另眼相看“圓的面積”

郜舒竹 李碩楠

【摘? ?要】我國小學(xué)數(shù)學(xué)課程中對于“圓的面積”的認(rèn)識過程相對單一，而且存在邏輯相悖的現(xiàn)象，因此需要挖掘適合小學(xué)階段學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課程資源，豐富關(guān)于“圓的面積”的認(rèn)知活動。通過歷史文獻(xiàn)考察發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“圓的面積”認(rèn)識的基本思路是將圓形與直邊圖形建立聯(lián)系，除了目前教科書中常見的長方形，還有小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中熟知的正方形及三角形。這些直邊圖形都可以成為直觀認(rèn)識圓面積的課程資源，將此類內(nèi)容融入數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，可以讓學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷“另眼相看”的認(rèn)識過程，幫助他們積累對以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有意義的基本活動經(jīng)驗。

【關(guān)鍵詞】圓的面積；紙草書；托里拆利；開普勒；亞伯拉罕

這里所說的“另眼相看”指得是用差異、多樣的眼光看待同一對象。我國小學(xué)數(shù)學(xué)課程中對于“圓的面積”的認(rèn)識過程相對單一，而且存在邏輯相悖的現(xiàn)象。因此需要挖掘適合小學(xué)階段學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課程資源，讓學(xué)生有更多的機(jī)會經(jīng)歷“另眼相看”圓的面積的認(rèn)識過程，在不違背邏輯的基礎(chǔ)上，用更加豐富的認(rèn)知活動直觀認(rèn)識圓的面積。

一、教科書中的“邏輯相?！?/p>

我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于“圓的面積”的認(rèn)識過程，采用的是15～16世紀(jì)意大利藝術(shù)家、科學(xué)家達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci，1452—1519）發(fā)明的直觀方法，類似方法也出現(xiàn)于日本佐藤茂春（英譯：Sato Moshun）1698年出版的《算法天元指南》第九卷中。將圓形與長方形建立聯(lián)系，利用“長方形面積=長[×]寬”得到“圓的面積=[πr2]”。［1］［2］具體做法是將圓形等分為若干小扇形，剪開后將小扇形重組為形狀近似于長方形的圖形（以下簡稱“準(zhǔn)長方形”）（如圖1）。

2022年8月出版的人教版教科書六年級上冊第65頁表述的推理過程為：“分的份數(shù)越多，每一份就越小，拼成的圖形就越接近于一個長方形?！遍L方形的長“近似”于圓周長的一半[πr]，寬“近似”于圓半徑[r]；因為“長方形的面積=長[×]寬”，所以“圓的面積=[πr×r=πr2]”。

這一過程是從外觀的“接近”，推理出長與寬長度的“近似”；從長與寬長度的“近似”，推理出面積的“相等”，在一個并非是長方形的準(zhǔn)長方形上使用長方形的面積公式。實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對這樣的推理過程難以接受，產(chǎn)生的問題是：無論多么接近，也不是真正的長方形。為什么能夠在不是長方形的圖形上使用長方形面積公式？

產(chǎn)生這樣的問題是合情合理的，外觀上的“接近”并不能直接推理出長度的“近似”；長度的“近似”也不能直接推理出面積的“相等”。舉例來看，任意三角形一個具有普遍性的性質(zhì)是“兩邊之和大于第三邊”。對于直角三角形，兩條直角邊長度之和，應(yīng)當(dāng)大于斜邊的長度，因此對于圖2中的大直角三角形（實線）應(yīng)當(dāng)有[a+b>c]。

圖2中的三個圖形，是將一個大直角三角形的斜邊等分為若干份，以每一份為斜邊作小直角三角形，不難看出每個圖中所有小直角三角形直角邊（虛線）之和，等于大直角三角形的直角邊之和“[a+b]”。

直觀看這些小三角形，隨著份數(shù)的增多，越來越“接近”大三角形的斜邊，但無論多么接近，這些小三角形直角邊的總和都是“[a+b]”，因此這樣的“接近”僅僅是視覺上外觀的接近，不能推理出與斜邊長度“[c]”的近似。這說明外觀的“接近”與數(shù)量的“近似”并不具備必然的因果關(guān)系，“因為接近，所以近似”的推理未必成立，因此可以說教科書中關(guān)于圓面積的推理過程，混淆了外觀的“接近”與數(shù)量的“近似”二者之間的關(guān)系。

另外，教科書中用長方形的面積公式推理出圓的面積公式的前提，是長方形的長和寬分別“近似”于圓周長的一半[πr]和半徑[r]，通過近似值的乘法運算得到圓面積的準(zhǔn)確值，這樣“因為近似，所以相等”的邏輯也是說不通的［3］。凡與此邏輯相悖的現(xiàn)象都是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究需要解決的問題。

事實上，從邏輯上嚴(yán)格推導(dǎo)并證明圓的面積公式，無法回避微積分中極限的概念，這在小學(xué)乃至初中階段是行不通的。因此需要探討的問題是：如何在不違背邏輯的前提下直觀認(rèn)識圓的面積公式？這就需要對圓的面積公式的發(fā)生與發(fā)展的歷史進(jìn)行考察，從中可以發(fā)現(xiàn)一些具有借鑒意義的方法。

二、圓與正方形

關(guān)于圓的面積測量最為久遠(yuǎn)的記載是在距今約3700年，公元前1650年左右古埃及數(shù)學(xué)著作《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）中，這本書是目前發(fā)現(xiàn)的最古老的數(shù)學(xué)著作之一。書中共有87個數(shù)學(xué)問題，48～55題都與平面圖形的面積相關(guān)，第50題記載的圓的面積的求法是“直徑的九分之八的平方”［4］。如果一個圓的直徑是[d]，那么這個圓的面積就近似于[（8/9×d）2]，這一公式與今天熟知的[πr2]不同，是用有理數(shù)表達(dá)圓的面積近似求法，相當(dāng)于將無理數(shù)[π]取近似值為“[π≈3.16]”。下面對得到這一結(jié)果的過程進(jìn)行分析。

整個過程的基本思路是將圓形與正方形以及六邊形建立聯(lián)系，首先作出圓形的外切正方形，將正方形每條邊三等分，連接分點作出一個六邊形。想象將大正方形頂點處的四個小三角形去除，直觀看所剩下的六邊形面積與圓的面積就很接近，這個六邊形面積實際就是大正方形面積減去四個小陰影三角形的差。具體步驟如圖3。

從圖3第四步不難發(fā)現(xiàn)，去除的四個小三角形面積之和是大正方形面積的[418=29]。如果圓的半徑為[r]，那么六邊形面積為：[（1-29）×4r2=289r2]。如果用字母[d]表示圓的直徑，那么六邊形面積可以表示為“[79d2]”，接下來運用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)做如下的轉(zhuǎn)換：

這樣就得到圓的面積簡單易行的近似算法“直徑的九分之八的平方”。如果一個圓的直徑為9厘米，立刻可以知道該圓的面積近似于64平方厘米，與“[πr2]”計算的結(jié)果“[3.14×4.52≈63.59]”非常接近。在這種情況下，圓周率的近似值為“[π≈][（89）]2×22=[25681]”，化為小數(shù)約等于[3.16]［5］。

這一結(jié)論具有實用的特點，如果已知一個圓的直徑，只需要將其略微減小而后平方，就可以得到圓面積的近似值。整個過程的基本思路是通過減少正方形與圓形之間的差異，利用正方形的面積近似求出圓的面積。如果這樣的“減少”到達(dá)“窮竭”，“近似”就成為“相等”，因此類似這樣的方法叫作“窮竭法（Exhaustion）”，是歷史上解決曲線圖形求積問題的經(jīng)典方法，其中已經(jīng)蘊含了“趨近于（Approach）”的極限思想。［6］

三、圓與三角形

古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、發(fā)明家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）所著《圓的測量》中的第一個命題為：“任意圓的面積與直角邊分別為圓周長和圓半徑的直角三角形面積相等。”［7］這一命題是將圓的面積與熟知的三角形面積建立聯(lián)系，如果已知圓半徑和周長，就可以求出圓的面積。

阿基米德使用窮竭法證明的過程相對復(fù)雜，因此后人探索并發(fā)明出一些能夠直觀看出的方法，其中最著名的叫作“不可分量法”。“不可分量（Indivisible）”的概念源于對連續(xù)量的認(rèn)識，把幾何中的“線、面、體”分別視為是低一維的“點、線、面”構(gòu)成，認(rèn)為“積點成線、積線成面、積面成體”，或“點動成線、線動成面、面動成體”［8］。

在歐洲最早系統(tǒng)使用不可分量法研究幾何“求積”①問題的，是17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri Francesco Bonaventura，1598—1647）。他用隱喻的方式解釋不可分量：制衣過程中需要用線織布，因此二維的“布”是一維的“線”構(gòu)成的，“線”就成為“布”的不可分量；如果把一本書視為是三維的立體圖形，把其中的一“頁”紙看作二維的圖形，那么三維的“書”就是二維的“頁”構(gòu)成的，“頁”就成為構(gòu)成“書”的不可分量。［9］類似的方法我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅（456—536）就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，并應(yīng)用于求積問題［10］。應(yīng)用不可分量法比較幾何圖形的面積或體積，主要依據(jù)兩個判斷：

●? ?不可分量一一對應(yīng)且相等，則面積（或體積）相等；

●? ?不可分量一一對應(yīng)，則不可分量之比等于面積（或體積）之比。［11］

比如在小學(xué)階段，我們熟知的“等底等高的三角形面積相等”，用不可分量法直觀看就是非常明顯的（如圖4）。

卡瓦列里的好友，17世紀(jì)意大利以物理學(xué)成就著稱的托里拆利（Evangelista Torricelli，1608—1647），［12］于1644年出版的《幾何概覽》（Opera Geometrica）中，就是用不可分量法直觀證明阿基米德的命題。［13］具體過程如下。

作圓[O]和對應(yīng)的直角三角形[AOA]'，三角形底邊[AA]' 長度等于圓周長，高等于圓半徑[AO]。以[O]點為圓心在內(nèi)部任意作小同心圓（虛線），想象圓[O]是無數(shù)個這樣的同心圓構(gòu)成，把同心圓周長視為圓[O]面積的不可分量（如圖5）。將每一個同心圓沿著半徑剪開拉直（圖5中[BB]'），轉(zhuǎn)化為三角形[AOA]' 的不可分量，使圓與三角形的不可分量建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，并且長度相等，因此圓[O]與三角形[AOA]' 面積相等，這樣就可以用三角形面積求出圓[O]的面積為：[12×2πr×r=πr2]。這一方法可以用動態(tài)的過程演示出來（如圖6）。

與此類似的還有11～12世紀(jì)西班牙裔猶太數(shù)學(xué)家亞伯拉罕（Rabbi Abraham bar Hiyya Hanasi，1065—1136）發(fā)明的方法：將圓沿半徑剪開后，以對稱的方式兩側(cè)同時展開成為等腰三角形［14］（如圖7）。

與托里拆利同時代的德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒（Johannes Kepler，1571—1630），也用類似的方法研究圓的面積。將圓等分為若干小扇形，沿半徑剪開并拉直，展開為直角三角形后，直角三角形的兩條直角邊長度分別等于圓半徑和圓周長。想象小扇形拉直后成為大三角形中的小三角形（如圖8）。圓內(nèi)的小扇形與大三角形中的小三角形一一對應(yīng)并且面積相等，因此圓與大三角形面積相等。［15］

開普勒看待不可分量的眼光與卡瓦列里和托里拆利略有不同，是將不可分量看成與圓形和三角形同樣的二維平面圖形，隨著份數(shù)的增多，圓內(nèi)的小扇形和三角形中的小三角形無限縮小，是能夠小于任意有限量的“無窮小量（Infinitesimal）”，圓與三角形的面積分別由這些面積相等的無窮小量構(gòu)成，因此圓與三角形的面積相等。這種無窮小量的思想日后逐漸發(fā)展成為極限理論的邏輯基礎(chǔ)。

以上方法依賴的是不可分量或無窮小量之間一一對應(yīng)及量的相等關(guān)系，通過不可分量或無窮小量的關(guān)系，可以直觀看出圓與三角形面積之間的相等關(guān)系。這樣的方法并非是嚴(yán)格的證明，但對于通過直觀感知，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是有效的。將圓形沿著半徑剪開、拉直為直角三角形或等腰三角形，得到的是真正的三角形，這時利用三角形面積的求法得到圓面積，可以實現(xiàn)在不違背邏輯的前提下直觀認(rèn)識圓的面積的目的。不僅如此，類似的方法還可以遷移到中學(xué)數(shù)學(xué)課程中球的體積的認(rèn)識。

四、“另眼相看”的威力

數(shù)學(xué)課程與教學(xué)承載著培育“數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言”的使命。同樣的圓，可以轉(zhuǎn)化為長方形，也可以轉(zhuǎn)化為正方形或三角形；同樣圓的面積公式，可以表達(dá)為“[圓周率×半徑2]”，也可以表達(dá)為“[（89直徑）2]”或“[12×周長×半徑]”。

這樣的“另眼相看”體現(xiàn)的是“眼光的差異性、思維的靈活性、語言的豐富性”，是在“同中求異”的認(rèn)知過程中發(fā)展思維的靈活性和發(fā)散性。除此之外，這樣的經(jīng)歷還可以成為將來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，將今天經(jīng)歷的過程與方法遷移到今后相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，實現(xiàn)不同課程內(nèi)容思維方式的關(guān)聯(lián)。

如前所述，將圓形轉(zhuǎn)化為三角形的方法，是將平面圖形的圓周轉(zhuǎn)化為三角形的底邊，圓的半徑轉(zhuǎn)化為三角形的高，用三角形的面積公式得到圓的面積公式。類似的方式可以遷移到中學(xué)立體幾何中球與圓錐體積之間關(guān)系的認(rèn)識，用圓錐體積公式得到球的體積公式。如果一個球的半徑為[r]，那么表面積為[4πr2]（如圖9）。

如果把圓周視為是平面圖形圓的邊界，那么立體圖形球的邊界就是表面，因此圓的周長與球的表面積都表示“界的大小”；類似于此，平面上三角形的底邊長度類似于立體圖形圓錐的底面積，都表示“底的大小”。這時阿基米德關(guān)于圓面積的命題，就可以類比為球的體積的命題：“任意球的體積，與底面積和高分別等于球表面積[4πr2]和半徑[r]的圓錐體積相等。”也就是說，利用熟知的圓錐體積公式“[13×底面積×高]”，就可以得到球的體積公式：[13×4πr2×r=43πr3]。球與圓的類比關(guān)系可以用表1清晰地呈現(xiàn)出來。

平面圖形的“圓與三角形”與立體圖形的“球與圓錐”，是維度不同的幾何對象，而且位于不同的學(xué)段，但其中內(nèi)在的聯(lián)系具有高度的一致性，小學(xué)階段對圓的面積的“另眼相看”，可以成為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知方式的基礎(chǔ)。讓學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷不同過程，對他們以后的學(xué)習(xí)有積極的意義。積累普遍適用的基本活動經(jīng)驗，應(yīng)當(dāng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的重要目標(biāo)。

課程與教學(xué)的目的不僅是“知道”，更要強(qiáng)調(diào)“經(jīng)歷”，在經(jīng)歷中逐步實現(xiàn)“眼光的差異性、思維的多元性、表達(dá)的豐富性”。這就要求教科書編修及實際教學(xué)秉承守正創(chuàng)新的理念，避免故步自封，開發(fā)出更加豐富并且適合學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的課程資源和學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生有更多的機(jī)會經(jīng)歷“另眼相看”的過程，讓素養(yǎng)導(dǎo)向的課程與教學(xué)落在實處。

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（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 2.首都師范大學(xué)教育學(xué)院）