分數階多延遲拋物方程不同差分格式的分析

石紅芳

(淄博師范高等專科學校 數理系,山東 淄博 255130)

隨著科學技術的發(fā)展,分數階多延遲拋物方程在各領域得到廣泛應用,所以對其理論以及數值方法的研究顯得十分重要.相比較于整數階導數,分數階導數為非局部算子,這意味著某一點的分數階導數的計算不能只用到該點附近的函數值,而且還要用到全局歷史數據,即該點之前的所有函數值[1].所以,對分數階偏微分方程尋求精度更高且有效性更好的數值計算方法具有重要的研究意義.張靜[2]采用輔助函數法進一步擴展modified Benjamin-Bona-Mahony方程和(3+1)維非線性分數階Jimbo-Miwa方程的精確解.白鷺等[3]通過方程的初值條件和邊界條件構造輔助函數求解時間分數階偏微分方程的解析解.盡管目前對于分數階偏微分方程以及分數階延遲微分方程的研究成果較多,但是對于求解多延遲偏微分方程,尤其是分數階的情況時,由于計算量較大以及求解困難,對于分數階多延遲偏微分方程至今仍很少有人研究[4].在現實生活中,大部分系統(tǒng)或者模型都不止一個延遲項,而延遲項會給計算帶來一定的誤差,所以對延遲項所帶來的影響不能忽略.本文旨在研究精確度更高和更有效的差分格式[5].先對分數階多延遲拋物方程構造線性化Crank-Nicolson差分格式,并對該格式的可解性、收斂性以及穩(wěn)定性進行分析,再對分數階多延遲拋物方程構造相應的緊致差分格式,最后借助數值算例驗證差分格式求解的有效性.

1 相關理論概述

1.1 一類分數階多延遲拋物方程

本文主要考慮如下分數階多延遲拋物方程初邊值問題

u(a,t)=φ(x),u(b,t)=φ(x),0≤t≤T,u(x,t)=ψ(x),a≤x≤b,-s≤t≤0,其中1<γ≤2,s1,s2,…,sl>0是恒定延遲,r是正整數,s=max(s1,s2,…,sl),φ(x),φ(x),ψ(x)是已知光滑函數.該方程常常用于描述一些重要的現象,如Hopfield神經網絡、物種種群、血細胞生產的動力學和其他科學領域.不失一般性,本文僅考慮具有兩個延遲項的分數階拋物方程初邊值問題[6].

(1)

u(a,t)=u(b,t)=0,0≤t≤T,

(2)

u(x,t)=ψ(x),a≤x≤b,-s≤t≤0,

(3)

其中,1<γ≤2,s=max(s1,s2),并將對它分別構造Crank-Nicolson型差分格式和緊致差分格式.

1.2 Crank-Nicolson差分格式

|f(μ1,ν1,η1,x,t)-f(μ2,ν2,η2,x,t)|≤c1|μ1-μ2|+c2|v1-v2|+c3|η1-η2|

(4)

成立,其中(x,t)∈(a,b)×(0,T),c1,c2,c3為 Lipschitz常數.

引理1[5-6]設1<γ≤2,f∈C5(R)及其直至5階的導數屬于L1(R)并且

做分數階中心差分,得到

假設f*∈C5(R)及其直至5階的導數屬于L1(R),則根據引理1可得

(7)

應用Taylor公式,有

(8)

其中,

對方程(1),利用引理1并用Crank-Nicolson離散法可得

(10)

其中,

存在一個正常數c4使

(12)

(15)

1.3 數值分析

為了證明差分格式(12)式～(14)式可解性、收斂性和穩(wěn)定性.定義Ωh上的網格空間如下.

由文獻[7]可知

其中,λi是矩陣M的特征值.不難證明矩陣M是對稱正定矩陣.記

(18)

其中,

在數值分析中,需要用到下面的引理.

引理3[9]假設{Fk|k≥0}是非負數的序列,并且滿足

(21)

由以上引理得到

Fk+1≤cexp(dkτ),k≥0,

(22)

其中,c,d是非負常數.

定理1差分格式(12)式～(14)式的解是唯一存在的.

證明由初值條件(14)可知,當-j≤n≤0時,結論是成立的.現假設存在唯一解Uk(0≤k≤N-1)接下來只需證明在(12)中存在唯一解Uk+1.將(19)寫為如下形式

(23)

接下來討論差分格式(12)式～(14)式的收斂性.記

(24)

由此得到如下收斂性結果.

定理2在(4)式的假設下,當h,τ充分小時,差分格式(12)式～(14)式滿足

由引理2有

即有

根據(4)式所表示的Lipschitz假設,得到

進而有

根據(11)式可得

即有

將(28)式、(29)式、(31)式和(33)式代入(27)式,可得

(34)

對n從1到k求和,并注意到當-j≤l≤0時有el=0,得到

(36)

根據引理3,得到

因此

(38)

下面證明差分格式(12)式～(14)式的穩(wěn)定性.

(39)

在證明差分格式(12)式～(14)式的穩(wěn)定性時,需要用到如下定理.

定理6在定理5的條件下,當h,τ充分小時,有

證明將(39)式～(41)式代入(12)式～(14)式中,可得

(45)

類似于定理5的證明,當h,τ充分小時,有

(47)

根據Gronwall不等式即引理3,得到

注意到jτ=s和Mh=(b-a),進而有

由定理6可知,差分格式(12)式～(14)式是初值穩(wěn)定的.

1.4 緊致差分格式

為更好地求解問題(1)式～(3)式,研究精度更高的差分格式.

引理4[10]當1<γ≤2,設f∈C7(R)及其直至7階的導數屬于L1(R),有

其中,

定義Ωhτ上的網格函數U,

利用引理4,可得

(50)

通過泰勒展開以及公式(8)式和(9)式,可得

(51)

(53)

2 結果分析

2.1 Crank-Nicolson差分格式的數值算例分析

算例1考慮具有單延遲的分數階Hutchinson方程

(55)

邊界條件值由精確解u(x,t)=(t+1)γx2(1-x)2唯一確定,將精確解代入(55)式可得到函數g(x,t).當γ=2時,這個方程簡化為著名的Hutchinson方程.該算例是通過利用Riesz分數階導數替換二階空間導數得到的.為了證明其精確性,用差分格式(12)式～(14)式進行計算.表1是當h=τ,s=0.5時,γ分別為1.20,1.60,2.00時的誤差以及收斂階.由表1可以看出收斂階的值總是趨近于2,也就是說差分格式(12)式～(14)式在時間和空間的離散精度確實能達到O(τ2+h2).

表1 算例1的誤差以及收斂階

算例2考慮具有兩個時間延遲的非線性分數階擴散方程

(56)

邊界條件值以及g(x,t)通過精確解u(x,t)=tx2(1-x)2確定.通過計算得到結果如表2所示.在表2中是當h=τ,s1=0.2,s2=0.8時,γ分別為1.20、1.60和1.90時的誤差以及收斂階.從表2中可以看出收斂階的值總是趨近于2,也就是說差分格式(12)式～(14)式在時間和空間的離散精度確實能達到O(τ2+h2).

表2 算例2的誤差以及收斂階

通過算例1和算例2,可以看出計算得出的數值結果與之前的理論分析是一致的,即差分格式(12)式～(14)式具有精確性和有效性.

2.2 緊致差分格式的數值算例分析

算例3考慮帶有初始邊界值的線性分數階多延遲拋物方程

其中,

(t+1-0.1)γx4(1-x)4-(t+1-0.2)γx4(1-x)4.

表3 算例3的誤差以及收斂階

算例4考慮帶有初始邊界值的非線性分數階多延遲拋物方程

其中,

(t+1-0.1)2γx8(1-x)8-(t+1-0.1)3γx12(1-x)12-2(t+1-0.2)γx4(1-x)4.

表4 算例4的誤差以及收斂階

通過算例3和算例4分析,得到(55)式～(57)式所表示的緊致差分格式具有精確性以及有效性.

3 總結

科學技術的迅速發(fā)展,近年來國內外出現很多的偏微分方程實際模型.本文主要研究了分數階多延遲拋物方程的數值方法.為了降低計算成本,并取得較高的精度,針對分數階多延遲拋物方程構造線性化Crank-Nicolson差分格式,并借助數值算例驗證該差分格式的有效性.同時,對分數階多延遲微分方程構造了精度更高的緊致差分格式,利用MATLAB針對相應的數值算例進行模擬,對該差分格式的精度及有效性進行驗證.在文中僅對Crank-Nicolson差分格式的可解性、穩(wěn)定性以及收斂性進行了證明,并未對緊致差分格式的穩(wěn)定性、收斂性和可解性進行驗證.