如何解答概率問題

謝建兵

概率問題與現(xiàn)實生活息息相關(guān)，運用概 率知識可以幫助我們解決生活中的許多問 題.概率問題考查的內(nèi)容廣、形式活，是近幾 年各地中考的重點和必考點.下面結(jié)合典型 例題，對解答概率問題的幾種常用方法進(jìn)行 分析說明.

一、利用列表法求概率

利用列表法求概率，即在解答概率問題 時，結(jié)合題意，利用表格把事件所有等可能 的結(jié)果一一呈現(xiàn)出來，然后再運用概率公式 P（A）= m n（m表示事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)， n表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）求出目標(biāo)事件 的概率.一般來說，當(dāng)題目要求從若干元素中 抽取兩個元素，或?qū)⒛骋浑S機(jī)事件進(jìn)行兩次 時，常常利用列表法求概率.

例1 揚州是個好地方，有著豐富的旅游 資源.某天，甲、乙兩人來揚州旅游，他們分別 從A、B、C三個景點中隨機(jī)選擇一個景點進(jìn)行 游覽，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點 游覽的概率.

分析：本題是一道概率問題，考查簡單的 概率計算，求解時可以先利用表格，列出所有 等可能結(jié)果，再求出其概率.

解：

由所列表格可知，兩人選擇三處景點游 覽一共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人 中至少有一個選擇C景點共有5種等可能的 結(jié)果，所以甲、乙兩人中至少有一人選擇C景 點游覽的概率為 5 9 .

評注：列表法多適用于兩步完成的事件， 當(dāng)一次試驗要設(shè)計兩個因素，并且可能出現(xiàn) 的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有 可能的結(jié)果，通常采用列表法.

二、利用樹狀圖法求概率

利用樹狀圖法求概率，即根據(jù)題意，以樹 狀圖的形式展示事件所有等可能的結(jié)果，再 利用概率公式求出其概率值.通常而言，當(dāng)事 件涉及三個或更多元素，用列表法一一列舉 較為麻煩時，利用樹狀圖法求解，則可以化繁 為簡.

例2 如圖1，有4張分別印有Q版西游記 人物圖案的卡片：A 唐僧、B 孫悟空、C 豬八 戒、D沙悟凈，現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、 大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪 勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪 勻，再從中任意取出1張卡片，則兩次取出的 2 張卡片中至少有一張卡片圖案為“A 唐僧” 的概率為______.

分析：本題主要考查概率的計算，涉及 A、B、C、D 四個元素，若能把握題意，準(zhǔn)確畫 出其樹狀圖，則可以使問題輕松得解.

解：根據(jù)題意，可得如下樹狀圖：

從樹狀圖中不難看出，共有16種等可能 的結(jié)果，而其中至少一張卡片的圖案為“A唐 僧”的結(jié)果有7種，所以兩次取出的2張卡片 中至少有一張卡片的圖案為“A唐僧”的概率 為 7 16 .

評注：樹狀圖法與列表法一樣簡潔直觀， 常用于展示構(gòu)成項目較多的結(jié)構(gòu)關(guān)系.它既 適用于涉及兩個元素的事件，又適用于涉及 三個或以上元素的事件.

三、利用面積法求概率

利用面積法求概率，即當(dāng)一次試驗所涉 及的幾何圖形的面積為 S ，而事件 A 所涉及 的圖形面積為 S1 時，則事件 A 發(fā)生的概率 P（A）= S1 S .當(dāng)隨機(jī)事件的概率大小與幾何圖 形的面積有關(guān)時，往往利用面積法求解.

例3 小王將圖2所示的正方形 MNPQ 紙 板掛在墻上，并往該區(qū)域投擲飛鏢，已知點 O 是以 NP 為直徑的半圓與對角線 NQ 的交點， 如果小王投擲飛鏢一次，則飛鏢落在陰影部 分的概率為______.

分析：本題是一道與幾何圖形面積有關(guān) 的概率問題，求飛鏢落在陰影部分的概率，實 際上就是求陰影部分的面積與正方形總面積 的比值.

解：

評注：表示某種事件的面積越小，其概率 也就越小.計算有關(guān)面積問題的概率，首先應(yīng) 分析哪些事件的發(fā)生與哪部分面積有關(guān)，再 根據(jù)面積的計算方法求有關(guān)的比值.

總之，在學(xué)習(xí)概率知識時，同學(xué)們要注意 總結(jié)求解概率問題的常用方法，做到靈活遷 移和運用，從而使解題事半功倍.