基于對偶模型的企業(yè)最優(yōu)擴(kuò)張策略研究

桂有利　陳麗芳　任越

摘要：企業(yè)發(fā)展到一定階段，需要對外擴(kuò)張，但近年研究企業(yè)擴(kuò)張的模型很少。文章以企業(yè)最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)，研究基于對偶模型下企業(yè)最優(yōu)擴(kuò)張策略問題。得到了最優(yōu)策略的表達(dá)式及最小破產(chǎn)概率所滿足的方程。通過數(shù)值分析，得到了符合實際的最優(yōu)策略、最小破產(chǎn)概率和初始盈余、投入產(chǎn)出參數(shù)、收入次數(shù)初始強(qiáng)度的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：對偶模型；擴(kuò)張策略；破產(chǎn)概率

隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，企業(yè)為其需要進(jìn)行企業(yè)擴(kuò)張已然成為一種普遍現(xiàn)象。在經(jīng)營中，若企業(yè)采取了不合理的發(fā)展速度，將影響企業(yè)的正常經(jīng)營活動，降低企業(yè)的盈利能力，甚至導(dǎo)致企業(yè)破產(chǎn)，從而損害投資者甚至社會公眾的利益，以破產(chǎn)概率最小為目標(biāo)，研究企業(yè)最優(yōu)擴(kuò)張策略，對企業(yè)進(jìn)一步發(fā)展顯得尤為重要。

在過去人們?yōu)楂@取企業(yè)最小的破產(chǎn)概率進(jìn)行了大量的研究，RamsdenL等研究了離散時間對偶風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率；Frostig等研究了具有兩類收入來源的對偶風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率；鄒娓等人研究了廣義復(fù)合Poisson對偶風(fēng)險模型的相關(guān)理論，華婷等人研究了最大化調(diào)節(jié)系數(shù)的最優(yōu)比例再保險和破產(chǎn)概率，陳勛杰等人從最小破產(chǎn)概率視角研究企業(yè)最佳現(xiàn)金持有模型等，在最小破產(chǎn)概率方面，積累了大量的理論知識。

在企業(yè)經(jīng)營方面，建立對偶模型，也有不少研究，傅立群等研究了帶擾動對偶模型中Erlang（2）分紅決策時間下的最優(yōu)分紅，楊莉等研究了閾紅利策略下帶干擾對偶風(fēng)險模型的Gerber-Shin 罰金函數(shù)，韓咪等研究了帶擴(kuò)散擾動的二維對偶模型的最優(yōu)分紅等，對偶風(fēng)險模型作為企業(yè)的經(jīng)營模型，有很好的理論依據(jù)和實際含義。

眾多文獻(xiàn)中，以最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)，建立對偶風(fēng)險模型，研究企業(yè)經(jīng)營活動的文獻(xiàn)很少，但企業(yè)風(fēng)險管理極其重要，楊潔等探析了企業(yè)應(yīng)收賬款管理的有效途徑，朱坤福等分析了企業(yè)投融資管理存在的問題，田彥等分析了企業(yè)投資風(fēng)險管理的規(guī)范措施，徐智濤等分析了擴(kuò)張型企業(yè)財務(wù)風(fēng)險防范策略等，可見企業(yè)經(jīng)營活動研究的重要性，因此，本文從企業(yè)擴(kuò)張策略角度，以企業(yè)最小破產(chǎn)概率視角，對企業(yè)經(jīng)營建立對偶模型，并進(jìn)行研究。得到了最優(yōu)策略的表達(dá)式及最小破產(chǎn)概率所滿足的方程。通過數(shù)值分析，得到了符合實際的最優(yōu)策略、最小破產(chǎn)概率和初始盈余、投入產(chǎn)出參數(shù)、收入次數(shù)初始強(qiáng)度的關(guān)系。

一、模型

將所有的隨機(jī)過程和隨機(jī)變量都定義在完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上和一個滿足通常條件的域流{Ft，t≥0}，即Ft右連續(xù)且P完備。

首先，引用對偶風(fēng)險模型：

其中，X0＝x為初始基本金，c>0為企業(yè)費(fèi)用支出，{N（t）}是強(qiáng)度為λ的泊松過程，{Yi}與{N（t）}獨(dú)立同分布，有共同分布F（y），將{Yi}的一階矩記作μ，二階矩記作σ2，∑ Yi為復(fù)合泊松過程，表示到時刻t時企業(yè)的收入總和。Xt便表示企業(yè)在t時刻的盈余過程，所以{Xt}是一個連續(xù)時間的隨機(jī)過程。企業(yè)費(fèi)用支出c通過期望原理計算，得到：

其中，θ表示企業(yè)的安全負(fù)載，且θ＞0。

建立微分方程：

其中X0＝x。

為簡化結(jié)果，將微分方程進(jìn)行擴(kuò)散逼近：

其中，X0＝x，Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

為滿足發(fā)展的需要，企業(yè)必須進(jìn)行健康的擴(kuò)張。當(dāng)企業(yè)進(jìn)行擴(kuò)張時，最直接體現(xiàn)在管理費(fèi)用的增加上，此時的管理費(fèi)用設(shè)為ｃ＾（t）。當(dāng)沒有新產(chǎn)品研發(fā)時，Yi的分布不受擴(kuò)張的影響。收入次數(shù)N（t）分布的強(qiáng)度λ＾（t）隨管理費(fèi)用變化而變化。得到新的微分方程：

假設(shè)企業(yè)為了擴(kuò)張，將t時刻盈余Xt的比例π作為擴(kuò)張時期的管理費(fèi)用，此比例即擴(kuò)張策略，將帶來t時刻收入次數(shù)強(qiáng)度λ＾（t）的變動，根據(jù)實際可行性，假設(shè)強(qiáng)度λ＾（t）與擴(kuò)張策略π滿足對數(shù)關(guān)系，即

其中，λ＾（0）＝λ、πXt≥1。稱β為投入產(chǎn)出參數(shù)。

此時盈余滿足微分方程：

企業(yè)要保證在破產(chǎn)概率最小的情況下進(jìn)行擴(kuò)張，因此我們的目標(biāo)是使企業(yè)破產(chǎn)概率最小，即：

二、Hamilton-Jacobi-Bellman方程

定理1：假設(shè)Ψ（x）在（0，+∞）上二次連續(xù)可微，則Ψ（x）滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：

根據(jù)定理2，當(dāng)給定參數(shù)λ，μ，β，g（x）＝β（1+ σ2 ）為常數(shù)，即給定各參數(shù)，根據(jù)邊界條件，算出最小破產(chǎn)概率。根據(jù)定理2，最優(yōu)擴(kuò)張策略，即盈余用于管理費(fèi)用的比例跟成反比。

三、數(shù)值分析

例題1：假設(shè)μ＝1，σ＝1，λ＝0.5；1.0；1.5，x=5，β∈[3，7]計算最優(yōu)擴(kuò)張策略π*，及最小破產(chǎn)概率Ψ（x），并畫出相應(yīng)圖表，如圖1及圖2。

由圖1可知，最優(yōu)擴(kuò)張策略跟π*跟強(qiáng)度λ＾（t）函數(shù)（1.6）里面的投入產(chǎn)出β及初始強(qiáng)度λ有關(guān)，最優(yōu)擴(kuò)張策略π*隨投入產(chǎn)出參數(shù)β增大而增大，隨初始強(qiáng)度λ的增大而增大。擴(kuò)張費(fèi)用增加能帶來較多收入次數(shù)強(qiáng)度的話，這時可以適當(dāng)增加用于擴(kuò)張的管理費(fèi)用比例，反之則要控制管理費(fèi)用投入。初始強(qiáng)度較大時也可以適當(dāng)增加擴(kuò)張的管理費(fèi)用比例。

由圖2可知，最小破產(chǎn)概率隨強(qiáng)度λ＾（t）函數(shù)（1.6）里面的投入產(chǎn)出參數(shù)β的增大而減少，且當(dāng)有較大的初始強(qiáng)度λ時，也有較小的破產(chǎn)概率，符合實際。

例題2：假設(shè)μ＝1，σ＝1，λ＝0.5，x=5；6；7，β∈[3，7]，計算最優(yōu)擴(kuò)張策略π*，及最小破產(chǎn)概率Ψ（5），并畫出相應(yīng)圖表，圖3及圖4如下。

由圖3可知，最優(yōu)擴(kuò)張策略與初始盈余有關(guān)，隨初始盈余的增大而減少，當(dāng)初始盈余較大時，只能用相對小的盈余比例用于擴(kuò)張的管理費(fèi)用，這符合風(fēng)險控制原則。由圖4可知，最小破產(chǎn)概率隨初始盈余的增大而降低，符合實際。

四、結(jié)論及對策

理論結(jié)論，本文以企業(yè)最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)，研究基于對偶模型下企業(yè)最優(yōu)擴(kuò)張策略問題。得到了最優(yōu)策略的表達(dá)式及最小破產(chǎn)概率所滿足的方程。通過數(shù)值分析，得到了符合實際的最優(yōu)策略、最小破產(chǎn)概率和初始盈余、投入產(chǎn)出參數(shù)、收入次數(shù)初始強(qiáng)度的關(guān)系。

實踐結(jié)論，企業(yè)發(fā)展到一定階段，需要對外擴(kuò)張。擴(kuò)張策略需要考慮風(fēng)險，為了公眾利益，最常見的是考慮最小破產(chǎn)概率。本文的最優(yōu)擴(kuò)張策略正是在最小破產(chǎn)概率的目標(biāo)下得到的。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)擴(kuò)張策略受初始盈余、投入產(chǎn)出參數(shù)、初始強(qiáng)度等因素的影響，所以企業(yè)在實施擴(kuò)張時，必須綜合考慮各因素，尤其是資金盈余、產(chǎn)出初始強(qiáng)度及投入增加能帶來多少產(chǎn)出強(qiáng)度的增加等因素。

基于以上結(jié)論，當(dāng)企業(yè)經(jīng)營到某個階段，需要擴(kuò)張時，本文提出相應(yīng)對策。

（一）根據(jù)初始盈余，制定合理擴(kuò)張速度

根據(jù)本文研究結(jié)論，最優(yōu)擴(kuò)張速度受初始盈余影響，當(dāng)初始盈余較高時，抵御風(fēng)險的能力也較強(qiáng)，這時可以制定大一點的擴(kuò)張速度，如果初始盈余不高，為保險起見，以保守速度進(jìn)行擴(kuò)張。

（二）根據(jù)企業(yè)所處行業(yè)，制定合理擴(kuò)張速度

根據(jù)本文研究結(jié)論，最優(yōu)擴(kuò)張速度受收入次數(shù)初始強(qiáng)度影響，收入次數(shù)初始強(qiáng)度代表行業(yè)情況，當(dāng)行業(yè)景氣，收入次數(shù)初始強(qiáng)度較高，此時適合采取高速度擴(kuò)張，如果行業(yè)不景氣，收入次數(shù)初始強(qiáng)度較低，應(yīng)采取保守擴(kuò)張速度。

（三）根據(jù)企業(yè)銷售團(tuán)隊的能力制定合理擴(kuò)張策略

根據(jù)本文研究結(jié)論，最優(yōu)擴(kuò)張速度受投入產(chǎn)出參數(shù)影響，投入產(chǎn)出參數(shù)反映企業(yè)銷售團(tuán)隊的能力，當(dāng)銷售團(tuán)隊能力較強(qiáng)，投入產(chǎn)出參數(shù)則較大，此時應(yīng)采取高速度擴(kuò)張，反之，銷售團(tuán)隊能力不強(qiáng)，投入產(chǎn)出參數(shù)較小，應(yīng)采取保守擴(kuò)張速度。

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＊基金項目：大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練湖南省項目（S202111528045）。

（作者單位：桂有利、陳麗芳，湖南工學(xué)院；任越，深圳房訊通信息技術(shù)有限公司）