考慮磁橋非線性的內(nèi)置式永磁同步電機(jī)空載電磁性能通用解析模型

李世奇 佟文明 賈建國(guó) 唐任遠(yuǎn)

考慮磁橋非線性的內(nèi)置式永磁同步電機(jī)空載電磁性能通用解析模型

李世奇 佟文明 賈建國(guó) 唐任遠(yuǎn)

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)國(guó)家稀土永磁電機(jī)工程技術(shù)研究中心 沈陽(yáng) 110870）

該文提出一種將子域法及等效磁路法相結(jié)合的新型解析模型，可在計(jì)及磁橋飽和的情況下，計(jì)算具有任意極槽配合的V型/U型/一字型內(nèi)置式永磁電機(jī)的空載電磁性能。建模時(shí)首先根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)將永磁體進(jìn)行等效，以便于各子域的建立；為了考慮轉(zhuǎn)子磁橋處的飽和，采用等效磁路法來(lái)計(jì)算磁橋處的磁導(dǎo)率，以便于相應(yīng)子域邊界條件方程的建立。電機(jī)無(wú)槽時(shí)的空載氣隙磁通密度分布可以通過(guò)求解各子域交界面處邊界條件方程組得到，然后通過(guò)保角映射的方法可考慮定子開(kāi)槽的影響。該文所提模型可用于計(jì)算內(nèi)置電機(jī)的空載氣隙磁通密度分布、反電動(dòng)勢(shì)及齒槽轉(zhuǎn)矩。將模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試及有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提出模型的有效性。與有限元法相比，該文所提模型具有建模速度快、耗時(shí)短，同時(shí)可達(dá)到近似精度的優(yōu)點(diǎn)，這為相關(guān)電機(jī)的初始設(shè)計(jì)及優(yōu)化帶來(lái)了方便。

內(nèi)置式永磁電機(jī) 子域法 等效磁路法 磁橋飽和

0 引言

相比于表貼式永磁電機(jī)，內(nèi)置式永磁電機(jī)（簡(jiǎn)稱內(nèi)置式電機(jī)）由于具有高功率密度、寬速度范圍和高磁阻轉(zhuǎn)矩等特點(diǎn)，被廣泛用于工業(yè)場(chǎng)合與智能家居[1-3]。電機(jī)精確的磁場(chǎng)計(jì)算是預(yù)測(cè)其電磁性能和判斷設(shè)計(jì)合理性的前提[4]。目前，計(jì)算永磁電機(jī)磁場(chǎng)的方法主要包括有限元法與解析法。有限元法可精確地預(yù)測(cè)出電機(jī)的磁場(chǎng)分布，但由于內(nèi)置式電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，加上計(jì)算時(shí)需要高精度的網(wǎng)格，這導(dǎo)致有限元法的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，不利于電機(jī)的初始設(shè)計(jì)[5-6]。解析法是快速準(zhǔn)確計(jì)算電機(jī)磁場(chǎng)分布的有效工具。已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了幾種預(yù)測(cè)永磁電機(jī)磁場(chǎng)分布的解析方法，例如，基于拉普拉斯-泊松方程的子域法[7-13]、基于磁通管理論的等效磁路法[14-20]，以及基于繞組函數(shù)理論的解析方法[21-22]等。

子域法是一種通過(guò)不同子域之間的邊界條件求解每個(gè)子域的場(chǎng)控制方程的方法。1993年，Zhu Zhiqiang教授在文獻(xiàn)[7-8]中首次提出了這種方法來(lái)計(jì)算表貼式永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布；基于該方法，文獻(xiàn)[9]中計(jì)算了軸向磁通永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布；考慮到內(nèi)置式電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)變化引起的邊界條件變化，參考文獻(xiàn)[10-13]中分別計(jì)算了表面嵌入式永磁電機(jī)、V型內(nèi)置式電機(jī)、U型內(nèi)置式電機(jī)以及切向式電機(jī)的空載氣隙磁場(chǎng)。

然而，上述文獻(xiàn)應(yīng)用子域法計(jì)算電機(jī)磁場(chǎng)時(shí)忽略了鐵心飽和的影響，這將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況間存在誤差，尤其是對(duì)于磁橋嚴(yán)重飽和的內(nèi)置式電機(jī)。為了考慮鐵心飽和的影響，一些學(xué)者采用等效磁路法來(lái)計(jì)算永磁電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。文獻(xiàn)[14-15]中采用三維等效磁路法分別計(jì)算了直線電機(jī)與軸向磁通電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。文獻(xiàn)[16-20]通過(guò)等效磁路對(duì)不同轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算。然而，等效磁路法的計(jì)算精度取決于劃分節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，節(jié)點(diǎn)過(guò)少會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度降低，節(jié)點(diǎn)過(guò)多會(huì)使計(jì)算更加復(fù)雜，增大計(jì)算時(shí)間。此外，由于定轉(zhuǎn)子相對(duì)位置的變化，氣隙中各節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系在不同時(shí)刻需要重新設(shè)置，這將導(dǎo)致計(jì)算進(jìn)一步復(fù)雜化。文獻(xiàn)[21-22]中將繞組函數(shù)與等效磁路法相結(jié)合，可在考慮鐵心飽和的情況下快速計(jì)算內(nèi)置式電機(jī)的電樞磁場(chǎng)分布，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，但該方法只能得到電機(jī)的徑向氣隙密度，無(wú)法計(jì)算切向氣隙磁通密度。

為了在內(nèi)置式電機(jī)磁場(chǎng)分布的計(jì)算精度與計(jì)算時(shí)間上達(dá)到一個(gè)平衡，參考文獻(xiàn)[23-25]提出了一種改進(jìn)的模型，可在考慮鐵心飽和的情況下預(yù)測(cè)切向式永磁電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。但是這種解析模型僅適用于切向式電機(jī)，由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的不同會(huì)使邊界條件方程發(fā)生變化，故該模型不適用于求解其他類型的內(nèi)置式電機(jī)氣隙磁通密度。

文獻(xiàn)[26-27]分別使用混合模型獲得了多層及V形內(nèi)置式電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。文獻(xiàn)[28]中提出一種將內(nèi)置式電機(jī)等效為表貼式電機(jī)的解析模型，可對(duì)切向式、一字型、V型內(nèi)置式電機(jī)的空載磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算。但是上述模型在計(jì)算過(guò)程中，無(wú)論磁橋尺寸為何，均認(rèn)為磁橋磁通密度為一恒定值，這會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)誤差。考慮到磁橋磁通密度隨其尺寸的變化，文獻(xiàn)[29]將V型內(nèi)置式電機(jī)分為兩種結(jié)構(gòu)，并將兩種結(jié)構(gòu)的磁場(chǎng)疊加得到了V型電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)，但合成磁場(chǎng)的諧波含量與有限元結(jié)果不同，使計(jì)算的空載性能產(chǎn)生誤差。

本文在文獻(xiàn)[29]中模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種結(jié)合子域法及等效磁路法的新型通用解析模型。該解析模型可在考慮磁橋非線性的情況下，直接計(jì)算具有任意極槽配合的V型/U型/一字型內(nèi)置式電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)，計(jì)算結(jié)果無(wú)需疊加，在保證模型通用性情況下進(jìn)一步提高計(jì)算精度。為便于子域的建立，文中將不同轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的電機(jī)進(jìn)行相應(yīng)的等效，這種等效為分析其他具有不規(guī)則永磁體排布結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式電機(jī)提供了思路；模型計(jì)算時(shí)通過(guò)局部等效磁路來(lái)計(jì)算磁橋處的磁導(dǎo)率，以便于相應(yīng)子域邊界條件方程的建立，進(jìn)而考慮磁橋非線性的影響。將所提模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試及有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了所提出模型的有效性。

1 建模假設(shè)及電機(jī)不同拓?fù)涞刃н^(guò)程

本文在建模時(shí)做出如下假設(shè)：

（1）忽略定子鐵心及轉(zhuǎn)子除磁橋外鐵心的飽和，僅考慮磁橋處的飽和，并認(rèn)為其飽和程度均勻。

（2）忽略端部效應(yīng)。

（3）電樞繞組開(kāi)路，電機(jī)磁場(chǎng)僅由永磁體激勵(lì)。

不同內(nèi)置式電機(jī)的拓?fù)浼捌涞刃ЫY(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，圖中將等效后的永磁體及空氣區(qū)域分為徑向結(jié)構(gòu)與切向結(jié)構(gòu)，并給出了轉(zhuǎn)子的主要尺寸參數(shù)。模型建立在rq坐標(biāo)系中，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡姍C(jī)旋轉(zhuǎn)的正方向。

圖1 不同永磁體結(jié)構(gòu)內(nèi)置式電機(jī)拓?fù)浼捌涞刃ЫY(jié)構(gòu)示意圖

本文將永磁體與轉(zhuǎn)子外徑間的磁橋稱為磁橋1，將相同極性永磁體間的磁橋稱為磁橋2。各拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在等效時(shí)保證永磁體的厚度及跨度角不變。根據(jù)總磁通不變?cè)恚瑢?duì)于V型電機(jī)可建立

進(jìn)而得到，V型拓?fù)渲衒表達(dá)式為

式中，m與m分別為永磁體的厚度與寬度；l為磁橋1內(nèi)半徑；1為永磁體與磁橋1間空氣寬度；2為永磁體與磁橋2間空氣寬度；為磁極跨度角；f為等效后切向結(jié)構(gòu)外半徑；x為等效后徑向結(jié)構(gòu)中永磁體的寬度；與1分別為等效后徑向及切向結(jié)構(gòu)跨度角；b2為磁橋2的寬度。

根據(jù)總磁通不變?cè)?，?duì)于U型電機(jī)有

進(jìn)而得到，U型拓?fù)渲衒表達(dá)式為

式中，m1與m2分別為U型電機(jī)等效前永磁體徑向及切向的寬度。

根據(jù)總磁通不變?cè)?，?duì)于一字型電機(jī)有

進(jìn)而得到，一字型拓?fù)渲衒表達(dá)式為

可以發(fā)現(xiàn)，圖1中各電機(jī)等效后的拓?fù)渚哂写艠蚪Y(jié)構(gòu)、徑向結(jié)構(gòu)（徑向永磁體或空氣區(qū)域）與切向結(jié)構(gòu)（切向永磁體或空氣區(qū)域），本文針對(duì)以上三種等效拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出一種通用解析模型，對(duì)電機(jī)的空載電磁性能進(jìn)行計(jì)算，模型建立時(shí)為便于各子域及其相應(yīng)邊界條件的建立，做出如下簡(jiǎn)化：電機(jī)徑向結(jié)構(gòu)均為永磁體，其寬度為l-f；切向分布結(jié)構(gòu)均為永磁體，其跨度角為1+2，忽略磁橋2的存在。所提出的通用解析計(jì)算模型如圖2所示（后文稱之為簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)），圖中，r為轉(zhuǎn)子鐵心外半徑，s為定子鐵心內(nèi)半徑，m為等效后切向結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑，為電機(jī)極對(duì)數(shù)，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ與Ⅳ分別代表模型中的不同子域，與Hq分別為不同子域處的矢量磁位與切向磁場(chǎng)強(qiáng)度（=1, 2, 3, 4），各子域間邊界條件將在后文給出，為磁橋飽和區(qū)域的跨度角[23]，有

圖2 所提出通用解析計(jì)算模型示意圖（簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)）

式中，b1與b1分別為磁橋1的長(zhǎng)度與寬度。

為了驗(yàn)證所提等效方法的有效性，本文通過(guò)有限元對(duì)電機(jī)原始結(jié)構(gòu)、等效結(jié)構(gòu)及等效后簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)（即所提出通用模型）的空載氣隙磁通密度進(jìn)行計(jì)算。由于V型電機(jī)結(jié)構(gòu)等效后與U型電機(jī)結(jié)構(gòu)相似，同時(shí)一字型電機(jī)結(jié)構(gòu)又可看成V型電機(jī)結(jié)構(gòu)永磁夾角為180 °時(shí)的特殊情況，故本文以具有代表性的V型電機(jī)結(jié)構(gòu)為例，通過(guò)有限元對(duì)所提出的等效方法進(jìn)行了驗(yàn)證，所計(jì)算出的不同情況下電機(jī)的空載氣隙磁通密度波形對(duì)比如圖3所示?？梢钥闯?，原始電機(jī)與等效后電機(jī)的空載氣隙磁通密度波形吻合較好，進(jìn)而證明了所提出等效方法的有效性。

圖3 不同情況下電機(jī)空載氣隙磁通密度波形對(duì)比

通過(guò)圖3結(jié)果還可以看出，相比于原始電機(jī)氣隙磁通密度波形，等效后簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的氣隙磁通密度形狀幾乎未發(fā)生變化，區(qū)別僅表現(xiàn)在幅值的不同。氣隙磁通密度形狀幾乎不變的原因是磁橋2的存在幾乎不影響永磁體磁通進(jìn)入氣隙的路徑，使得模型簡(jiǎn)化前后的氣隙磁通具有相似的分布規(guī)律，故氣隙磁通密度的形狀變化較??；氣隙磁通密度幅值發(fā)生變化的原因是由于模型簡(jiǎn)化后，永磁體的總量增多，使得總磁通增大，忽略磁橋2又會(huì)使漏磁減少，故使得計(jì)算出的氣隙磁通密度幅值增大。U型結(jié)構(gòu)電機(jī)與一字型結(jié)構(gòu)電機(jī)的氣隙磁通密度波形同樣具有上述分布規(guī)律。

基于上述分析可知，通過(guò)對(duì)圖2所示簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)建立子域模型，求解各子域矢量磁位可得到空載氣隙磁通密度分布，然后通過(guò)等效磁路法對(duì)計(jì)算結(jié)果幅值進(jìn)行修正，即可得到各原始電機(jī)的空載氣隙磁通密度分布，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程見(jiàn)下文。

2 解析模型的建立

2.1 解析建模

根據(jù)材料的不同特性，本文將圖2中建立的模型分為四個(gè)子域：氣隙（Ⅰ）、磁橋（Ⅱ）、徑向永磁體（Ⅲ）與切向永磁體（Ⅳ）?？紤]到模型對(duì)稱性，本文假設(shè)磁極中心處為=0，并對(duì)∈[0,p/2]內(nèi)的模型進(jìn)行解析，其中為電機(jī)極對(duì)數(shù)。電機(jī)各子域矢量磁位滿足

式中，為矢量磁位；0為真空磁導(dǎo)率；r與q分別為磁化強(qiáng)度的徑向及切向分量。對(duì)于氣隙子域與磁橋子域，磁化強(qiáng)度為零，故這兩個(gè)子域滿足

對(duì)于徑向永磁體子域，以圖2中S極為例，其滿足q=-rem/0，?q/?=?r/? =0，其中rem為永磁體剩磁；對(duì)于切向永磁體子域，其滿足q=0，?q/?=?r/?=0。故對(duì)于徑向與切向永磁體子域有

考慮到模型的周期性和對(duì)稱性，各子域的矢量磁位通解[12, 23-25]可表示為

（15）

式中，、、、分別為氣隙子域、磁橋子域、徑向永磁體子域及切向永磁體子域的諧波次數(shù)；1n、1n、02、02、2m、2m、03、03、3g、3g、4k及4k為各子域待定系數(shù)。

不同子域間交界面處，矢量磁位及切向磁場(chǎng)強(qiáng)度q是連續(xù)的。故在氣隙子域與磁橋子域交界面處，滿足如下邊界條件

在磁橋子域與徑向分布永磁體子域交界面處，滿足如下邊界條件

在徑向分布永磁體子域與切向分布永磁體子域交界面處，滿足如下邊界條件

另外，由于與磁導(dǎo)率無(wú)窮大的鐵心相鄰的子域切向磁場(chǎng)強(qiáng)度為零，可得到以下邊界條件

上述邊界條件在模型中的位置如圖2所示，由各邊界條件得到的包含待定系數(shù)的方程將會(huì)在附錄中給出，其中需要注意的是，方程中磁橋子域的磁導(dǎo)率未知，需要通過(guò)局部等效磁路法求得。

待求解的方程中磁橋磁導(dǎo)率應(yīng)與各原始電機(jī)磁橋1處的磁導(dǎo)率相同，為了計(jì)算該處磁導(dǎo)率，建立了如圖4a所示的電機(jī)通用等效磁路，圖中，m、as、b1、b2、g分別為永磁體等效內(nèi)磁導(dǎo)、轉(zhuǎn)子空氣區(qū)域磁導(dǎo)、磁橋1磁導(dǎo)、磁橋2磁導(dǎo)以及氣隙磁導(dǎo)；r為永磁體等效磁通源；m、as、b1、b2、以及g為各支路磁通，以上磁導(dǎo)及各支路磁通均可根據(jù)文獻(xiàn)[23, 30]中的公式及迭代法計(jì)算得到，進(jìn)而可計(jì)算出方程中所需的磁橋磁導(dǎo)率。

圖4 原始電機(jī)及簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)通用等效磁路

在求解方程組得到各子域待定系數(shù)后，可根據(jù)氣隙子域矢量磁位計(jì)算出電機(jī)徑向及切向氣隙磁通密度表達(dá)式為

為了考慮模型簡(jiǎn)化對(duì)空載氣隙磁通密度的影響，需要對(duì)式（21）、式（22）計(jì)算結(jié)果的幅值進(jìn)行修正，修正后的徑向及切向氣隙磁通密度為

其中

2.2 定子開(kāi)槽影響

本文采用保角映射的方法來(lái)考慮定子開(kāi)槽對(duì)氣隙磁通密度的影響。該方法的主要思想是通過(guò)幾種保角變換將實(shí)際開(kāi)槽的平面轉(zhuǎn)換為無(wú)槽平面，然后可通過(guò)計(jì)算出的復(fù)相對(duì)氣隙磁導(dǎo)表示開(kāi)槽的影響[31]?？紤]開(kāi)槽后的徑向及切向氣隙磁通密度分別為

式中，a與b分別為復(fù)相對(duì)氣隙磁導(dǎo)的實(shí)部與虛部。

2.3 空載電磁性能計(jì)算

根據(jù)磁鏈分布可以得到電機(jī)的空載反電動(dòng)勢(shì)為

其中

式中，為繞組磁鏈；為每相串聯(lián)匝數(shù)；為相繞組磁通；為相繞組區(qū)域的面積。

電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩可由麥克斯韋張量法計(jì)算得到

式中，a為鐵心疊壓長(zhǎng)度。

結(jié)合以上分析，圖5給出了本文所提通用解析模型計(jì)算流程。

圖5 內(nèi)置電機(jī)空載性能解析計(jì)算流程

3 解析計(jì)算結(jié)果及其驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出解析模型的有效性，本文通過(guò)解析法與有限元法分別對(duì)V型結(jié)構(gòu)、U型結(jié)構(gòu)與一字型結(jié)構(gòu)電機(jī)的空載電磁性能進(jìn)行了計(jì)算，并通過(guò)搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)一臺(tái)6極/36槽V型結(jié)構(gòu)電機(jī)與一臺(tái)4極/18槽一字型結(jié)構(gòu)電機(jī)空載性能進(jìn)行了測(cè)試。所計(jì)算電機(jī)的主要參數(shù)見(jiàn)表1，所測(cè)試樣機(jī)圖片如圖6、圖7所示。

表1 電機(jī)主要參數(shù)

Tab.1 Main parameters of the motors

圖6 V型結(jié)構(gòu)樣機(jī)圖片

圖7 一字型結(jié)構(gòu)樣機(jī)圖片

3.1 空載氣隙磁通密度對(duì)比

通過(guò)有限元計(jì)算出的V型結(jié)構(gòu)、U型結(jié)構(gòu)與一字型結(jié)構(gòu)電機(jī)空載磁通密度云圖如圖8所示。解析模型計(jì)算出的各結(jié)構(gòu)電機(jī)在氣隙中心處的空載氣隙磁通密度分布與有限元結(jié)果對(duì)比如圖9所示，可以看出，解析計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好，說(shuō)明了解析模型預(yù)測(cè)空載氣隙磁通密度的有效性。

圖8 電機(jī)空載磁通密度云圖

圖9 空載氣隙磁通密度波形對(duì)比

3.2 空載反電動(dòng)勢(shì)對(duì)比

通過(guò)解析模型及有限元對(duì)V型、U型與一字型電機(jī)在轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、4 500 r/min與15 000 r/min情況下的空載線反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖10所示，其中還包括相應(yīng)的諧波分析?？梢钥闯觯瑢?duì)于V型電機(jī)，有限元、解析及實(shí)驗(yàn)得到的反電動(dòng)勢(shì)基波幅值分別為85.5 V、86.2 V和84.8 V，相應(yīng)的波形畸變率分別為2.57 %、1.95 %及3.02 %；對(duì)于U型電機(jī)，有限元與解析得到的反電動(dòng)勢(shì)基波幅值分別為213.7 V和215.9 V，相應(yīng)的波形畸變率分別為4.98 %與4.7 %；對(duì)于一字型電機(jī)，有限元、解析及實(shí)驗(yàn)得到的反電動(dòng)勢(shì)基波幅值分別為318.7 V、325.3 V和320.4 V，相應(yīng)的波形畸變率分別為1.09 %、1.62 %及1.55 %?？梢钥闯?，所提模型可有效計(jì)算電機(jī)空載反電動(dòng)勢(shì)。

圖10 空載線反電動(dòng)勢(shì)波形及其諧波分析

3.3 齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

通過(guò)解析模型計(jì)算出了V型、U型與一字型電機(jī)在一個(gè)齒距下的齒槽轉(zhuǎn)矩波形，并將其與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示。可以看出，對(duì)于V型電機(jī)，有限元與解析得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分別為368 mN·m與403 mN·m，計(jì)算誤差為9.5 %；對(duì)于U型電機(jī)，有限元與解析得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分別為609 mN·m與584 mN·m，計(jì)算誤差為4.1 %；對(duì)于一字型電機(jī)，有限元與解析得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值分別為57 mN·m與51 mN·m，計(jì)算誤差為10.5 %?？梢钥闯觯馕鲇?jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好，計(jì)算誤差均在工程允許范圍內(nèi)。

圖11 齒槽轉(zhuǎn)矩結(jié)果對(duì)比

3.4 模型適用條件與計(jì)算時(shí)間

在利用有限元計(jì)算電機(jī)性能時(shí)，需要求解mesh×mesh的非線性矩陣，其中mesh是有限元中的節(jié)點(diǎn)數(shù)，這意味著有限元的計(jì)算時(shí)間主要取決于網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)量。對(duì)于本文提出的解析模型，求解等效磁路以考慮磁橋飽和時(shí)僅需計(jì)算一個(gè)m×m的非線性矩陣，其中m為圖4中等效磁路的節(jié)點(diǎn)數(shù)，其值遠(yuǎn)小于mesh；除此之外的計(jì)算時(shí)間可以忽略不計(jì)，因?yàn)楦戒浿械姆匠叹蔷€性的。故相比于有限元法，本文所提模型在計(jì)算時(shí)間上具有顯著優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文提出一種將子域法及等效磁路法相結(jié)合的通用解析模型，可在計(jì)及磁橋飽和的情況下，計(jì)算具有任意極槽配合的V型/U型/一字型內(nèi)置式永磁電機(jī)空載電磁性能。為便于模型建立，提出了一種轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)等效方法，這種等效為分析其他具有不規(guī)則永磁體排布結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式電機(jī)提供了思路。

通過(guò)解析模型計(jì)算出的空載氣隙磁通密度、線反電動(dòng)勢(shì)及齒槽轉(zhuǎn)矩結(jié)果與有限元和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果吻合較好。解析模型計(jì)算出的線反電動(dòng)勢(shì)幅值及其畸變率與有限元和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果間的誤差均在3 %以內(nèi)；解析計(jì)算出的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值與有限元結(jié)果間的誤差在10 %以內(nèi)，滿足工程需求。與有限元法相比，本文所提解析模型可在保證計(jì)算精度的前提下，實(shí)現(xiàn)V型/U型/一字型內(nèi)置永磁電機(jī)空載性能的快速計(jì)算，這為相關(guān)類型電機(jī)的初始設(shè)計(jì)及優(yōu)化帶來(lái)了方便。

附 錄

根據(jù)式（17），可得到如下方程

式中，rb為磁橋的相對(duì)磁導(dǎo)率，且

當(dāng)≠2p/時(shí)

當(dāng)=2p/時(shí)

根據(jù)式（18），可得到如下方程

式中，rm為永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率，且

當(dāng)≠時(shí)

當(dāng)=時(shí)

根據(jù)式（19），可得到如下方程

其中

當(dāng)2(12)≠(2+1)時(shí)

當(dāng)2(12)=(2+1)時(shí)

根據(jù)式（20），可得到如下方程

將式（A1）～式（A3）、式（A7）～式（A10）、（A14）～式（A16）、式（A20）、式（A21）聯(lián)立方程組，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件取有限階次，建立矩陣對(duì)系數(shù)進(jìn)行求解。

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General Analytical Model of No-Load Electromagnetic Performance of Interior Permanent Magnet Synchronous Motors Considering Nonlinearity of Magnetic Bridges

（National Engineering Research Center for Rare-Earth Permanent Magnet Machines Shenyang University of Technology Shenyang 110870 China）

Interior permanent magnet (IPM) motors, due to the high power/torque density and wide speed range, are widely used in industrial applications and smart homes. Considerable computation time is one of the major issues faced by designers due to the changeable rotor configurations. The finite element analysis (FEA) is widely used in motor design due to its ability to consider saturation and complex geometries. However, the need for high-precision mesh is time-consuming. The analytical method has acceptable accuracy and fast calculation, which is regarded as an effective tool by designers. However, the existing analytical models are not universal. Therefore, this paper proposes a novel general analytical model to predict the no-load performance of IPM motors with different topologies.

Firstly, the magnets with different topologies are equivalent according to the principle that the total flux produced by the magnets is constant, facilitating the establishment of subdomains. Secondly, based on the boundary conditions between different subdomains, the field governing equations can be obtained to solve the undetermined coefficients. Thirdly, the magnetic equivalent circuit (MEC) method is employed to obtain the permeability of magnetic bridges to consider the effect of saturation and improve the calculation accuracy. Finally, the influence of slotting is considered based on the conformal mapping method to obtain the air-gap magnetic field of slotted motors. The proposed general model is suitable for V-shape, U-shape, and straight-shape IPM motors with any slot-pole combination. The computation time is greatly shortened compared with FEA because the equations to be solved are linear.

The calculated no-load air-gap flux density waveforms, back electromotive force (EMF), and cogging torque by the proposed model are in good agreement with those of FEA results. For the V-shape motor, the fundamental amplitudes of back EMF obtained by FEA, analytical model and experiment are 85.5 V, 86.2 V, and 84.8 V, respectively; the corresponding total harmonic distortions (THDs) are 2.57 %, 1.95 %, and 3.02 %, respectively. For the U-shape motor, the fundamental amplitudes of back EMF obtained by FEA and analytical model are 213.7 V and 215.9 V, respectively; the THDs are 4.98 % and 4.7 %, respectively. For the straight-shape motor, the fundamental amplitudes of back EMF obtained by FEA, analytical model and experiment are 318.7 V, 325.3 V, and 320.4 V, respectively; the THDs are 1.09 %, 1.62 %, and 1.55 %, respectively. The amplitudes of cogging torque for the V-shape motor calculated by FEA and analytical model are 368 mN·m and 403 mN·m, the calculation error is 9.5 %. The amplitudes of cogging torque for the U-shape motor are 609 mN·m and 584 mN·m, and the calculation error is 4.1 %. The amplitudes of cogging torque for the straight-shape motor are 57 mN·m and 51 mN·m, the calculation error is 10.5 %. The above results show that the model can effectively calculate the no-load performance of IPM motors with different rotor structures.

The following conclusions can be drawn from the above analysis: (1) Compared with FEA, the proposed general model can significantly reduce the computational cost since the calculation is based on linear equations rather than numerical iteration. (2) The proposed model has higher precision, and the errors between calculated and FEA results are within the allowable range of the engineering. (3) The proposed magnet equivalence method provides ideas for the analytical derivation of other types of IPM motors with irregular magnets arrangement, which brings convenience to the design and optimization of related types of motors.

Interior permanent magnet synchronous motors, subdomain method, magnetic equivalent circuit, magnetic bridge saturation

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220486

TM351

遼寧省“興遼英才計(jì)劃”（XLYC2007107）和遼寧省百千萬(wàn)人才工程資助項(xiàng)目。

2022-04-02

2022-05-12

李世奇 男，1998年生，博士研究生，研究方向?yàn)榉蔷Ш辖鸶咚儆来烹姍C(jī)設(shè)計(jì)及多物理場(chǎng)分析。E-mail: 18840659110@163.com

佟文明 男，1984年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樘胤N電機(jī)及其控制與電機(jī)多物理場(chǎng)仿真分析。E-mail: twm822@126.com（通信作者）

（編輯 崔文靜）