探究空氣阻力對(duì)球體斜拋運(yùn)動(dòng)的影響

王振鑫 蘇文斌 時(shí)彥朋

1.山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山東濟(jì)南 250000；2.山東大學(xué) 山東濟(jì)南 250000

在日常生活中，斜拋運(yùn)動(dòng)是非常常見(jiàn)的，人們常會(huì)提出自己的猜想，如何投出最遠(yuǎn)的距離。本文反復(fù)研究了斜拋角度與水平距離的關(guān)系、初速度與水平距離的關(guān)系，以及在一定情況下不同材料與水平距離的關(guān)系。在理論計(jì)算中，45度角的投擲距離最遠(yuǎn)，但在考慮空氣阻力的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，40度角左右的投擲距離最遠(yuǎn)，相同體積的鋼、塑料和泡沫球中，塑料球的水平投擲距離最遠(yuǎn)。在物理(必修二)教材“平拋運(yùn)動(dòng)”一節(jié)中，探討了平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，指出了一般拋物運(yùn)動(dòng)的研究方法。如果忽略空氣阻力，則當(dāng)物體平拋或斜拋時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線(xiàn)。在本節(jié)末尾的“說(shuō)一說(shuō)”欄目中提出以下問(wèn)題：“……但是物體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度越大，阻力也就越大，所以，研究炮彈運(yùn)動(dòng)時(shí)，就不能忽略空氣的阻力?！?/p>

1 實(shí)驗(yàn)原理

小球從微型發(fā)射器出口出發(fā)，通過(guò)光電門(mén)測(cè)小球的初速度，然后讓小球落在一個(gè)特定的板子上停止計(jì)時(shí)，由此測(cè)出小球飛行時(shí)間。接下來(lái)通過(guò)測(cè)量小球初始位置到板子的位置，可以測(cè)出小球?qū)嶋H飛行長(zhǎng)度，然后我們又可以利用初速度去測(cè)小球的理論飛行距離，由此我們可以通過(guò)比較二者的差異去得到空氣阻力對(duì)小球的影響。

2 實(shí)驗(yàn)裝置

表1 實(shí)驗(yàn)裝置目錄

實(shí)驗(yàn)步驟：

(1)固定實(shí)驗(yàn)裝置的角度、發(fā)射高度以及發(fā)射器的檔位。

(2)發(fā)射小球至計(jì)時(shí)板。

(3)當(dāng)小球離開(kāi)發(fā)射器口時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，小球砸到計(jì)時(shí)板時(shí)停止計(jì)時(shí)。

(4)測(cè)量小球落板位置與發(fā)射器口的距離。

(5)多次測(cè)量取平均值減小誤差。

(6)更改角度或檔位或小球質(zhì)量繼續(xù)測(cè)量。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格

在本實(shí)驗(yàn)中，我們以5度角為一組，每一組測(cè)量三次，并在每一組中，測(cè)量實(shí)際飛行距離和實(shí)際飛行時(shí)間，與理論飛行距離和理論飛行時(shí)間進(jìn)行比較。在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中存在實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤，如表2所示，灰色底紋的數(shù)據(jù)則為實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，有不同因素導(dǎo)致的如儀器問(wèn)題、計(jì)算問(wèn)題等。當(dāng)實(shí)驗(yàn)完成之后我們將計(jì)算數(shù)據(jù)平均值、測(cè)量平均值和理論平均值進(jìn)行比較，并得出結(jié)論。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)論

4 實(shí)驗(yàn)示意圖、實(shí)驗(yàn)受力圖及實(shí)驗(yàn)結(jié)論

根據(jù)實(shí)驗(yàn)示意圖和實(shí)驗(yàn)受力圖(如圖1)我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)發(fā)射器的發(fā)射檔位相同時(shí)，小球發(fā)射時(shí)的受力是一定的，在重力和空氣阻力的作用下，所得結(jié)論如下：

結(jié)論(1)：同一角度，不同質(zhì)量的小球飛行時(shí)間和飛行距離是不同的，根據(jù)理論分析和實(shí)際測(cè)量我們發(fā)現(xiàn)，塑料小球的射程是最遠(yuǎn)的3.613m，小鐵球+泡沫球的射程是最近的2.45m；塑料小球的飛行時(shí)間是最大的，平均值為0.692s，泡沫球+鐵球的飛行時(shí)間是最短的，平均值為0.581s。

結(jié)論(2)：在空氣阻力下，同一小球，同一發(fā)射高度(所有計(jì)算高度都為42.6cm)，不同角度。根據(jù)角度的不同，小球的射程和速度(如圖2)也有所不同，速度會(huì)隨著角度的增大逐漸減小，但射程不是。根據(jù)理論計(jì)算，在不計(jì)空氣阻力的作用下，45度角的速度和飛行路程是最大的(如圖4)，但由于空氣阻力的作用下，即45度角不是最遠(yuǎn)射程，而是要小于45度角。在實(shí)際測(cè)量中，在20度角時(shí)，飛行距離為188.95cm(如圖3)，飛行速度為4.213m/s；在25度角時(shí)，飛行距離為199.43cm，飛行速度為4.19m/s；在30度角時(shí)，飛行距離為207.4cm，飛行速度為4.17m/s；在35度角時(shí)，飛行距離為209.18cm，飛行速度為4.14m/s，在40度角時(shí)，飛行距離為211.32cm，飛行速度為4.12m/s；在42度角時(shí)，飛行距離為212.03cm，飛行速度為4.12m/s，在45度角時(shí)，飛行距離為208.03cm，飛行速度為4.10m/s，在50度角時(shí)，飛行距離為199.10cm，速度為4.09m/s。我們可以總結(jié)出，小球質(zhì)量與小球運(yùn)動(dòng)距離的關(guān)系是一個(gè)二次關(guān)系，呈拋物線(xiàn)，小球的速度則為一個(gè)一次函數(shù)，阻力系數(shù)k<0，根據(jù)理論分析和實(shí)際測(cè)量，理論可以證明實(shí)驗(yàn)。

結(jié)論(3)：在空氣阻力下，同一小球，同一角度，不同初速度。根據(jù)初速度的不同，空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響也不同，根據(jù)理論計(jì)算，計(jì)算每組實(shí)驗(yàn)的平均空氣阻力的值我們可以發(fā)現(xiàn)，速度越大的空氣阻力越大，當(dāng)阻力系數(shù)k決定為定值時(shí)(平均值)，可以根據(jù)f=-kv得出，速度v越大空氣阻力越大。在實(shí)驗(yàn)中，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球的速度為5.44m/s時(shí)(最大速度，如圖6)，飛行距離的測(cè)量值和理論值(如圖5)差為0.32m；當(dāng)球速在4.20m/s(如圖6)時(shí)，飛行距離的測(cè)量值和理論計(jì)算值(圖5)的差為0.16m；當(dāng)球速在3.21m/s時(shí)(如圖6)，飛行距離的測(cè)量值和理論計(jì)算值(如圖5)差為0.06m。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

根據(jù)實(shí)驗(yàn)，我們可以得出結(jié)論，當(dāng)球初速越大時(shí)，空氣阻力對(duì)小球射程的影響就越大，空氣阻力會(huì)隨著速度的增大而增大。因此，實(shí)驗(yàn)與理論相符。

圖7

如圖所示，圖7為研究在不同角度下，飛行距離的真實(shí)值和理論值之間的差距。

圖8

圖8為在研究不同初速度下，飛行距離的真實(shí)值與理論值的差距。

在實(shí)驗(yàn)中，空氣阻力計(jì)算方法如下，首先由基本公式得ft=mv，所以可以將距離s進(jìn)行微積分，得到速度v，然后通過(guò)已知的質(zhì)量m和作用力的持續(xù)時(shí)間t求出空氣阻力。

5 結(jié)論

(1)在空氣阻力作用下，同角度、同高度、同初速度、同體積不同質(zhì)量的小球質(zhì)量越大，空氣阻力越強(qiáng)。

(2)在空氣阻力的作用下，同發(fā)射高度，同一小球，不同角度會(huì)對(duì)小球的初速度和射程有影響，初速度隨著角度的增加而逐漸減小；在40～45度角之間會(huì)有最遠(yuǎn)射程。

(3)在空氣阻力的作用下，同發(fā)射角度，同一小球，同一高度，不同初速度，初速度越大，對(duì)球的空氣阻力越強(qiáng)，初速度越小，對(duì)球的空氣阻力越小。