淺談乘法分配律中深度學習的教學策略

楊叔儼

乘法分配律復雜、困難卻運用廣泛。學生學習零散、孤立，就題教題、機械套用知識，脫離真實世界，歸納總結不充分的淺表學習，導致公式、概念熟記，基本題型掌握，但是稍加變式便無從下手。在“以學定教，學為中心”理念的指導下，我們要改變現狀，促成深度學習的發(fā)生。從學習的過程和結果分析，“深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將己有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習?！?但深度學習不是偶然發(fā)生的，教學的引導很關鍵。筆者將就實踐中若干促進深度學習的教學策略進行探討。

一、系統(tǒng)研讀教材，做好整體教學

運算定律單元編排在人教版四年級，簡便計算題型隨之出現。學生容易誤解乘法分配律是剛學并且只用在簡便計算中。這種認知偏差，不利于乘法分配律的學習，甚至影響學生乘法豎式算理的掌握和簡算意識的培養(yǎng)。布魯納強調知識的整體性，任何學科的知識都是充滿關系的有機整體。它要求我們在平時的細節(jié)教學中，不僅要了解內容本身的規(guī)定和含義，還要求以整體觀念為指導，瞻前顧后。

乘法是把幾個相同加數合并。乘法分配律和乘法結合律是把乘法再拆分，是隨著乘法出現的，體現了數學對簡便的追求。二年級學習乘法時就可以滲透。如：6×8=48可以看成是5×8+1×8=48，6×7+6×1=48，3×2×8=48，6×4×2=48等等。不同拆法可以溝通不同口訣之間的聯系，驗證口訣，拓展思維。乘法分配律在解決復雜問題的時候更能體現出優(yōu)勢，因此可以用表外乘法舉例，比如12個6相加，為了簡便就合并寫成了6×12。因為6×12沒有口訣并且不太好算，所以把6×12進行了再拆分?？梢圆鸱殖?×4+6×4+6×4，6×6+6×6，6×9+6×3，6×10+6×2等乘加混合的方式，實際運用了乘法分配律。前兩種是均等拆分，每份的數量都一樣，因此還可以寫成（6×4）×3及（6×6）×2的連乘方式，實際運用了乘法結合律。教學時搭配點子圖讓學生進行合并和拆分，使得思考過程更加直觀，符合學生思維的階段性特點。二年級的學習任務是讓學生初步體會到乘法是合并，乘加混合和連乘是再拆分。經過了再拆分，使得表外乘法也可以運用口訣進行計算，甚至可以使得一些計算變得更加簡便。

三年級乘法豎式的原理相同，回顧二年級內容再出示例題：14×12=？方法的一致性為學生指明了自主探究的方向，降低了遷移的難度，加深了學生的理解。如：（1）14×10+14×2（2）10×12+4×12（3）14×4×3（4）14×2×6等其中（1）、（2）的方法是兩位數乘法的原理，也是乘法分配律的重要應用。因為橫式是算理，先理解橫式的書寫，然后才是算法，即豎式的書寫。增加一組數字如13×11，讓學生進行點子圖的操作和對比，再歸納總結。三年級的學習任務是引導學生發(fā)現拆分要根據數字的特點，雙數才可以均等拆分，任意數都可以進行非均等拆。非均等拆分更具一般性，因此豎式依托乘法分配律逐位相乘再相加成為必然，這也是三年級乘法豎式的算理根源和數學思想。

經過鋪墊，四年級的乘法分配律教學就可以讓學生沿用一致性進行遷移，此時不能僅停留在乘法分配律的概念和機械練習，要進一步總結、深化，引導學生將知識通過導圖進行串聯。四年級的學習任務是理解乘法的再拆分中，乘加混合的一類稱為乘法分配律，連乘的一類稱為乘法結合律。等分和不等分都可以寫成乘法分配律，其中等分的情況還可以寫成乘法結合律（見圖1）。從這點來說，乘法分配律包含了乘法結合律。這樣不僅深化了學生對知識的整體理解，還把容易混肴的知識進行了區(qū)別和聯系。五、六年級學習的乘法分配律只是數的范圍擴大了，計算的原理無異，可以讓學生嘗試自主進行方法的遷移。

教學一致性的保持，使得學生把乘法分配律和乘法結合律融入到乘法的學習當中，從整體視角，抓住核心，建立結構，利用遷移，學會聯系地思考問題，舉一反三，觸類旁通，實現深度學習，促進思維可持續(xù)發(fā)展。減負提質增效，落實核心素養(yǎng)。

二、借助問題情境，理解定律本質

數學的抽象性和小學生思維的直觀性存在矛盾。生活化的問題解決，可以調用學生的經驗和積極情感。有現實背景和數量關系支撐，能幫助學生更直觀地理解定律本質。

例一：A學校有40名同學參加運動會，需要統(tǒng)一服裝。上衣一件46元，褲子一條54元，一共需要多少錢？可以分別算出40件上衣和40條褲子的總價，再相加。即：46×40+54×40=1840+2160=4000?；蛳人愠鰡蝺r和（成套價），再乘數量。即：（46+54）×40=4000。結論：46×40+54×40=（46+54）×40。

例二：A學校有17名女生和23名男生參加運動會，每名同學車費25元，車費一共多少錢？分別算出男女生的車費，再相加。即：25×17+25×23=1000?；蛳人愠鋈藬岛?，再乘單價。即：25×（17+23）=1000。結論：25×17+25×23=25×（17+23）。

以上兩道題都可以用乘法分配律先合并后計算。區(qū)別是具體情境中單價（每份數）相等時，可以先求份數和再求總價；份數相同時，可以先求單價和（成套價）再求總價。抽象的定律有了現實背景的支撐更容易理解。借由學生最為熟悉的單價、數量、總價的數量關系，推廣到每份數、份數、總數的數量關系，就可以涵蓋大部分的解決問題使用乘法分配律的情況。

例三：B學校參加運動會的同學有102人，每位同學餐飲費45元，一共要花多少錢？這道題是乘法分配律的逆用，屬于易錯題，容易寫成：45×102=45×（100+2）=45×100+2。結合情境再與例二對比可知，單價相同時，計算總價可以根據需要把數量合并（或拆分），使計算簡便。即：45×102=45×（100+2）=45×100+45×2=4500+90=4590（元）。

日常教學中更多的是學生根據問題情境，抽象出數量關系，列出算式，通過計算算出得數，從而解決問題，也就是說我們的學生經歷了太多從形象的情境到符號的提煉活動。根據計算題編應用題，恰恰采用了相反的策略，即從抽象的符號與算式，到具體的問題情境，豐富了計算的內涵，賦予了計算現實的意義。

例四：25×44=？①25×40+25×4：書包一個25元，第一次買了40個，后來又買了4個，一共需要多少錢？②25×40+4：書包一個25元，買了40個，后來包裝又花了4元。一共需要多少錢？③25×40×4：書包一個25元，一個班級40人，給4個班級買書包一共需要多少錢？④25×4×11：書包一個25元，一個小組4人，買11個小組一共需要多少錢？

通過編題可以讓學生把乘法分配律的模型和生活問題聯系起來，幫助學生理解并檢驗運算律。對易錯題進行題組編制，暴露由簡單模仿造成的錯誤，培養(yǎng)學生批判性思維，促進深度學習，理解運算定律的本質。

三、系統(tǒng)歸納總結，形成知識網絡

簡便計算貫穿始終，運算規(guī)律紛繁復雜，學生經常把乘法結合律和乘法分配律混肴（見上文例四）。學生學會梳理知識，建立起知識之間的聯系，能透過復雜事物的表象抓住其規(guī)律和實質，是學生解決綜合性問題的基礎，也是初步建立小學生系統(tǒng)新思維，培養(yǎng)思維深刻性的關鍵。

梳理角度和方式的不同，可以幫助學生更全面、深刻地理解知識，可以適配學生的個性化需求。簡便計算實際是一種思想，方法多樣，歸納可以提高學生簡算意識。減去一個數，等于加上這個數的相反數，減法都可以轉化成加法，乘除同理。學生雖然還沒有學，但是通過合情推理可知同級運算中，數可以帶著前面的符號改變順序，可以用“同級運算交換律”來概括加法交換律、乘法交換律，“帶符號搬家”等運算律。同樣可以用“同級結合律”來概括加法結合律、乘法結合律、減法性質、除法性質等，這些運算律都是屬于同級運算，并且都有添、去括號，逆運算符號后面添、去括號需要變號。分類后，運算定律從原來的5個歸納為3個，并且涵蓋了一些運算規(guī)律。從符號角度很容易區(qū)分乘法分配律和其他運算律，因為乘法分配律是唯一跨級的運算定律。知識的串聯，減少了知識的冗余和記憶的負擔；自主建構，促進了學生的思辨，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，指向了深度學習。

深度教學關注結構，重串聯；關注探究，重思辨；關注體驗，重遷移。深度教學是引導學生深度學習的教學，不是追求深和難的教學，是追求一致性和系統(tǒng)性、生活化和個性化、“減負”和創(chuàng)新的教學方式。