多策略融合的改進(jìn)黏菌算法

邱仲睿，苗 虹，曾成碧

（四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 610065）

0 引言

群智能算法是一種模擬自然界中生物群體（如蟻群、獸群、鳥群、蜂群等）集體行為的元啟發(fā)式算法。這些群體在行為過程中互相交互、共享信息，通過學(xué)習(xí)彼此的經(jīng)驗(yàn)來尋找最優(yōu)的解決方案［1-3］。相較于其他優(yōu)化方法，群智能算法實(shí)現(xiàn)較為簡單，而且優(yōu)化效率高。常見的群智能算法有粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）［4］、灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimization，GWO）［5］、黏菌算 法（Slime Mould Algorithm，SMA）［6］等。

SMA 是Li等［6］于2020 年提出的一種新型群智能算法，模擬了黏菌在尋找食物過程中形態(tài)和行為的變化。SMA 的權(quán)重系數(shù)模擬了黏菌在遇到不同濃度的食物時(shí)的生物振蕩器產(chǎn)生的正負(fù)反饋：當(dāng)找到高質(zhì)量食物時(shí)，黏菌會(huì)快速靠近；當(dāng)食物濃度較低時(shí)，黏菌會(huì)緩慢地向它靠近，從而以更高的效率接近最佳的食物源。SMA 代碼結(jié)構(gòu)簡單、可擴(kuò)展性強(qiáng)，并且在函數(shù)優(yōu)化和工程設(shè)計(jì)問題上表現(xiàn)出色，目前已被成功應(yīng)用于圖像分割［7］、蛋白質(zhì)序列比對［8］、機(jī)器人路徑規(guī)劃［9］、軸承缺陷識(shí)別［10］等領(lǐng)域。

然而，標(biāo)準(zhǔn)SMA 的尋優(yōu)機(jī)制比較簡單，它在優(yōu)化高維復(fù)雜函數(shù)和最優(yōu)解不在原點(diǎn)的函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)優(yōu)化結(jié)果不穩(wěn)定、收斂速度慢以及陷入局部最優(yōu)等問題。針對以上問題，學(xué)者們提出了多種改進(jìn)方法。Naik等［11］將平衡優(yōu)化器（Equilibrium Optimizer，EO）中的平衡池機(jī)制集成于SMA 的搜索模式中，提出一種平衡黏菌算法（Equilibrium Slime Mould Algorithm，ESMA），提高了SMA 的可搜索性；Houssein等［12］將自適應(yīng)引導(dǎo)差分進(jìn)化（Adaptive Guided Differential Evolution，AGDE）算法融入標(biāo)準(zhǔn)SMA，采用AGDE 突變的方式增強(qiáng)種群的局部搜索能力，提高了種群的多樣性，并避免SMA 過早收斂；郭雨鑫等［13］提出的改進(jìn)SMA 通過引入精英反向?qū)W習(xí)提高種群的質(zhì)量，并利用二次插值方法計(jì)算下一代黏菌個(gè)體的位置，提升了算法的收斂精度；Yu等［14］在SMA 的基礎(chǔ)上集成了量子旋轉(zhuǎn)門（Quantum Rotation Gate，QRG）和水循環(huán)（Water Cycle，WC）兩種機(jī)制，使算法在探索和開發(fā)之間保持平衡，增強(qiáng)了SMA 的局部搜索能力與魯棒性；Houssein等［15］將改進(jìn)的對立學(xué)習(xí)（Modified Opposition-Based Learning，MOBL）和正交學(xué)習(xí)（Orthogonal Learning，OL）策略融入標(biāo)準(zhǔn)SMA，提高了算法的求解精度，避免了算法長時(shí)間停留在局部最優(yōu)值上。

以上改進(jìn)不同程度地提升了標(biāo)準(zhǔn)SMA 的優(yōu)化性能，但這些方法大多是不同策略或不同算法與SMA 的簡單融合，并未深入改進(jìn)SMA 的位置更新公式，SMA 在求解最優(yōu)解不在原點(diǎn)的函數(shù)時(shí)仍存在后期收斂速度慢、優(yōu)化結(jié)果與最優(yōu)解偏差大的問題。因此，本文提出一種多策略融合的改進(jìn)黏菌算 法（Improved Slime Mould Algorithm with Multi-Strategy fusion，MSISMA）。針對SMA 求解精度低和易陷入局部最優(yōu)的問題，引入布朗運(yùn)動(dòng)和萊維飛行策略，提升算法的搜索能力和跳出局部最優(yōu)解的能力；改進(jìn)黏菌的位置更新公式，將SMA 單一的位置更新機(jī)制改進(jìn)為根據(jù)算法進(jìn)行的階段而變化的模式，以改善算法在探索和開發(fā)之間的過渡能力，提高算法的收斂速度和尋優(yōu)精度；引入?yún)^(qū)間自適應(yīng)反向?qū)W習(xí)策略，優(yōu)化種群質(zhì)量，提高收斂速度；加入收斂停滯監(jiān)測策略，即時(shí)判斷算法是否陷入收斂停滯，并對陷入停滯狀態(tài)的個(gè)體進(jìn)行位置初始化，幫助算法擺脫收斂停滯狀態(tài)。為驗(yàn)證MSISMA 的有效性，選用了23 個(gè)測試函數(shù)，將MSISMA 與幾種改進(jìn)的SMA、標(biāo)準(zhǔn)SMA 以及幾種最新的性能優(yōu)越的群智能算法進(jìn)行比較，同時(shí)使用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)方法驗(yàn)證MSISMA 的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MSISMA 在收斂速度和求解精度上有較大的優(yōu)勢。

1 標(biāo)準(zhǔn)黏菌算法

黏菌算法模擬了多頭絨泡菌在覓食階段尋找食物、包圍食物的過程。黏菌的前端呈扇形，后面是相互連接的靜脈網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)靜脈接近食物時(shí)，黏菌的生物振蕩器會(huì)產(chǎn)生擴(kuò)散波來改變靜脈中細(xì)胞質(zhì)的流動(dòng)，使黏菌向更好的食物移動(dòng)。黏菌在接近食物階段的位置更新公式為：

其中：Xb(t)為個(gè)體目前發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)解的位置；vb是范圍為［-a，a］的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；W是黏菌的權(quán)重系數(shù)；XA(t)和XB(t)為從黏菌中隨機(jī)選取的兩個(gè)個(gè)體的位置；vc是從1 到0 遞減的參數(shù)；r為[0，1]的隨機(jī)數(shù)；p為決定黏菌位置更新方式的參數(shù)。p可以用以下公式表示：

其中：S(i)為第i={1，2，…，N}個(gè)黏菌個(gè)體的適應(yīng)度；FD為當(dāng)前迭代下黏菌的最佳適應(yīng)度。

a值的更新公式如下：

其中：t為當(dāng)前迭代的次數(shù)；tmax表示最大迭代次數(shù)。

權(quán)重系數(shù)W模擬了黏菌在遇到不同濃度的食物時(shí)生物振蕩器的振蕩頻率的變化：

其中：r為[0，1]的隨機(jī)數(shù)；Fb和Fw為當(dāng)前迭代過程中的最佳適應(yīng)度和最差適應(yīng)度；SmellIndex表示個(gè)體適應(yīng)度S按升序排列（在最大值問題中按降序排列）后的個(gè)體位置索引。

黏菌在尋找食物的過程中也會(huì)分割一部分個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)探索。綜合上述理論，黏菌的位置更新公式為：

其中：BU和BL是搜索范圍的上限和下限；rand和r為[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；z是決定隨機(jī)分布的黏菌個(gè)體占黏菌總體的比例的參數(shù)，z=0.03。

2 多策略融合的改進(jìn)黏菌算法

SMA 是一個(gè)簡單有效的算法，有一定的尋優(yōu)能力，但仍有幾點(diǎn)不足：

1）從黏菌位置更新機(jī)制來看，在標(biāo)準(zhǔn)SMA 中，黏菌位置的更新規(guī)則由r、p、z三者的大小關(guān)系決定。當(dāng)r＜p時(shí)，黏菌的位置更新由當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的位置和兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的位置決定，此時(shí)黏菌表現(xiàn)為在當(dāng)前最佳位置附近隨機(jī)探索。這增強(qiáng)了SMA 前期的全局搜索能力，但無目的的隨機(jī)探索也會(huì)使SMA 的前期收斂速度變慢。隨著迭代次數(shù)增加，黏菌種群會(huì)向當(dāng)前最佳位置靠攏，使SMA 在求解具有多個(gè)局部最優(yōu)值的函數(shù)時(shí)極易陷入局部最優(yōu)。當(dāng)r≥p時(shí)，黏菌的位置更新由收斂因子vc和黏菌個(gè)體的自身位置決定。隨著迭代次數(shù)增加，vc從1 線性收斂到0，使黏菌種群的位置向原點(diǎn)方向收斂。這種位置更新方式不利于最優(yōu)解不在原點(diǎn)的函數(shù)的優(yōu)化，在優(yōu)化這類函數(shù)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)SMA 的求解精度較差。

2）SMA的z參數(shù)是一個(gè)很小的常數(shù)，隨機(jī)分布的黏菌個(gè)體占總個(gè)體的比例很小，SMA 在陷入局部最優(yōu)時(shí)缺乏有效的跳出局部最優(yōu)的機(jī)制。

3）SMA 的尋優(yōu)機(jī)制較簡單，在平衡算法的探索和開發(fā)能力上還有較大的提升空間。

針對以上問題，本文提出了多策略融合的改進(jìn)黏菌算法（MSISMA），在以下方面作出改進(jìn)：1）引用布朗運(yùn)動(dòng)和萊維飛行機(jī)制，增加黏菌個(gè)體分布的多樣性，增強(qiáng)黏菌在局部區(qū)域探索的能力；2）改進(jìn)黏菌的位置更新策略，使算法在不同階段采用不同的位置更新公式，平衡算法在探索和開發(fā)之間的過渡能力；3）采用區(qū)間自適應(yīng)的反向?qū)W習(xí)策略，增加黏菌分布的多樣性，優(yōu)化黏菌個(gè)體的質(zhì)量；4）引入收斂停滯監(jiān)測策略，動(dòng)態(tài)監(jiān)測算法是否陷入收斂停滯，當(dāng)監(jiān)測到算法處于停滯狀態(tài)時(shí)，該策略會(huì)對部分個(gè)體的位置重新初始化，避免算法長時(shí)間處于收斂停滯狀態(tài)。

2.1 布朗運(yùn)動(dòng)與萊維飛行

2.1.1 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)

布朗運(yùn)動(dòng)是一種無規(guī)則的隨機(jī)游走過程，已被研究者們廣泛用于群智能算法的設(shè)計(jì)及改進(jìn)，以提升算法的搜索性能。沙林秀等［16］提出一種基于布朗運(yùn)動(dòng)與梯度信息的交替優(yōu)化算法（Alternately Optimizing Algorithm based on Brownianmovement and Gradient-information，AOABG），在算法全局搜索階段加入布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制，使種群以最優(yōu)個(gè)體的位置為中心作布朗運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力。湯安迪等［17］在麻雀搜索算法的基礎(chǔ)上引入布朗運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)了算法的全局探索能力，并有助于算法脫離局部最優(yōu)狀態(tài)。在標(biāo)準(zhǔn)SMA 的前期迭代過程中，黏菌個(gè)體容易快速向當(dāng)前種群的最佳位置靠近，導(dǎo)致算法的全局探索能力較差，難以找到全局最優(yōu)解。本文將標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)引入MSISMA 迭代前期的位置更新公式中，增加黏菌個(gè)體的位置的多樣性，從而提高算法的全局探索能力。

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的步長由均值為0（μ=0）、方差為1（σ2=1）的正態(tài)分布概率密度函數(shù)決定：

引入布朗運(yùn)動(dòng)后的黏菌位置更新公式為：

其中：XC(t)為在適應(yīng)度排序?yàn)榍癗/3 的個(gè)體中隨機(jī)選取的個(gè)體的位置；α為步長控制因子；RB為布朗運(yùn)動(dòng)步長。由式（8）可知，在黏菌的基本位置更新公式上加入布朗運(yùn)動(dòng)，可增強(qiáng)黏菌個(gè)體的搜索軌跡的隨機(jī)性，進(jìn)而增強(qiáng)算法的搜索能力。

2.1.2 萊維飛行

在標(biāo)準(zhǔn)SMA 中，隨著算法進(jìn)入迭代后期，黏菌個(gè)體的位置分布趨于集中，SMA 容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致收斂停滯。萊維飛行是一種步長服從萊維分布的隨機(jī)游走，它的運(yùn)動(dòng)方式既有小范圍的游走，也有大距離的跨越。萊維飛行已被廣泛用于優(yōu)化算法領(lǐng)域，例如帝王蝶優(yōu)化（Monarch Butterfly Optimization，MBO）［18］和哈里 斯鷹優(yōu)化器（Harris Hawks Optimizer，HHO）［19］都在種群位置更新公式上引入萊維飛行機(jī)制，有效地提升了算法的尋優(yōu)效果。Mantegna［20］于1994年提出了一種生成萊維分布隨機(jī)數(shù)的算法，萊維飛行步長s的計(jì)算方式如下：

u和v服從均值為0、方差分別為σu、σv的正態(tài)分布：

其中：β取值為1.5。

本文使用文獻(xiàn)［20］中的算法模擬萊維飛行，并將萊維飛行引入MSISMA 迭代后期的位置更新公式中，使黏菌個(gè)體保持它的位置的活躍性，增加黏菌個(gè)體跳出局部極值的概率，從而有效改善標(biāo)準(zhǔn)SMA 在迭代后期易陷入局部最優(yōu)的缺陷。改進(jìn)后的黏菌位置更新公式表示如下：

其中：X(t)為t次迭代時(shí)黏菌的位置；δ為步長控制因子；RL為萊維飛行步長。

2.2 黏菌位置更新的改進(jìn)

在標(biāo)準(zhǔn)SMA 中，黏菌的尋優(yōu)過程主要由當(dāng)前最佳個(gè)體和兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的位置引導(dǎo)，尋優(yōu)機(jī)制比較單一。在迭代初期，下一代黏菌種群的位置受兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的位置的影響，使SMA 全局搜索的效果較差，前期收斂速度較慢；在迭代后期，黏菌種群的位置受收斂因子vc的影響而向原點(diǎn)方向移動(dòng)，當(dāng)優(yōu)化問題的最優(yōu)解不在原點(diǎn)時(shí)，SMA 的尋優(yōu)過程會(huì)受到干擾，導(dǎo)致算法收斂精度較差。為改善SMA 在前期探索和后期開發(fā)之間的過渡過程，提高SMA 在迭代前期的收斂速度，優(yōu)化求解精度，本文改進(jìn)黏菌位置的更新公式，將位置更新過程劃分為三個(gè)階段。

1）階段1。

2）階段2。

3）階段3。

在階段1，r＜p時(shí)，黏菌種群位置更新由當(dāng)前最佳個(gè)體和一個(gè)隨機(jī)個(gè)體的位置引導(dǎo)，位置更新模式表現(xiàn)為以當(dāng)前最佳個(gè)體為中心的放射性擴(kuò)散，階段1 在保證算法的全局搜索能力的同時(shí)加快了種群向最優(yōu)個(gè)體移動(dòng)的過程，以提升算法在前期的收斂速度。在階段2，rand≥z時(shí)，黏菌種群位置更新由當(dāng)前最佳個(gè)體和適應(yīng)度排在前N/3 的一個(gè)隨機(jī)個(gè)體的位置引導(dǎo)，此時(shí)種群的搜索軌跡在較優(yōu)個(gè)體所在的區(qū)域內(nèi)；同時(shí)在基本位置更新公式上加入了布朗運(yùn)動(dòng)，以增強(qiáng)算法在較優(yōu)個(gè)體附近的搜索能力。在階段3，rand≥z時(shí)，種群位置更新由當(dāng)前最佳個(gè)體和本體的位置引導(dǎo)，此時(shí)種群在最佳個(gè)體附近進(jìn)行局部搜索，以提高算法在迭代后期的尋優(yōu)精度，加入的萊維飛行機(jī)制則給算法提供了跳出局部最優(yōu)的能力。此外，在三個(gè)階段，rand＜z時(shí)會(huì)對黏菌個(gè)體的位置重新隨機(jī)，從而使黏菌種群在算法的整個(gè)迭代過程都具有多樣性。

2.3 區(qū)間自適應(yīng)反向?qū)W習(xí)策略

Tizhoosh［21］于2005 年提出了一種反向?qū)W習(xí)（Opposition-Based Learning，OBL）方法以提升算法的尋優(yōu)效率。該方法首先計(jì)算當(dāng)前解的反向解，然后將反向解與當(dāng)前解進(jìn)行比較，最后保留兩者中更接近最優(yōu)解的一項(xiàng)用于下次的迭代計(jì)算。反向點(diǎn)的定義如下：

定義1反向點(diǎn)。D維空間內(nèi)有一點(diǎn)h=(x1，x2，…，xD)，且x1，x2，…，xD∈R，xi∈[ai，bi]，i={1，2，…，D}，則h點(diǎn)的反向點(diǎn)為

設(shè)優(yōu)化問題為求解最小值，優(yōu)化問題的函數(shù)為f(x)，當(dāng)前解為h，反向解為，則解的保留策略為：

其中：t為當(dāng)前迭代數(shù)。

傳統(tǒng)OBL 方法計(jì)算反向解時(shí)，邊界ai和bi是固定值，生成的反向解的質(zhì)量可能較差。因此本文提出一種區(qū)間自適應(yīng)反向?qū)W習(xí)（Interval Adaptative Opposition-Based Learning，IAOBL）策略優(yōu)化反向?qū)W習(xí)的邊界，進(jìn)一步提高反向解的質(zhì)量。IAOBL的反向解計(jì)算公式如下：

其中：i={1，2，…，D}；j={1，2，…，N}；D為求解問題維度；N為種群個(gè)體數(shù)；t為當(dāng)前迭代數(shù)。IAOBL 策略中的上下邊界隨算法迭代的進(jìn)行不斷變化，當(dāng)種群集中到某區(qū)域時(shí)，生成反向解的上下邊界也在不斷縮小。將IAOBL 引入標(biāo)準(zhǔn)SMA中，有助于提升黏菌種群的整體質(zhì)量，加快算法的收斂進(jìn)度。

2.4 收斂停滯監(jiān)測策略

SMA 在迭代過程中會(huì)遇到收斂速度變慢，甚至收斂停滯的情況。為了識(shí)別并改善這種情況，本文提出一種收斂停滯監(jiān)測策略，具體方案如下。

步驟1設(shè)gc為算法t次迭代與t-3 次迭代的適應(yīng)度差值：

其中：t={ 4，5，…，tmax}；tmax為最大迭代次數(shù)。

步驟2設(shè)gmin為適應(yīng)度監(jiān)測因子：

其中：t={4，5，…，tmax}。

步驟3 比較gc與gmin的大小關(guān)系，如果gc＜gmin，則視為算法收斂停滯，即對1/3 的黏菌個(gè)體進(jìn)行位置重新隨機(jī)的操作：

收斂停滯策略能實(shí)時(shí)監(jiān)測算法的收斂狀態(tài)，判斷算法是否停止收斂，并在算法進(jìn)入收斂停滯狀態(tài)時(shí)對部分種群進(jìn)行重新初始化，從而增加黏菌個(gè)體分布的多樣性，避免算法長時(shí)間處于收斂停滯狀態(tài)。

2.5 算法具體流程

MSISMA 首先對種群的位置進(jìn)行初始化，并計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度和權(quán)重系數(shù)；然后判斷算法所處的階段，根據(jù)不同階段選擇不同的位置更新策略；隨后應(yīng)用IAOBL 策略生成反向種群，通過解的保留策略對當(dāng)前種群和反向種群中的個(gè)體進(jìn)行選擇和保留；最后通過收斂停滯監(jiān)測策略判斷算法是否處于收斂停滯，如果算法處于停滯狀態(tài)則對部分個(gè)體的位置再進(jìn)行初始化。MSISMA 的具體步驟如下：

步驟1 算法參數(shù)初始化。設(shè)置黏菌個(gè)體數(shù)N，問題維度D，最大迭代次數(shù)tmax，搜索邊界BU和BL，黏菌的位置X。

步驟2 計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，并對適應(yīng)度進(jìn)行排序，記錄最佳適應(yīng)度Fb和最差適應(yīng)度Fw。

步驟3 根據(jù)式（4）更新黏菌的權(quán)重系數(shù)W。

步驟4 根據(jù)式（13）～（15）更新黏菌個(gè)體的位置。

步驟5 根據(jù)式（17）生成當(dāng)前種群的反向種群，并根據(jù)式（16）決定要保留的個(gè)體。

步驟6 根據(jù)式（20）對陷入搜索停滯的黏菌個(gè)體進(jìn)行位置重新隨機(jī)。

步驟7 迭代次數(shù)加1，判斷結(jié)束條件，若滿足，則算法終止，輸出最佳適應(yīng)度及對應(yīng)位置；若沒有，則返回步驟2。

2.6 時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)黏菌種群規(guī)模為N，問題維度為D，迭代次數(shù)為tmax，則MSISMA 的時(shí)間復(fù)雜度分析如下。

步驟1 黏菌種群的位置初始化階段需要進(jìn)行D次運(yùn)算，時(shí)間復(fù)雜度為O(D)。

步驟2 計(jì)算每個(gè)黏菌個(gè)體的適應(yīng)度，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。對所有黏菌個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行排序，時(shí)間復(fù)雜度為O(N× logN)。

步驟3 計(jì)算所有黏菌個(gè)體的權(quán)重系數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)。

步驟4 更新黏菌個(gè)體的位置，時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)。

步驟5 根據(jù)當(dāng)前黏菌種群的位置生成反向種群，時(shí)間復(fù)雜度為O(D)。比較當(dāng)前黏菌種群和反向種群的適應(yīng)度值，判斷要保留的個(gè)體。此過程需要進(jìn)行N次判斷，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。

步驟6 判斷算法是否處于收斂停滯狀態(tài)，需要1 次計(jì)算，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。若滿足收斂停滯監(jiān)測條件，則對部分黏菌個(gè)體的位置進(jìn)行重新隨機(jī)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N/3)。

所以在滿足收斂停滯監(jiān)測條件時(shí)，MSISMA 的總體時(shí)間復(fù)雜度為O（D+T（7/3×N+D+N·logN+2ND+1））；不滿足收斂停滯監(jiān)測條件時(shí)，MSISMA 的總體時(shí)間復(fù)雜度為O（D+T（2N+D+N·logN+2ND+1））。標(biāo)準(zhǔn)SMA 的時(shí)間復(fù)雜度主要是黏菌種群的位置初始化、適應(yīng)度計(jì)算、適應(yīng)度排序、權(quán)重系數(shù)更新以及種群的位置更新，時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算為：O（D+T（N+N·logN+2ND）。相較于標(biāo)準(zhǔn)SMA，MSISMA 的時(shí)間復(fù)雜度最大增加了O（T（4/3×N+D+1））。而2TND遠(yuǎn)大于T（4/3×N+D+1），所以MSISMA 與標(biāo)準(zhǔn)SMA 的時(shí)間復(fù)雜度大致相同。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本次仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：CPU 為Intel Core i7-10750H，主頻2.60 GHz；32 GB 內(nèi)存；Windows 10（64 位）操作系統(tǒng)；運(yùn)行軟件為Matlab R2021b 64 位。

3.2 測試函數(shù)

本節(jié)使用了文獻(xiàn)［22］中的23 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)對算法的性能進(jìn)行測試。其中：f1～f7為多維的單峰函數(shù)，這類函數(shù)只有一個(gè)最小值，因此可以測試算法的收斂速度；f8～f13為多維的多峰函數(shù)，這類函數(shù)存在多個(gè)局部極小值，并且局部極小值的數(shù)量隨維度的增加呈指數(shù)增長，這類函數(shù)可以測試算法定位全局最優(yōu)解和擺脫局部最優(yōu)的能力；f14～f23為固定維的多峰函數(shù)，這類函數(shù)的局部極小值數(shù)量較少。

3.3 對比算法及參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證本文的多策略改進(jìn)黏菌算法（MSISMA）的有效性，將MSISMA 與平衡黏菌算法（ESMA）［11］、黏菌-自適應(yīng)引導(dǎo)差分進(jìn)化混合算法（Slime Mould Algorithm combined to Adaptive Guided Differential Evolution，SMA-AGDE）［12］、SMA［6］以及最近提出的海洋捕食者算法（Marine Predators Algorithm，MPA）［23］和平衡優(yōu)化器（EO）［24］這5 種算法進(jìn)行比較。為了比較的公平性，設(shè)置所有算法的種群規(guī)模N=30，維度D=30，最大迭代次數(shù)tmax=500，運(yùn)行次數(shù)Times=30。各算法的內(nèi)部參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 各算法的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter setting for each algorithm

3.4 測試函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

所有算法在每個(gè)測試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30 次，記錄下每次運(yùn)行后的優(yōu)化結(jié)果，然后計(jì)算30 次運(yùn)行結(jié)果的平均值（Avg）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std），得到結(jié)果如表2 所示。

由表2 可以看出，相較于其他算法，MSISMA 在19 個(gè)測試函數(shù)上獲得了最佳平均值，在12 個(gè)測試函數(shù)上獲得了最佳標(biāo)準(zhǔn)差值。相較于ESMA、SMA-AGDE、SMA、MPA 和EO，MSISMA 的優(yōu)化精度平均提高了26.04%、55.97%、36.79%、23.39%和54.18%。

表2 不同算法的測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Test functions optimization results of different algorithms

對于單峰函數(shù)f1～f7，MSISMA 在求解f1～f4時(shí)的每次運(yùn)行都能取得函數(shù)的全局最優(yōu)解；對于f5，MSISMA 的求解精度最高，并且標(biāo)準(zhǔn)差最?。籑SISMA 求解f6的結(jié)果僅次于MPA，但要優(yōu)于其他改進(jìn)的SMA；對于f7，MSISMA 計(jì)算的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差僅次于ESMA。從單峰函數(shù)優(yōu)化結(jié)果來看，MSISMA 的表現(xiàn)優(yōu)于對比算法，且MSISMA 的標(biāo)準(zhǔn)差很小，說明算法有較好的魯棒性。對于可變維多峰函數(shù)f8～f13，MSISMA 的優(yōu)化精度最高，且標(biāo)準(zhǔn)差最小。特別是在函數(shù)f8、f12、f13的優(yōu)化上，MSISMA 明顯優(yōu)于其他算法。說明MSISMA 解決了SMA 在求解具有多個(gè)局部最優(yōu)解的函數(shù)時(shí)優(yōu)化精度不高、容易陷入局部最優(yōu)的問題。對于f14、f16～f19，MSISMA 的求解精度最高，接近函數(shù)的最小值，但標(biāo)準(zhǔn)差不如MPA；對于f15，MSISMA 的優(yōu)化精度比MPA、EO 差，但優(yōu)于ESMA、SMA-AGDE 和SMA；對于f20，MSISMA 的表現(xiàn)較差；對于f21、f22和f23，MSISMA 的優(yōu)化精度提升比較明顯，優(yōu)化平均值與函數(shù)的全局最優(yōu)值非常接近。綜合來看，MSISMA 無論是在優(yōu)化精度還是算法的魯棒性上相較于對比算法都更有優(yōu)勢。

為了更直觀地比較各個(gè)算法的收斂速度和求解精度，圖1 給出了算法運(yùn)行30 次后部分測試函數(shù)的平均收斂曲線。對于單峰函數(shù)f1和f2，MSISMA 的收斂速度最快，能夠以最快速度收斂到函數(shù)的最優(yōu)值；對于單峰函數(shù)f5，MSISMA 的收斂速度最快，運(yùn)算精度最高，而且沒有在迭代過程中陷入局部最優(yōu)。對于多峰函數(shù)f8、f10、f12、f14和f21，MSISMA 無論是收斂速度還是最后的優(yōu)化結(jié)果都有明顯的優(yōu)勢。

圖1 部分測試函數(shù)收斂曲線對比Fig.1 Comparison of convergence curves of some test functions

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為了進(jìn)一步評估MSISMA 的性能，本文使用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)MSISMA 和對比算法的運(yùn)行結(jié)果是否有顯著性差別。顯著性水平設(shè)置為0.05，將所有算法運(yùn)行30次的優(yōu)化結(jié)果作為樣本。當(dāng)檢驗(yàn)的p值大于0.05 時(shí)，說明兩種算法的運(yùn)行結(jié)果沒有顯著差異；否則，兩種算法運(yùn)行結(jié)果存在顯著差異。表3 為MSISMA 與對比算法的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)結(jié)果。

由表3 可知，MSISMA 在17 個(gè)測試函數(shù)上的表現(xiàn)優(yōu)于ESMA 與SMA，在19 個(gè)測試函數(shù)上表現(xiàn)優(yōu)于SMA-AGDE，在12 個(gè)測試函數(shù)上的表現(xiàn)優(yōu)于MPA，在16 個(gè)測試函數(shù)上表現(xiàn)優(yōu)于EO。因此MSISMA 的性能在統(tǒng)計(jì)上有顯著的優(yōu)越性。

表3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Wilcoxon rank-sum test results

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的多策略融合的改進(jìn)黏菌算法的收斂速度、求解精度和魯棒性都有明顯提升。

4 結(jié)語

為了提高黏菌算法的優(yōu)化性能，本文提出了一種多策略融合的改進(jìn)黏菌算法（MSISMA）。引入布朗運(yùn)動(dòng)和萊維飛行機(jī)制增強(qiáng)算法的搜索能力；改進(jìn)算法的位置更新公式，以平衡算法在探索和開發(fā)之間的過渡能力，提升尋優(yōu)效率和精度；引入?yún)^(qū)間自適應(yīng)的反向?qū)W習(xí)策略，優(yōu)化解的質(zhì)量；引入收斂停滯監(jiān)測策略，避免算法長時(shí)間處于收斂停滯狀態(tài)。在測試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MSISMA 在收斂速度、尋優(yōu)精度和魯棒性上比ESMA、SMA-AGDE、SMA、MPA 和EO 更優(yōu)秀。然而，MSISMA 在優(yōu)化某些固定維的多峰函數(shù)時(shí)仍存在精度較低的情況，未來將在種群位置更新模式方面作進(jìn)一步研究和優(yōu)化。