基于q-Bessel多項(xiàng)式求柯西奇異積分方程數(shù)值解

陳 銳,陳 沖

(1.西華師范的大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637000;2.西華師范的大學(xué) 公共數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 南充 637000)

積分方程是近代分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,其理論被廣泛應(yīng)用于科學(xué)與技術(shù)的很多分支.由于部分積分方程的求解難度較大,數(shù)值方法成為求解這類積分方程的一種實(shí)用方法.由于積分方程應(yīng)用的廣泛性,人們對于積分方程的研究也從未停止,而奇異積分的研究更是越來越得到重視.其中具有柯西核的奇異積分在物理和工程等領(lǐng)域有重要應(yīng)用,如接觸輻射[1]、斷裂力學(xué)[2]、彈性動(dòng)力學(xué)[3-4]、分子傳導(dǎo)[4]和接觸力學(xué)[5-6]等.

某些柯西奇異積分方程很難找到解析解,因此眾多研究者已經(jīng)開發(fā)了幾種精度較高的數(shù)值方法來求解這些奇異積分方程.例如配置法,其中使用Jacobi多項(xiàng)式[7],Lagrange插值與Guass-Jacobi求積樣條法[8],使用第二類Chebyshev多項(xiàng)式[9],Bernstein多項(xiàng)式[10-12],正交Legendre多項(xiàng)式[11],Hermite插值方法[13],以及Bessel多項(xiàng)式[14]等近似待求函數(shù),進(jìn)而求解柯西奇異積分方程,還有Galerkin方法[15],Nystr?m方法[16]也可求解柯西奇異積分方程.

本文中,采用一種新的多項(xiàng)式逼近待求函數(shù),應(yīng)用離散配置法求解柯西奇異積分方程

其中f(s)是一個(gè)給定的已知函數(shù),α,β是常數(shù),x(s)是待求的函數(shù).首先,采用平滑變換消除方程(1)中積分項(xiàng)的奇異性,即[17]

(3)

對方程(3)的積分部分以Legendre多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)進(jìn)行離散,并轉(zhuǎn)換成矩陣形式求解.

1 q-Bessel多項(xiàng)式以及函數(shù)逼近

n階q-Bessel多項(xiàng)式y(tǒng)n(x)的顯示公式定義如下

其中,k=0,1,…,n和0

使用截?cái)嗟膓-Bessel多項(xiàng)式序列來近似x(s),即

其中,{xi|i=0,1,…,n}是q-Bessel多項(xiàng)式的待求系數(shù).

2 方法構(gòu)造

下面將詳述數(shù)值求解柯西奇異積分方程的算法步驟.

首先,將xn(s)代入方程(3)的左端,記剩余函數(shù)

選取Gauss-Legendre的n+1個(gè)根s0,s1,…,sn∈[-1,1],令剩余函數(shù)在這些離散點(diǎn)上為零值,即

τn(sj)=0,j=0,1,…,n,

(6)

則

其中,sj∈[-1,1],j=0,1,…,n.進(jìn)一步采用Gauss-Legendre求積公式近似方程(7)中的積分項(xiàng)得

若令

則,方程(8)轉(zhuǎn)化為矩陣形式

XTV=F.

(9)

如果det(V)≠0,那么方程(9)有唯一解,從而可以求解出系數(shù)矩陣

XT=FV-1.

因此,可得q-Bessel系數(shù){xi|i=0,1,…,n}.將其代入(5)式,可求得近似解x(s).

3 誤差分析

下面對上述方法進(jìn)行誤差分析.

定理1[18]假設(shè)s0,s1,…,sn是Legendre多項(xiàng)式在[-1,1]上的n+1個(gè)不同的根,并且n是一個(gè)正整數(shù).如果用q-Bessel基多項(xiàng)式來逼近函數(shù)x(s)∈Cn+1[-1,1],取其前n項(xiàng)為xn(s),則存在η∈(s0,sn),使得

證明由于給定的空間Cn+1[-1,1]是有界的,則存在常數(shù)ρ,有

因此,結(jié)合定理1,范數(shù)定義,H?lder不等式及(5)式

故

4 數(shù)值算例

根據(jù)q-Bessel多項(xiàng)式中q的要求,為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)一性,統(tǒng)一取q=1/2.

例1[19]求解下列柯西奇異積分方程

(10)

其準(zhǔn)確解為x(s)=s2+s3.

方程(10)是第一類柯西奇異積分方程,首先采用平滑變換消除奇異性,然后再利用Gauss-Legendre求積公式近似積分項(xiàng),這里取m=8.當(dāng)n=3,4時(shí)方程的不同計(jì)算結(jié)果如表1所示,同時(shí)與文獻(xiàn)[19]中利用外推公式求解柯西積分方程的誤差結(jié)果做比較.由表1的數(shù)據(jù)分析可得當(dāng)m=8和n=3時(shí)的誤差分析圖如圖1.算例表明,計(jì)算結(jié)果的誤差值隨著n的增加而減小.由于精確解是3階多項(xiàng)式,多次實(shí)驗(yàn)可發(fā)現(xiàn)n<3時(shí)的誤差并不理想,因此在近似解的過程中,滿足n≥3.

表1 當(dāng)n=3,4,m=8時(shí)方程(10)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[19]的比較

例2[14]求解下列第二類柯西奇異積分方程

(11)

其中a=b=1,精確解為x(s)=cos(s),以及

f(s)=-Ci(-s-1)cos(s)+Ci(1-s)cos(s)-Si(1-s)sin(s)-Si(s+1)sin(s)+cos(s)

這里用精確解為一個(gè)非多項(xiàng)式的例子來檢驗(yàn)本文所討論的方法.方程(10)是第二類Fredholm形式的柯西奇異積分方程,采用同樣的方法,將其轉(zhuǎn)化成方程組(8)的形式,這里取m=8,n=10,12.表2展示了當(dāng)m=8和n=10,12時(shí)方程在不同節(jié)點(diǎn)的誤差分析結(jié)果以及與文獻(xiàn)[14]中采用貝塞爾多項(xiàng)式逼近待求函數(shù)的方法做比較.當(dāng)m=8,n=12時(shí),不同節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解,精確解和絕對誤差如圖2所示.這個(gè)數(shù)值算例也表明,文中算法的精度誤差隨著q-Bessel多項(xiàng)式階數(shù)n的增加而逐步減小.

圖1 當(dāng)m=8,n=3的誤差分析 圖2 當(dāng)m=8,n=12誤差分析.

表2 當(dāng)n=10,12,m=8的計(jì)算結(jié)果比較

5 總結(jié)

在處理實(shí)際問題時(shí),會(huì)遇到大量的柯西奇異積分方程類型的模型,方程的奇異性使其求解難度加大.本文首先采用q-Bessel多項(xiàng)式近似柯西奇異積分方程中的待求函數(shù);其次,采用平滑變換消除柯西奇異積分中的奇異性,并采用Gauss-Legendre求積公式對積分項(xiàng)進(jìn)行近似;最后,將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的矩陣形式來求得數(shù)值近似解.算例中的數(shù)據(jù)顯示了該方法所得的誤差值較低,同時(shí)本文使用的q-Bessel多項(xiàng)式也可以應(yīng)用到其他類積分方程.