彎曲變形課堂教學中兩個容易混淆的問題

李穎，姚宏，趙雪

（空軍工程大學基礎部，陜西西安 710051）

一、問題的提出

在材料力學的課程教學中，彎曲變形是四種基本變形中最復雜也最重要的基本變形。其中，用剪力方程和彎矩方程來畫剪力圖和彎矩圖是求彎曲內(nèi)力的常用方法之一。熟練掌握這種方法，對于求解彎曲變形、組合變形等問題非常有益。但筆者在聽一些年輕教員的講課以及翻閱《材料力學》《工程力學》教材后發(fā)現(xiàn)：在彎曲內(nèi)力這一內(nèi)容中，學生和教師經(jīng)常會犯一個共性錯誤，即“在寫剪力方程和彎矩方程時，自變量x的取值區(qū)間范圍如何正確書寫”。這樣一個問題混淆不清，存在很多錯誤，而且為數(shù)還不少。截至目前，尚未發(fā)現(xiàn)有哪本教材對上述問題進行詳細、深入的論述[1-7]。由于部分老師（尤其是年輕老師）并未對這個問題進行深入思考，因此，老師在授課當中只是寫出正確的剪力方程和彎矩方程、畫出正確的剪力圖和彎矩圖，至于區(qū)間范圍的書寫，老師會根據(jù)自己的理解去隨意書寫，并且可能不正確。問題雖不大，但老師忽略了數(shù)學教學的嚴謹性，沒有挖掘知識背后的東西，也會把這種隨意性灌輸給學生，導致學生對概念感到模糊。此外，在采用彎曲變形直接積分法時，撓曲線近似微分方程中也要用到彎矩方程，但教材并未提及正確書寫彎矩方程需要注意的問題，部分年輕教師也會出現(xiàn)認識上的錯誤。因此，筆者覺得有必要把這兩個細節(jié)問題論述一下。

二、問題的解決

首先，我們來闡述如何正確書寫剪力方程和彎矩方程的自變量x的取值區(qū)間范圍的問題，用以下兩個簡單的例題來說明。

例1 圖1（a）示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

以梁的左端為坐標原點，選取坐標系如圖1（a）所示。對于AC段，寫出它的剪力、彎矩方程：

圖1 簡支梁—集中力彎曲內(nèi)力圖

此時，x1的取值范圍是從0到a。而對于剪力方程，因為剪力只受集中力影響，不受集中力偶影響，A點和C點處分別作用有集中力FRA和F。因此，從數(shù)學意義上來理解這兩個點，它們是兩個間斷點，即左右極限存在但不連續(xù)，剪力都要發(fā)生突變，而不是只在C點發(fā)生突變，所以x1的取值范圍應是 0 ＜x1＜a，兩邊都不能寫等號。對于彎矩方程，因為彎矩只受集中力偶影響，不受集中力影響，A點和C點處的集中力FRA和F對彎矩沒有影響，所以這兩點都是連續(xù)點而不是間斷點，因此，x1的取值范圍應是0 ≤x1≤a。同理，對于CB段，寫出它的剪力、彎矩方程：

對于剪力方程，C點和B點都是間斷點，x2的取值范圍應是a＜x2＜ l。對于彎矩方程，C點和B點都是連續(xù)點，x2的取值范圍應是a≤x2≤ l。從根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出的剪力圖（圖1（b））和彎矩圖（圖1（c））中仔細觀察，也能夠看出這個連續(xù)和間斷的規(guī)律，從而加深對自變量區(qū)間范圍書寫的正確理解。

例2 圖2（a）示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

圖2 簡支梁—集中力偶彎曲內(nèi)力圖

以梁的左端為坐標原點，選取坐標系如圖2（a）所示。對于AC段，寫出它的剪力、彎矩方程：

此時，x1的取值范圍是從0到a。對于剪力方程，因為剪力只受集中力影響，不受集中力偶影響，A點處作用有集中力FRA，剪力要發(fā)生突變，因此是間斷點，C點處作用有集中力偶M，對剪力沒有影響，是連續(xù)點，所以x1的取值范圍應為0 ＜x1≤a。對于彎矩方程，因為彎矩只受集中力偶影響，不受集中力影響，A點處作用有集中力FRA，是連續(xù)點，C點處作用有集中力偶M，彎矩要發(fā)生突變，是間斷點，所以x1的取值范圍應為0 ≤x1＜a。同理，對于CB段，寫出它的剪力、彎矩方程：

對于剪力方程，C點處作用有集中力偶M，對剪力沒有影響，是連續(xù)點，B點處作用有集中力FRB，剪力要發(fā)生突變，是間斷點，所以x2的取值范圍應為a≤x2＜ l。對于彎矩方程，C點處作用有集中力偶M，彎矩要發(fā)生突變，是間斷點，B點處作用有集中力FRB，對彎矩沒有影響，是連續(xù)點，所以x2的取值范圍應為a＜x2≤ l。

同樣，從根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出的剪力圖（圖2（b））和彎矩圖中（圖2（c））中仔細觀察，也能夠看出這個連續(xù)和間斷的規(guī)律。

這里筆者還要進一步說明，以上兩例的坐標原點都在最左端A點，都是以x軸向右為正來分段列寫剪力、彎矩方程。如果AC段以A點為坐標原點，x軸向右為正，CB段以B點為坐標原點，x軸向左為正，這時寫彎曲內(nèi)力方程采用的是“左右開弓”的方法，列寫方程時可以簡便一些，如圖3所示。此時，自變量x區(qū)間范圍的書寫依然遵循上述規(guī)律。

圖3 列寫彎曲內(nèi)力方程分段圖

AC段

BC段

但是老師在畫圖時必須要注意分段時各段坐標原點的位置，注意按一一對應關(guān)系畫內(nèi)力圖。

需要特別注意的是，老師如果用直接積分法求彎曲變形，需分段寫出彎矩方程時，則不能用這種“左右開弓”求彎矩的方法（即x軸正向不能來回變動，而是必須始終保持一個方向），否則會造成轉(zhuǎn)角相差一個負號，如圖4所示，圖4（a）轉(zhuǎn)角θA為正值，圖4（b）轉(zhuǎn)角θA為負值。如果遇到分段列寫彎矩方程，“左右開弓”會引發(fā)計算結(jié)果錯誤，下面以例3來說明。

圖4 x 坐標軸正向取向圖

例3 圖5（a）示一等剛度外伸梁，解得其外伸端點的撓度等于零，但筆者從直觀上看這是不可能的。這個解題過程如下，試分析其問題出在哪里？[8]

圖5 列寫彎曲內(nèi)力方程分段圖

解：先根據(jù)平衡方程分別計算約束力FRA=0，F(xiàn)RB=2ql

AB段

BC段

由邊界條件x1=0，w1=0，得到D1=0。由x1=l，w1=0，得到。

由光滑連續(xù)條件x1=x2=l，θl=θ2，w1=w2，得到。

則x2=0，wc=0，但顯然C點的撓度不等于零。錯誤的原因就在于老師分段列寫彎矩方程時，采用“左右開弓”的方法會造成轉(zhuǎn)角相差一個負號，從而引發(fā)計算錯誤。因此，老師在計算時，x軸正向不能來回變動，而是必須始終保持一個方向。如圖5（b）所示，x軸始終向右為正，對于AB段，若取A點為坐標零點，x1向右為正，則對于BC段，可以將A點取為零點，x2必須向右為正才正確，也可以將B點取為零點，x2向右為正。反之，x軸始終向左為正，即從右往左分段取，則方法與上類同，筆者不再細述。

三、結(jié)束語

教學無小事。筆者從閱讀教材、日常教學中發(fā)現(xiàn)的兩個容易混淆的問題，提示我們對于教學內(nèi)容中的很多細節(jié)問題，我們不能只滿足于一知半解，要多問幾個為什么，做出深入思考，這是一種學習態(tài)度，更是一種職業(yè)責任。