連續(xù)旋轉(zhuǎn)主要應(yīng)該用在MEMS 陀螺儀組成的慣導(dǎo)系統(tǒng)［4］。文獻(xiàn)［7］針對(duì)雙軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)的八位置旋轉(zhuǎn)方案和一種16 位置旋轉(zhuǎn)方案。文獻(xiàn)［8］基于兩種常見的連續(xù)旋轉(zhuǎn)方案的誤差分析提出了一種改進(jìn)的旋轉(zhuǎn)方案，該方案將常值誤差、刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值的周期形式。轉(zhuǎn)停方式常常應(yīng)用在由光纖陀螺儀組成的慣導(dǎo)系統(tǒng)中。但是，在這兩種旋轉(zhuǎn)方案中，由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差在整個(gè)旋轉(zhuǎn)方案中并未得到完全調(diào)制，該誤差將通過(guò)積分而引起累積速度誤差和位置誤差。文獻(xiàn)［9］針對(duì)16 位置旋轉(zhuǎn)方案中轉(zhuǎn)角過(guò)大問(wèn)題提出了一種32 位置的旋轉(zhuǎn)方案。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)而言，合理的誤差調(diào)制方案不僅可以調(diào)制慣性器件的常值誤差，還可以抑制刻度系數(shù)誤差和安裝誤差與IMU 旋轉(zhuǎn)耦合引起的誤差［14］。此外，還應(yīng)將耦合誤差調(diào)制為零均值形式，并且其幅值應(yīng)盡可能小。本文提出了一種改進(jìn)的雙軸旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的綜合誤差旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，通過(guò)改變安裝誤差與IMU 轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合關(guān)系，可以進(jìn)一步減小速度誤差的累積和位置誤差的振蕩幅度。

1 雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型

1.1 坐標(biāo)系定義

慣性坐標(biāo)系（設(shè)為i 系）：慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于地球的中心，由原點(diǎn)出發(fā)指向北極為z 軸，由原點(diǎn)出發(fā)指向平均春分點(diǎn)為x 軸，y 軸與z 軸、x 軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

導(dǎo)航坐標(biāo)系（設(shè)為n 系）：該坐標(biāo)系為當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系，其原點(diǎn)位于載體質(zhì)心，其x、y、z 軸由原點(diǎn)分別指向東、北、天方向。

載體坐標(biāo)系（設(shè)為b 系）：載體坐標(biāo)系的原點(diǎn)為載體質(zhì)心，其x、y、z 軸由原點(diǎn)分別指向載體的右側(cè)、前側(cè)、上側(cè)。

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（設(shè)為p 系）：旋轉(zhuǎn)調(diào)制初始時(shí)刻，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系重合。當(dāng)慣性測(cè)量單元繞旋載體坐標(biāo)x 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的x 軸與載體坐標(biāo)系的x 軸重合，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的y 軸和z 軸繞旋轉(zhuǎn)軸x 軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)慣性測(cè)量單元繞載體坐標(biāo)y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的y 軸與載體坐標(biāo)系的y 軸重合，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x 軸和z 軸繞旋轉(zhuǎn)軸y軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)慣性測(cè)量單元繞載體坐標(biāo)z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的y 軸與載體坐標(biāo)系的y軸重合，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x 軸和z 軸繞旋轉(zhuǎn)軸y 軸以旋轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制一般選擇繞x 軸和z軸旋轉(zhuǎn)。

1.2 誤差定義

安裝誤差：慣性器件的敏感軸與理想正交安裝產(chǎn)生的夾角，設(shè)k12、k13、k21、k23、k31、k32為6 個(gè)安裝誤差角。安裝誤差矩陣如下：

刻度系數(shù)誤差：慣性器件輸出電壓轉(zhuǎn)換角速度或加速度時(shí)產(chǎn)生的誤差?？潭认禂?shù)誤差矩陣表示如下：

其中，k11、k22、k33為3 個(gè)陀螺儀輸出轉(zhuǎn)換為角加速度的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

常值誤差（表示為ε）和隨機(jī)誤差（表示為σ）：由于常值誤差是恒定的，經(jīng)過(guò)合理的雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制可以被間歇性地調(diào)制為周期性，因此，不會(huì)引起姿態(tài)誤差；隨機(jī)誤差因?yàn)槠潆S機(jī)性無(wú)法改變其誤差特性。

1.3 旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程

在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，基于角度誤差定義的姿態(tài)誤差和速度誤差方程如下方程：其

中，Φ 表示“數(shù)學(xué)平臺(tái)”的誤差角，v 和δv 分別為速度和速度誤差，ω 和f 分別表示角速度和比力，表示姿態(tài)矩陣，和分別表示慣性器件測(cè)量的角速度誤差和比力誤差。

由慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程可得出旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差方程，如下所示：

2 雙軸旋轉(zhuǎn)方案及誤差分析

2.1 旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案

為了減小文獻(xiàn)［7］中方案的速度累積，本文提出了一種改進(jìn)的16 位置旋轉(zhuǎn)方案。方案改變了IMU 旋轉(zhuǎn)的方向和順序以改變安裝誤差與IMU 旋轉(zhuǎn)時(shí)耦合的方式。旋轉(zhuǎn)方案如圖1 所示。

圖1 綜合誤差補(bǔ)償方案Fig.1 Comprehensive error compensation scheme

上述旋轉(zhuǎn)方案可以表示為：

1）繞Z 軸正轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

2）繞X 軸反轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

3）繞X 軸正轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

4）繞Z 軸反轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

5）繞X 軸反轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

6）繞Z 軸正轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

7）繞Z 軸反轉(zhuǎn)180°，停留tSs；

8）繞X 軸正轉(zhuǎn)180°，停留tSs。

2.2 誤差分析

由式（5）和式（6）可知，陀螺儀和加速度計(jì)的誤差分析類似，因此，該部分只列舉陀螺儀誤差分析。

若許多譯名的差別僅在于形式差異,而含義是一致的,譯者此時(shí)就可以從視覺等值的角度,選擇與原文結(jié)構(gòu)近似的譯名。若原文前后在同一語(yǔ)境下使用同一術(shù)語(yǔ),那么譯文在處理相同語(yǔ)境下的術(shù)語(yǔ)英譯時(shí)也應(yīng)該保持一致。

2.2.1 旋轉(zhuǎn)方案的數(shù)學(xué)表示

針對(duì)上述旋轉(zhuǎn)方案，根據(jù)坐標(biāo)系間的相互關(guān)系，可以得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)每個(gè)旋轉(zhuǎn)次序下的旋轉(zhuǎn)變換矩陣和IMU 的旋轉(zhuǎn)角速度ωb和ωp的表達(dá)式。為簡(jiǎn)潔顯示，將前4 個(gè)旋轉(zhuǎn)次序下和IMU的旋轉(zhuǎn)角速度ωb和ωp的表達(dá)式如表1 所示：

表1 本文旋轉(zhuǎn)方案Cbp、ωb 和ωp 表達(dá)式Table 1 Expressions of Cbp，ωb and ωp in the proposed 16-position rotation scheme

2.2.2 姿態(tài)誤差分析

根據(jù)式（5）和式（6），將不同旋轉(zhuǎn)方案的旋轉(zhuǎn)變換矩陣代入姿態(tài)和速度誤差方程，可以得到不同旋轉(zhuǎn)方案下的誤差源調(diào)制特性。

常值誤差：由于該誤差值是恒定的，經(jīng)過(guò)雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制可以被調(diào)制為間歇周期性，因此，不會(huì)引起姿態(tài)誤差。

刻度系數(shù)誤差：

安裝誤差：

按文獻(xiàn)［7］和表1 中所給出的旋轉(zhuǎn)方案相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式帶入式（7）和式（8）中，可以得到由刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差，如表2、表3所示。

表2 文獻(xiàn)［7］刻度系數(shù)和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差Table 2 Attitude error caused by scale factor and installation error in reference［7］

將表2 中的刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差幅度變化可以表示為如圖2 所示。

圖2 由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.2 Attitude error caused by scale factor error

將表3 中的刻度系數(shù)誤差和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差幅度變化可以表示為如圖4～圖5 所示。

表3 本文刻度系數(shù)和安裝誤差引起的姿態(tài)誤差Table 3 Attitude error caused by scale factor and installation error of this paper

從圖2 和圖4 可以發(fā)現(xiàn)，兩種方案由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差在北向軸上始終為零，東向軸和天向軸上的姿態(tài)誤差被調(diào)制為零均值的周期形式，從而刻度系數(shù)誤差不會(huì)積分引起速度誤差積累。

圖4 由刻度系數(shù)誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.4 Attitude error caused by scale factor error

然而，如圖3 和圖5 所示，相較于文獻(xiàn)［7］中旋轉(zhuǎn)方案，本文方案將由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差在北向軸上被調(diào)制為零均值的周期形式，即不會(huì)導(dǎo)致速度誤差累積，且北向軸姿態(tài)誤差最大幅度減小一半，為。

圖3 由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.3 Attitude error caused by installation error

圖5 由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.5 Attitude error caused by installation error

2.2.3 速度誤差分析

根據(jù)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方程，可知姿態(tài)誤差會(huì)進(jìn)一步引起速度誤差累積，由式（4）推導(dǎo)出速度誤差如下所示：

其中，fn和Φ 分別表示導(dǎo)航坐標(biāo)系下的比力和姿態(tài)誤差。在分析慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差特性時(shí)，為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)載體處于靜態(tài)，此時(shí)fn可以寫為式（10）：

因此，東向速度誤差和北向速度誤差可以如下所示：

根據(jù)上式，結(jié)合圖2 和圖3 給出的姿態(tài)誤差變化過(guò)程，可以計(jì)算出一個(gè)周期引起的速度誤差。

由表4 和表5 可以驗(yàn)證上述推斷，本文旋轉(zhuǎn)方案中姿態(tài)誤差引起的北向速度誤差與文獻(xiàn)［7］方案在同一水平，而引起的東向速度誤差降至更低。文獻(xiàn)［7］旋轉(zhuǎn)方案中姿態(tài)誤差引起的東向速度誤差平均值為，而本文旋轉(zhuǎn)方案東向速度誤差平均值為。

表4 文獻(xiàn)［7］東向和北向速度誤差Table 4 Eastern and northern velocity errors in reference［7］

表5 本文東向和北向速度誤差Table 5 Eastern and northern velocity errors in this paper

3 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文方案上述數(shù)學(xué)分析的正確性，針對(duì)文獻(xiàn)［7］中方案和本文方案進(jìn)行比對(duì)仿真。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)試驗(yàn)位置設(shè)置為緯度30.58 °和經(jīng)度114.23°，慣性測(cè)量單元旋轉(zhuǎn)的角速度為6°/s，間歇停止時(shí)間設(shè)置為30 s。

3.1 安裝誤差調(diào)制仿真

實(shí)驗(yàn)仿真誤差僅包含安裝誤差，設(shè)置為10″。在該條件下對(duì)文獻(xiàn)［7］中16 位置旋轉(zhuǎn)方案和本文方案進(jìn)行了雙軸慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)誤差、速度誤差和位置誤差仿真。圖6 和圖7 分別為整個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)兩種旋轉(zhuǎn)方案對(duì)姿態(tài)誤差和速度誤差調(diào)制效果對(duì)比圖，圖8 為兩種旋轉(zhuǎn)方案在72 h 內(nèi)位置誤差抑制效果對(duì)比圖。

圖6 一個(gè)周期內(nèi)由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差對(duì)比Fig.6 Attitude error comparison caused by installation errors in a whole rotation period

圖7 一個(gè)周期內(nèi)由安裝誤差引起的速度誤差對(duì)比Fig.7 Velocity error comparison caused by installation error in a whole rotation period

圖8 72 h 內(nèi)由安裝誤差引起的位置誤差對(duì)比Fig.8 Position error comparison caused by installation error in 72 hours

如圖6 所示，本文方案將北向軸姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值周期形式，不會(huì)引起東向速度誤差的累積，從而如圖7 所示，本文方案對(duì)速度誤差的抑制效果相較于文獻(xiàn)［7］中方案更好，從圖6 位置誤差來(lái)看，本文方案將緯度誤差最大幅度減小到文獻(xiàn)［7］的一半，經(jīng)度誤差由原來(lái)的最大幅度0.8 n mile降低到0.2 n mile。因此，本文方案對(duì)安裝誤差有更好的抑制效果。

3.2 綜合誤差調(diào)制仿真

為了模擬實(shí)際應(yīng)用的條件，該部分綜合考慮實(shí)際慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中不可忽視的誤差進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而論證在實(shí)際應(yīng)用中本文所提出的旋轉(zhuǎn)方案優(yōu)于文獻(xiàn)［7］中的16 位置旋轉(zhuǎn)方案，誤差參數(shù)如表6 所示。

表6 誤差參數(shù)設(shè)置Table 6 Error parameter setting

從圖9 可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，本文所提方案將北向軸姿態(tài)誤差調(diào)制為零均值周期形式，相較于文獻(xiàn)［7］中16 位置旋轉(zhuǎn)方案可以減小東向速度誤差積累，如圖10 所示，東向速度誤差呈現(xiàn)出幅值較小的周期變化。

圖9 一個(gè)周期內(nèi)由綜合誤差引起的姿態(tài)誤差對(duì)比Fig.9 Attitudeerrorcomparison causedbycomprehensiveerrorin a wholerotationperiod tworotationschemesinawholerotationperiod

圖10 一個(gè)周期內(nèi)由綜合誤差引起的速度誤差對(duì)比Fig.10 Velocity error comparison caused by comprehensive error in a whole rotation period

圖11 和下頁(yè)圖12 分別為兩種旋轉(zhuǎn)方案的姿態(tài)誤差和速度誤差對(duì)比圖，從中可以發(fā)現(xiàn)本文所提方案系統(tǒng)誤差幅度更小，這是因?yàn)橛砂惭b誤差引起的北向軸姿態(tài)誤差被調(diào)制為具有零均值周期的形式，從而不會(huì)導(dǎo)致速度誤差和位置誤差的累積。

圖11 72 h 內(nèi)由綜合誤差引起的姿態(tài)誤差對(duì)比Fig.11 Attitude error comparison caused by comprehensive error in 72 hours

圖12 72 h 內(nèi)由綜合誤差引起的位置誤差對(duì)比Fig.12 Velocityerrorcomparisoncausedbycomprehensiveerror in 72 hours

如圖13 所示，在綜合誤差條件下，經(jīng)過(guò)72 h 實(shí)驗(yàn)仿真，較于文獻(xiàn)［7］中16 位置旋轉(zhuǎn)方案，本文方案將緯度誤差從0.383 1 n mile/72 h 降低到0.191 0 n mile/72 h，經(jīng)度誤差從1.107 1 n mile/72 h 降低到0.462 7 n mile/72 h。

圖13 72 小時(shí)內(nèi)由綜合誤差引起的速度誤差對(duì)比Fig.13 Position error comparison caused by comprehensive error in 72 hours

在綜合誤差條件下，本文所提方案不僅可以調(diào)制常值誤差，還可以抑制刻度系數(shù)誤差和安裝誤差與IMU 旋轉(zhuǎn)耦合帶來(lái)的附加誤差效應(yīng)，減小一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)因姿態(tài)誤差引起的速度誤差累積，因此，本文方案的速度誤差和位置誤差更小。

4 結(jié)論

IMU 的旋轉(zhuǎn)方案是決定旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償效果的關(guān)鍵因素?？茖W(xué)、合理的旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案應(yīng)盡可能消除由慣性器件漂移而引起的系統(tǒng)誤差，同時(shí)不應(yīng)引入其他誤差，例如由刻度系數(shù)誤差、安裝誤差與IMU 旋轉(zhuǎn)耦合產(chǎn)生的附加誤差。本文提出了一種改進(jìn)的雙軸旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差調(diào)制旋轉(zhuǎn)方案。與文獻(xiàn)［7］中的8 位置和16 位置旋轉(zhuǎn)方案相比，本文方案不僅可以將常值誤差、刻度系數(shù)誤差和安裝誤差調(diào)制為周期形式，而且可以減小由安裝誤差引起的姿態(tài)誤差，從而速度誤差和位置誤差累積減小。為了驗(yàn)證本文所提方案的數(shù)學(xué)分析和優(yōu)越性，針對(duì)文獻(xiàn)［7］中16 位置旋轉(zhuǎn)方案分別進(jìn)行了安裝誤差和綜合誤差條件的實(shí)驗(yàn)仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方案優(yōu)于文獻(xiàn)［7］中16 位置旋轉(zhuǎn)方案，從位置誤差抑制能力來(lái)看，本方案將緯度誤差從0.383 1 n mile/72 h 降低到0.191 0 n mile/72 h，經(jīng)度誤差從1.107 1 n mile/72 h 降低到0.462 7 n mile/72 h。