基于不同模型的期權(quán)定價(jià)對(duì)比分析

熊澤宇

摘要：上證50ETF期權(quán)在中國(guó)期權(quán)市場(chǎng)占據(jù)重要地位，尋找合適的參數(shù)模型描述期權(quán)市場(chǎng)特征具有重要的實(shí)際意義。文章首先分析上證50ETF標(biāo)的指數(shù)、shibor利率，上證50ETF期權(quán)合約的特征，然后選擇Merton模型、Heston模型、Bates模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)實(shí)證研究。實(shí)證結(jié)果表明，Heston模型對(duì)上證50ETF期權(quán)具有較好的定價(jià)精度。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)；上證50ETF；shibor利率；市場(chǎng)特征

期權(quán)作為一種重要的金融衍生產(chǎn)品，其定價(jià)理論非常豐富，包括Black 和 Scholes（1973）提出的BSM模型、Merton（1976）提出的考慮股票價(jià)格的跳躍因素的Merton模型、Hull and White（1987）提出的考慮股票價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)率因素的Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型、考慮隨機(jī)波動(dòng)率和跳躍因素的Bates模型、描述標(biāo)的股指隨機(jī)利率的CIR模型等。

合理的定價(jià)模型對(duì)期權(quán)交易市場(chǎng)非常必要，但對(duì)于不同的資本市場(chǎng)的不同的經(jīng)濟(jì)體制，市場(chǎng)環(huán)境具有明顯的差異，相較于國(guó)際市場(chǎng)，我國(guó)的期權(quán)較市場(chǎng)自2015 年首只股票期權(quán)上證50ETF上市才初步成型。方艷、張?jiān)t和喬明哲運(yùn)用IGARCH、蒙特卡洛模擬、B-S-M模型有效地模擬出上證50ETF期權(quán)價(jià)格。王西梅、趙延龍、史若詩(shī)等基于局部波動(dòng)率模型對(duì)我國(guó)上證50ETF指數(shù)期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證研究，并從樣本內(nèi)定價(jià)誤差、樣本外定價(jià)誤差、套期保值效果三個(gè)方面分析比較了模型的定價(jià)效果。瞿慧、陳靜雯對(duì)連續(xù)波動(dòng)引入符號(hào)跳躍以改進(jìn)波動(dòng)預(yù)測(cè)，研究了50ETF期權(quán)的跳躍因素。

本文首先剖析了上證50ETF期權(quán)的市場(chǎng)特點(diǎn)，然后對(duì)上證50ETF期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)實(shí)證研究。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第一部分介紹了不同的期權(quán)定價(jià)模型、傅里葉變化算法；第二部分介紹了定價(jià)模型的校準(zhǔn)方法；第三部分分析上證50ETF期權(quán)的市場(chǎng)特征并進(jìn)行了實(shí)證研究，對(duì)不同模型的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。第四部分對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)。

一、理論定價(jià)模型及其解法

（一）理論定價(jià)模型

先對(duì)Merton模型、Heston模型及Bates-CIR模型進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹。St表示t時(shí)期的指數(shù)水平，Jt表示t期的跳躍，Nt表示強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，Zt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，vt表示標(biāo)的指數(shù)的波動(dòng)率，長(zhǎng)期均值為θv，回復(fù)速率為κv，σv表示vt的波動(dòng)率。

Merton跳躍擴(kuò)散模型考慮了跳躍成分，恒定的短期利率和恒定的波動(dòng)率。標(biāo)的指數(shù)的變化在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下服從Merton的跳躍擴(kuò)散過(guò)程。其中，r表示恒定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)短期利率，σ表示指數(shù)的固定波動(dòng)率，rJ≡λ·（e■-1），表示跳躍的漂移修正項(xiàng)：

dSt=（r-rJ）Stdt+σStdZt+JtStdNt

Heston模型考慮了波動(dòng)率的隨機(jī)性，采用了隨機(jī)波動(dòng)率和恒定的短期利率，波動(dòng)率服從一個(gè)平方根均值回復(fù)過(guò)程。其中，u表示標(biāo)的指數(shù)水平的均值：

dSt=μStdt+■StdZ■■

dvt=κv（θv-vt）dt+σv■dZ■■

dZ■■dZ■■＝ρdt

Bates隨機(jī)波動(dòng)率跳躍擴(kuò)散模型描述標(biāo)的指數(shù)S的風(fēng)險(xiǎn)中性變化過(guò)程，在Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型的基礎(chǔ)上增加了跳躍擴(kuò)散過(guò)程。其中，rt表示時(shí)期t的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)短期利率：

dSt=（rt-rJ）Stdt+■StdZ■■+JtStdNt

dvt=κv（θv-vt）dt+σv■dZ■■

dZ■■dZ■■＝ρdt

CIR模型描述了隨機(jī)短期利率的變化過(guò)程，該過(guò)程是一個(gè)平方根擴(kuò)散過(guò)程：

drt=κr（θr-rt）dt+σr■dZ■■

（二）Lewis傅里葉變換算法

傅里葉變換的方法只需要標(biāo)的物隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)，就可以使用半解析定價(jià)公式來(lái)對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，本文采用的是Lewis提出的傅里葉變換的定價(jià)模型公式。根據(jù)Lewis提出的方法，將Merton、Heston、Bates模型的特征函數(shù)帶入傅里葉變換定價(jià)公式可以推導(dǎo)出各個(gè)模型的傅里葉定價(jià)公式。

Merton模型跳躍過(guò)程的特征函數(shù)為：

φMJ（u，T）＝exp{[iuω+λ（e■-1）]T}，ω＝-λ（e■-1）

Heston模型的特征函數(shù)為：

φH（u，T）＝e■■

其中，H1（u，T）=-■uiT+■{（κv-ρσvui+c2）T-2log■}，H2（u，T）=■■，c2= -■，c3=■

Bates模型的特征函數(shù)為：

φBCIR（u，T）＝φH（u，T）·φMJ（u，T）

二、模型的校準(zhǔn)

參數(shù)模型校準(zhǔn)就是尋找合適的參數(shù)模型來(lái)復(fù)制期權(quán)市場(chǎng)的報(bào)價(jià)，基本思路是最小化期權(quán)價(jià)格與模型價(jià)格的均方誤差函數(shù)。通過(guò)全局最優(yōu)化和局部最優(yōu)化算法求解模型的最優(yōu)參數(shù)，通過(guò)python自帶的fbrute（·）函數(shù)粗略掃描誤差平面，求解全局最優(yōu)解，再利用fmin（·）函數(shù)求解局部最優(yōu)參數(shù)。

最小化目標(biāo)函數(shù)為：

■■∑■■（C■■-C■■（p））■（1）

在這個(gè)誤差函數(shù)中，C■■是期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)，C■■是給定參數(shù)向量p的期權(quán)模型價(jià)格，n=1，…，N。這是期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)與理論模型定價(jià)的均方誤差函數(shù)。

在實(shí)際校準(zhǔn)過(guò)程中，首先對(duì)隨機(jī)短期利率、隨機(jī)波動(dòng)率、跳躍進(jìn)行局部校準(zhǔn)，然后對(duì)整個(gè)模型進(jìn)行校準(zhǔn)。隨機(jī)短期利率部分的校準(zhǔn)是最小化市場(chǎng)遠(yuǎn)期利率和模型隱含遠(yuǎn)期利率的均方誤差：

min■■■[f（0，nΔt）-fCIR（0，nΔt；pCIR）]2

其中，pCIR＝{κr，θr，σr，r0}為參數(shù)集，f（0，t）為t的市場(chǎng)遠(yuǎn)期利率，fCIR（0，t；pCIR）為t的模型隱含遠(yuǎn)期利率。

隨機(jī)波動(dòng)率部分的校準(zhǔn)的最優(yōu)化問(wèn)題是最小化市場(chǎng)真實(shí)期權(quán)價(jià)格和模型價(jià)格的均方誤差函數(shù)：

min■■■（C■■-C■■（ｐ＾CIR，pH））2

其中，ｐ＾CIR是利率部分校準(zhǔn)得到的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)集合，C■■是第i個(gè)期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格，C■■是Heston模型預(yù)測(cè)的期權(quán)價(jià)格。

在校準(zhǔn)跳躍部分時(shí)，運(yùn)用Tikhonov正則化方法，在目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰修正目標(biāo)函數(shù)：

min■■■（C■■-C■■（ｐ＾CIR，ｐ＾H，pJ））2+w·｜｜p0-pJ｜｜2

其中，p0為初始參數(shù)向量，pJ＝{λ，μ，σ}為跳躍部分的參數(shù)向量，隨機(jī)波動(dòng)率部分參數(shù)的最優(yōu)解為ｐ＾H，w是懲罰項(xiàng)的權(quán)重。

三、基于上證50ETF的期權(quán)定價(jià)模型實(shí)證

本文對(duì)上證50ETF期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)實(shí)證研究，數(shù)據(jù)來(lái)源于Tushare金融數(shù)據(jù)庫(kù)。使用2018年6月4日到2020年11月30日的交易日上證50ETF指數(shù)數(shù)據(jù)，共607條，使用shibor利率數(shù)據(jù)，共611條。使用2020年11月1日到2020年11月29日上證50ETF看漲期權(quán)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，共1543條訓(xùn)練數(shù)據(jù)。使用2020年11月30日的看漲期權(quán)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，共87條測(cè)試數(shù)據(jù)。

（一）上證50ETF期權(quán)市場(chǎng)特征

本文研究股指期權(quán)市場(chǎng)，首先，要分析股指期權(quán)標(biāo)的指數(shù)的市場(chǎng)特征，其次，考慮期權(quán)市場(chǎng)的市場(chǎng)特征。標(biāo)的股指的市場(chǎng)特征主要分析隨機(jī)波動(dòng)率、波動(dòng)率的聚集、波動(dòng)率的均值回復(fù)、杠桿效應(yīng)、厚尾分布、跳躍因素等。短期利率的市場(chǎng)特征主要考慮：利率數(shù)據(jù)的正值性、隨機(jī)性、均值回復(fù)特征以及利率的期限結(jié)構(gòu)四個(gè)因素。

由圖1可知，對(duì)數(shù)收益率曲線隨時(shí)間變化而波動(dòng)，表明了隨時(shí)間變化的波動(dòng)率即隨機(jī)波動(dòng)率，而且存在波動(dòng)率聚集現(xiàn)象。進(jìn)一步計(jì)算對(duì)數(shù)收益率的偏度為0.07，峰度為5.24，對(duì)數(shù)收益率的分布存在尖峰厚尾特征。如果將日對(duì)數(shù)收益率的絕對(duì)值大于5%定義為跳躍，假設(shè)對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布來(lái)估算存在4個(gè)跳躍，跳躍特征不明顯。

由圖2可知，日對(duì)數(shù)收益率存在均值回復(fù)的特征，對(duì)數(shù)收益率和波動(dòng)率之間有時(shí)是正相關(guān)，有時(shí)是負(fù)相關(guān)，平均相關(guān)系數(shù)為-0.06，認(rèn)為不存在杠桿效應(yīng)。

同樣對(duì)于一周的shibor利率數(shù)據(jù)典型特征進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)利率具有正值性、隨機(jī)波動(dòng)率、波動(dòng)率聚集、均值回復(fù)的特征。由圖3可知，對(duì)于不同的期限的shibor結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，到期時(shí)間越長(zhǎng)報(bào)價(jià)越高。

（二）期權(quán)定價(jià)模型實(shí)證

測(cè)試數(shù)據(jù)共四個(gè)到期日，分別為2020年12月23日、2021年1月27日、2021年3月24日、2021年6月23日。使用2020年11月shibor利率，上證50ETF標(biāo)的股指的現(xiàn)值，實(shí)際到期天數(shù)/365作為到期時(shí)間進(jìn)行模型訓(xùn)練與期權(quán)定價(jià)。

1. 模型校準(zhǔn)及擬合結(jié)果比較

Merton定價(jià)模型采用恒定的利率，不同日期對(duì)應(yīng)的shibor利率不同，在這里選擇2020年11月1日到2020年11月29日的1w平均利率。選用2020年11月1日的上證50ETF指數(shù)報(bào)價(jià)為S0，最終校準(zhǔn)得到的最優(yōu)參數(shù)為：σ＝0.156，λ＝5.302，μ＝-0.213，δ＝0.000校準(zhǔn)的均方誤差函數(shù)MSE=0.132。

采用同樣的初始化參數(shù)使用CIR隨機(jī)短期利率模型校準(zhǔn)的最優(yōu)參數(shù)為：κ=42.495，θ=0.065，σ＝2.296，校準(zhǔn)的均方誤差函數(shù)MSE=1.613。將短期利率模型校準(zhǔn)得到的最優(yōu)參數(shù)作為Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型的初始化參數(shù)，2020年11月1日至2020年11月29日的1w平均shibor基準(zhǔn)利率，2020年11月1日上證50ETF標(biāo)的股價(jià)為初始化利率和S0。最終校準(zhǔn)得到的最優(yōu)參數(shù)為κ=5.739，θ=0.006，σ=0.018，ρ=0.998，v0=0.232，校準(zhǔn)的均方誤差函數(shù)MSE=0.006。

Bates隨機(jī)波動(dòng)率模型在Heston模型的基礎(chǔ)上增加了跳躍因素，因此把校準(zhǔn)的Heston模型的最優(yōu)參數(shù)作為Bates模型的初始化參數(shù)，仍然采用2020年11月1日至2020年11月29日的1w平均shibor基準(zhǔn)利率，2020年11月1日上證50ETF標(biāo)的股價(jià)為初始化利率和S0，最終校準(zhǔn)得到的最優(yōu)參數(shù)為κ＝9.770，θ＝0.005，σ＝0.000，ρ＝0.780，v0＝0.690，λ＝0.690，μ＝－0.546，δ＝0.000，校準(zhǔn)的均方誤差函數(shù)MSE=0.006。

比較三種模型的校準(zhǔn)均方誤差，考慮隨機(jī)波動(dòng)率因素的Heston、Bates擬合效果要比僅考慮跳躍因素的Merton模型要好，這也符合上證50ETF期權(quán)的市場(chǎng)特征。

2. 期權(quán)定價(jià)模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較

根據(jù)表1可得，Heston模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合效果最好，明顯比其他模型要好，預(yù)測(cè)誤差也比其他模型的誤差要小。根據(jù)上證50ETF期權(quán)的市場(chǎng)特征，模型需要考慮隨機(jī)波動(dòng)率因素，Heston模型與Merton模型相比，考慮了隨機(jī)波動(dòng)率因素，因此模型結(jié)果符合預(yù)期。Bates模型在Heston模型基礎(chǔ)上考慮了跳躍因素，但是在上證50ETF市場(chǎng)特征分析中跳躍特征并不顯著，因此Heston模型的定價(jià)效果更好。如圖4所示，Heston模型對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)集的定價(jià)結(jié)果曲線Model與實(shí)際價(jià)格曲線Call比較接近，模型定價(jià)效果比較好。

四、結(jié)語(yǔ)

本文基于Merton模型、Heston模型、Bates模型對(duì)上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，同時(shí)運(yùn)用傅里葉變化公式，使用全局與局部求解算法進(jìn)行模型求解。使用上證50ETF標(biāo)的股指數(shù)據(jù)，Shibor利率數(shù)據(jù)，上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型的最優(yōu)參數(shù)，并運(yùn)用CIR隨機(jī)利率模型對(duì)短期利率進(jìn)行校準(zhǔn)。評(píng)估不同期權(quán)定價(jià)模型的擬合效果及預(yù)測(cè)精度，其中Heston模型的擬合效果及預(yù)測(cè)精度較高，說(shuō)明該模型在上證50ETF期權(quán)市場(chǎng)具有較強(qiáng)的實(shí)用性。盡管Heston模型在上證50ETF期權(quán)的定價(jià)上取得較為良好的結(jié)果，但是參數(shù)模型對(duì)著參數(shù)的增加，靈活度降低，因此融合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等非參數(shù)方法進(jìn)行定價(jià)是本文的下一步研究方向。

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（作者單位：湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）