以“動(dòng)”為媒，促進(jìn)幾何推理

盛文雅

【摘? ?要】從“圖形運(yùn)動(dòng)”的視角拓展和重構(gòu)“長(zhǎng)方體和正方體”單元教學(xué)，可以“動(dòng)”為媒，圍繞“建構(gòu)圖形特征”“推導(dǎo)表面積與體積”“拓展新的思考”等教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階，提高問(wèn)題解決的能力。

【關(guān)鍵詞】圖形的運(yùn)動(dòng)；推理意識(shí)；長(zhǎng)方體和正方體

【教學(xué)思考】

在第一學(xué)段學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些基本的平面圖形，積累了一些圖形分析經(jīng)驗(yàn)，對(duì)立體圖形能做直觀的辨認(rèn)，能夠識(shí)別長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球。在此基礎(chǔ)上，“長(zhǎng)方體和正方體”單元從結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體和正方體切入，圍繞“表面積”和“體積”這兩個(gè)核心概念，展開(kāi)對(duì)立體圖形的量化分析，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他立體圖形打下基礎(chǔ)。

以往這部分的教學(xué)往往以呈現(xiàn)一些典型的面積和體積問(wèn)題，落實(shí)正確的解答方法，辨析常見(jiàn)的錯(cuò)誤為主，看起來(lái)琢磨得很細(xì)，實(shí)際上內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)不夠，學(xué)生賴以推理、想象、變化、遷移的底層支持沒(méi)有建立起來(lái)，一旦遇到較復(fù)雜的變式或者綜合應(yīng)用類(lèi)的問(wèn)題，他們常常表現(xiàn)得手足無(wú)措，出現(xiàn)各種混淆與錯(cuò)誤。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。分析本單元的教學(xué)內(nèi)容，長(zhǎng)、正方體的圖形特征有內(nèi)在聯(lián)系，可以從“圖形的運(yùn)動(dòng)”視角讓學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)、正方體的產(chǎn)生過(guò)程，探究各種圖形之間的變化規(guī)律，在變與不變中實(shí)現(xiàn)二維圖形與三維圖形的轉(zhuǎn)化，并借助幾何推理進(jìn)行表面積和體積計(jì)算的意義建構(gòu)。針對(duì)本單元教學(xué)內(nèi)容，可從知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建方式在培養(yǎng)空間觀念和推理意識(shí)方面的作用入手，確立教學(xué)目標(biāo)（如圖1）。

【教學(xué)過(guò)程】

一、以“動(dòng)”為媒，建構(gòu)圖形特征

以“動(dòng)”為媒，讓學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)方體、正方體的產(chǎn)生過(guò)程，在觀察、想象中建立立體圖形各元素之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展空間觀念和推理能力。

在“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師通過(guò)電腦演示讓學(xué)生回憶“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面”的二維圖形形成過(guò)程，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)類(lèi)比：面動(dòng)會(huì)成體嗎？所成之體有何特征？

教學(xué)片段1：長(zhǎng)方體特征的探究

師：結(jié)合剛才的平移，你能說(shuō)說(shuō)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)數(shù)與原長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)數(shù)有怎樣的聯(lián)系嗎？面與棱呢？

（讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流）

生：原來(lái)長(zhǎng)方形有4個(gè)頂點(diǎn)，平移后終止處形成一個(gè)長(zhǎng)方形，它也有4個(gè)頂點(diǎn)，4+4=8個(gè)（如圖2）。

生：平移的起始與終止處各有一個(gè)相同的長(zhǎng)方形面，平移過(guò)程中長(zhǎng)方形的4條邊又各自平移出了一個(gè)面，這樣就有2+4=6個(gè)面。

生：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，又都平移了相等的距離，所以長(zhǎng)方體的對(duì)面是相等的（如圖3）。

生：長(zhǎng)方體中有起始位置長(zhǎng)方形的4條邊，也有終止位置長(zhǎng)方形的4條邊，加上平移產(chǎn)生的4條邊，一共12條邊，叫長(zhǎng)方體的棱。

師總結(jié)與補(bǔ)充：長(zhǎng)方形4個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)平移了相同的距離，方向也一致，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)之間的位置關(guān)系也不變（其實(shí)就是長(zhǎng)與寬都沒(méi)變），所以4個(gè)頂點(diǎn)平移的距離相等，而且表示這段距離的幾條線段還互相平行（如圖4）。

師：像這樣的互相平行的線段組還有嗎？

生：有，長(zhǎng)方形的對(duì)邊平移之后也是平行的，且與起始位置那組對(duì)邊也平行，因此是四條平行且相等的棱。

學(xué)生用平移的方式“運(yùn)動(dòng)”，變長(zhǎng)方形為長(zhǎng)方體，直觀理解平移前后的長(zhǎng)方形之間的關(guān)聯(lián)，從而演繹推理長(zhǎng)方體的基本特征。

二、以“動(dòng)”為媒，推導(dǎo)表面積與體積

基于面動(dòng)成體的空間知覺(jué)，學(xué)生能對(duì)長(zhǎng)方體的構(gòu)造有深度認(rèn)識(shí)，主動(dòng)推導(dǎo)長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算。

教學(xué)片段2：借平移理解長(zhǎng)方體的側(cè)面積

師：長(zhǎng)方形通過(guò)平移形成長(zhǎng)方體。除了平移的起始與終止兩個(gè)面，還平移出了前后左右4個(gè)面，它們分別是由誰(shuí)平移得到的面呢？

（小組討論后交流）

生：由長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬平移了高這段距離后得到4個(gè)面，并形成了前后左右的一個(gè)包圍圈。

師：這個(gè)包圍圈，我們叫長(zhǎng)方體的側(cè)面。這個(gè)側(cè)面打開(kāi)來(lái)會(huì)是什么形狀？

生：打開(kāi)拉直了就是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，寬是垂直平移距離，就是高。

長(zhǎng)方體體積推導(dǎo)也做了運(yùn)動(dòng)處理，先是通過(guò)大小不同的長(zhǎng)方形等距平移后得到不同的長(zhǎng)方體，再用等大的長(zhǎng)方形平移不同的距離形成不同的長(zhǎng)方體。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理，得出長(zhǎng)方體體積等于長(zhǎng)方形面積乘垂直平移距離，并組織驗(yàn)證。

教學(xué)片段3：長(zhǎng)方體體積推導(dǎo)過(guò)程

1.操作驗(yàn)證。

生：我們擺體積單位驗(yàn)證：一行擺3個(gè)小正方體，擺2行，擺1層，就可以看作是2×3的長(zhǎng)方形向上平移1厘米，就得到了2×3×1=6立方厘米；一層擺6個(gè)小正方體，擺2層，也就是在原來(lái)一層的基礎(chǔ)上再向上平移1厘米，這時(shí)高是2厘米，體積是6×2=12立方厘米；高是3的時(shí)候，可以看作是大正方形向上平移3厘米了，也就是擺3層，體積是18立方厘米。以此類(lèi)推，可以看出6相當(dāng)于平移前原長(zhǎng)方形的面積，平移距離就是高，那么體積就是平移圖形的面積乘平移距離（如圖5）。

2.動(dòng)態(tài)驗(yàn)證。

（教師動(dòng)態(tài)演示“用面積單位鋪出了一個(gè)3×2的長(zhǎng)方形”，平移面的面積是6平方厘米）

師（動(dòng)態(tài)演示拉高1厘米）：現(xiàn)在是一個(gè)長(zhǎng)方體了（長(zhǎng)方體以體積單位組搭的形式出現(xiàn)），平移的距離是幾？體積是多少？

生：平移的距離是1厘米，體積是6立方厘米。

（接著教師用同樣的方法拉高2厘米、3厘米、5厘米，再下降至0.5厘米，并記錄了相關(guān)數(shù)據(jù)。如表1）

師：觀察這組數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：長(zhǎng)方體的體積等于平移面的面積乘平移距離。

師：如果高變成0，它的體積是多少立方厘米？

引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，這時(shí)它沒(méi)有體積，它就是一個(gè)長(zhǎng)方形的面。

3.代換驗(yàn)證。

生：因?yàn)椤伴L(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”，長(zhǎng)×寬就是平移面長(zhǎng)方形的面積，高是垂直平移距離，“6×4=24立方厘米”是長(zhǎng)方體體積，即“平移面的面積乘平移距離等于長(zhǎng)方體的體積”。

三、以“動(dòng)”為媒，拓展新的思考

復(fù)習(xí)整理時(shí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形的分解、組合、平移、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)思路來(lái)發(fā)現(xiàn)和解決新問(wèn)題。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)直柱體可以用“V=Sh”求體積，并提出新問(wèn)題：“如果不是垂直平移，而是‘斜著’平移，產(chǎn)生的立體圖形的體積是怎樣計(jì)算的呢？”

教學(xué)片段4：推理斜柱體體積

師：這是一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題，如果是“斜著”平移成一個(gè)柱體——你能判斷它們之間的體積關(guān)系嗎？

（學(xué)生討論后不能達(dá)成共識(shí)。于是教師拿出一大摞本子，先是垂直擺放，如圖6中左圖。它的體積是6×3。接著把這摞本子推斜了，學(xué)生感悟到作業(yè)本的體積沒(méi)變，如圖6中右圖）

師：如何求斜柱體的體積？

在學(xué)生小組探討無(wú)果的情況下，教師畫(huà)了一個(gè)鈍角三角形，問(wèn)：它的面積是如何求的？現(xiàn)在你能聯(lián)想到斜柱體的體積可以怎么求嗎？（學(xué)生大膽類(lèi)比推理出：平移面乘垂直的外高）

生：我還有另一種思考方法，可以把這個(gè)立體圖形翻轉(zhuǎn)一下，以平行四邊形作底面，這樣就變成平行四邊形垂直平移了。平行四邊形的面積正好是它的底乘高，這里的高就是原斜柱體中垂直于底面那個(gè)看不見(jiàn)的高。

學(xué)生對(duì)垂直平移這一限制性運(yùn)動(dòng)進(jìn)行批判性思考，引發(fā)了新的猜想和推理，類(lèi)比出斜柱體的體積計(jì)算思路。這一種創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在實(shí)現(xiàn)知識(shí)進(jìn)階的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階。

【教學(xué)效果】

教學(xué)實(shí)踐后，筆者作了對(duì)比測(cè)驗(yàn)，參測(cè)對(duì)象為A班、B班，兩個(gè)班是相鄰兩屆五年級(jí)的學(xué)生。A班是前一屆按教材呈現(xiàn)方式進(jìn)行教學(xué)的對(duì)照班，B班是按本設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)的實(shí)驗(yàn)班，兩個(gè)班級(jí)都由筆者執(zhí)教，測(cè)驗(yàn)時(shí)間在兩學(xué)年的同期（在單元學(xué)習(xí)結(jié)束后、期末復(fù)習(xí)之前）進(jìn)行，具體情況如表2。

從表1的對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)，以“動(dòng)”為媒的教學(xué)嘗試，便于學(xué)生從圖形元素之間的關(guān)聯(lián)中實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化架構(gòu)，通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)想象讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)二維與三維的空間轉(zhuǎn)化，用動(dòng)態(tài)思維來(lái)認(rèn)識(shí)、比較、量化圖形，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階，優(yōu)化問(wèn)題解決的能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］許家雄.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與理解［M］.昆明：云南大學(xué)出版社，2018．

［2］崔耀華.運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)：自然科學(xué)哲學(xué)概論［M］.北京：中國(guó)社會(huì)出版社，2008．

（浙江省杭州市余杭蔚瀾學(xué)校）