基于優(yōu)化殘差組合的北斗衛(wèi)星短期鐘差預報研究

周仕琦，蔡成林

(湘潭大學 自動化與電子信息學院,湖南 湘潭 411105)

0 引言

隨著我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)率先在國際上提供精密單點定位(PPP)星上服務，如何讓BDS 提供更加精準的服務變成了當下的熱門研究.而可靠的衛(wèi)星鐘差短期預報結果將極大地提升PPP 的精度，能夠推動實時精密單點定位(RT-PPP)技術的研究[1].

在衛(wèi)星鐘差預報方面，國內外學者已經做了大量工作，對衛(wèi)星鐘差預報提出了若干鐘差預報模型.其中，灰度預測模型(GM(1,1))、二次多項式預測(QP)模型和自回歸滑動平均模型(ARMA)是比較常用的衛(wèi)星鐘差預報模型[2-3].(GM(1,1))模型和QP 模型建模簡單，ARMA 模型能很好地反映數(shù)據(jù)間的相關性，因此這幾種常用模型已經被廣泛應用于測繪導航之中.但上述方法僅僅是對衛(wèi)星的原始鐘差進行的研究，王宇譜等[4]研究表明使用鐘差一次差分序列可以有效降低預報誤差，提升預報精度.然而，經過一次差分后的序列呈非線性，多項式模型不適用于非線性數(shù)據(jù)的建模；(GM(1,1))模型受發(fā)展系數(shù)和灰作用量影響較大，對非線性序列預報效果也不理想；ARMA模型雖然在鐘差預報中顯示出優(yōu)良的特性，但在擬合模型參數(shù)時，模型的識別和定階的不準可能會影響ARMA 預報精度[5].針對這些問題，王潤等[6]利用Elman 神經網絡對衛(wèi)星鐘差一次差分的序列進行建模預報，取得了一定的效果.然而，傳統(tǒng)的神經網絡由于使用梯度算法，容易導致局部最小而影響預報精度.極限學習機(ELM)與傳統(tǒng)的神經網絡模型相比，泛化能力更強，并且能夠解決傳統(tǒng)基于梯度算法的神經網絡模型易陷入局部最小、需要合適的學習率等問題[7].

在這些研究的基礎上，本文提出一種利用一次差分數(shù)據(jù)優(yōu)化殘差組合預測模型，并與使用鐘差一次差分的傳統(tǒng)模型的預測效果進行比較，探究組合方法的性能.

1 單一預測模型

1.1 ARMA 模型

ARMA 模型是一種被廣泛應用于鐘差預報領域的線性平穩(wěn)時間序列模型，模型公式為

式中：e(t)為 被預測變量；e(t-i)為與被預測變量相關的滯后階；c為常數(shù)項；εt為白噪聲(WN)序列，服從均值為0 的正態(tài)分布；αi為自相關系數(shù)(i=1，2，3，···，q)；p，q分別為自回歸和移動平均中的滯后階.

p，q參數(shù)的選取對ARMA 模型的擬合效果至關重要，若參數(shù)選取不當，則會導致模型精度降低.當訓練鐘差樣本N固定時，使赤池信息量準則(AIC)達到最小值的(p，q)就是最佳組合參數(shù)，AIC 的定義為

式中：N為衛(wèi)星鐘差樣本個數(shù)；L為似然函數(shù).

1.2 ElM 模型

ELM 模型是一種基于單隱層的前向神經網絡模型.通過隨機搜索或人為給定的方式，確定輸入層的權值和隱含層的偏置，再利用廣義逆矩陣理論計算輸出層權值，并根據(jù)此權值計算出模型的預測值[8].其拓撲結構如圖1 所示.

圖1 ELM 模型結構

圖1 中，xj∈Rn,j=1,2,···,N為N個樣本組成的樣本空間；ai=[a1,a2,···,aN]為 輸入權值；bi為隱含層節(jié)點的偏置；βi為隱含層到輸出層的權重；Oj為模型輸出.由圖1 可知，一個具有L個隱含節(jié)點的ELM 模型可表示為

式中，g(x)為激活函數(shù).當網絡模型能夠零誤差逼近輸出樣本矩陣Tm=[t1,t2,···,tm]∈Rm時，即

此時模型就能表示為

公式(5)可以簡化為

式中，H為隱藏層輸出矩陣.這時式(6)可看作尋找線性系統(tǒng)的最小二乘解，由廣義逆理論可得其解為

式中，H+為H的廣義逆矩陣.

2 一次差分優(yōu)化殘差組合模型

2.1 鐘差的一次差處理及預處理

對于同一顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)而言，相鄰歷元在無鐘跳和粗差的情況下變化量較小，從整體上說呈線性趨勢.然而，由于ELM 神經網絡中非線性激活函數(shù)的影響，導致其對未作差分處理的鐘差序列預報能力可能不及傳統(tǒng)模型[9].因此本文中使用鐘差的一次差分序列作為樣本，而要使用一次差分序列，對鐘差的預處理是十分有必要的.文獻[10]提出了利用中位數(shù)探測(MAD)方法處理北斗衛(wèi)星鐘差一次差分后的差分序列，并使用GM(1,1)與ARMA 模型組合進行預測的方法，取得了一定的效果.然而，由于北斗衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)存在數(shù)據(jù)質量較低、粗差較多尤其是存在較多微小的跳變等問題，并且同時由于MAD 法對粗差大小不敏感，且存在參數(shù)設置問題，會導致MAD 法的粗差探測效果不佳，容易漏過許多較小的粗差和跳變.文獻[11]表明在GPS 原始時間序列的粗差剔除中，四分位法(IQR)對粗差的探測效果要優(yōu)于MAD法.故本文將利用四分位法和拉格朗日插值法對北斗衛(wèi)星鐘差一次差分數(shù)據(jù)進行預處理，然后使用經過預處理后的北斗衛(wèi)星鐘差一次差分數(shù)據(jù).

一次差分原理如下：設X={x(1),x(2),···,x(n-1)}為一組n維的衛(wèi)星鐘差序列，將衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行歷元間差分，可以得到一組未作預處理的一次差分序列：

對一次差分序列進行預處理后，可以得到經過預處理后的一次差分序列

2.2 一次差分優(yōu)化殘差組合模型

平穩(wěn)時間序列一般可以通過下式表示[12]：

式中：Lt為趨勢項；Rt為殘差隨機項.經過一次差分的衛(wèi)星鐘差序列也存在趨勢項和殘差隨機項，將ARMA模型對衛(wèi)星鐘差序列擬合預測的結果作為趨勢項進行提取，并與ELM 模型優(yōu)良的構建非線性映射能力相結合，即組成一次差分優(yōu)化殘差組合模型，理論上可以提升模型的預測效果.一次差分優(yōu)化殘差組合模型原理如圖2 所示.

具體流程為：

1)對原始一次差分序列做預處理，采用IQR 法進行粗差檢測并剔除粗差，得到預處理后的序列{Δx′(1),Δx′(2),···,Δx′(n-1)}.

2)利用ARMA 模型對序列進行建模，得到建模序列 {Δ(1),Δ(2),···,Δ(n-1)}，并與預處理后的序列作差，得到殘差序列：

5)利用一次差分還原公式將組合模型預報結果進行差分還原，得到一次差分優(yōu)化殘差組合預測結果，即最終預測結果，差分還原的公式為

式中：X(k)為 第k個歷元的預報值；X(n-1)為原始鐘差序列的最后一個鐘差值；ΔX′′(k)為一次差分優(yōu)化殘差組合預測值.

3 實驗結果與分析

為了探究一次差分優(yōu)化殘差組合模型在北斗衛(wèi)星鐘差短期預報的效果，本文使用了2022-03-16 來源于武漢大學IGS 數(shù)據(jù)中心提供的共24 h 事后精密鐘差數(shù)據(jù)，采樣間隔為30 s.并選取同在中軌道地球衛(wèi)星(MEO)軌道的三顆搭載不同類型原子鐘的北斗三號(BDS-3)衛(wèi)星C20(RAFS)、C23(RAFS)和C28(PHM)前12 h 作為建模數(shù)據(jù)進行建模，三顆衛(wèi)星原始相位如圖3 所示.

圖3 三顆衛(wèi)星原始相位

3.1 數(shù)據(jù)預處理和模型構建

由于衛(wèi)星鐘差的原始數(shù)據(jù)通常因為衛(wèi)星鐘漂或者隨機噪聲，不可避免地會產生一定的系統(tǒng)誤差，當系統(tǒng)誤差過大時，數(shù)據(jù)就會出現(xiàn)突兀點和缺失點，不適合直接當作建模數(shù)據(jù)進行建模分析，因此，對數(shù)據(jù)的預處理是十分重要的.對一次差分后的頻率數(shù)據(jù)進行粗差探測剔除可減少誤差影響，從而提高預報精度.根據(jù)之前的討論，本文采用IQR 進行粗差檢測，并與中位數(shù)探測法進行比較，IQR 具體公式如下：

式中：C為判定系數(shù)；x為鐘差的頻率數(shù)據(jù)；M為中位數(shù)；Q1和Q2分別為第25百分數(shù)和第75百分數(shù).當|C|≤2 時，表示數(shù)據(jù)是十分優(yōu)質的；當|C|≥3時表示為異常結果，即存在問題數(shù)據(jù)，本文將|C|＜3作為正常數(shù)據(jù)的標準，以C20 號衛(wèi)星的數(shù)據(jù)為例，實驗結果如圖3～5 所示.

由圖3(a)和圖4 可知，原始相位中存在著肉眼觀測不到的粗差，將相位數(shù)據(jù)轉換成頻率數(shù)據(jù)后，粗差將變得十分明顯，這時采用合適的粗差探測手段可以實現(xiàn)粗差的探測與剔除.

圖4 C20 頻率數(shù)據(jù)

由圖5 可知，MAD 法會漏過一些微小的跳變，導致探測效果不佳，從而影響模型預測精度.與MAD法相比，IQR 探測效果更好，對微小跳變更為敏感，更適合對質量數(shù)據(jù)欠佳的北斗衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行粗差檢測.利用IQR 對數(shù)據(jù)進行粗差檢測，并確定粗差發(fā)生的位置后.可以先將粗差處的數(shù)據(jù)置0，再利用拉格朗日插值法對數(shù)據(jù)進行插值處理，完成對粗差的剔除.

圖5 粗差探測方法比較

ARMA 模型參數(shù)組合的選取和ELM 神經網絡隱含層神經元網絡個數(shù)的確定是進行衛(wèi)星鐘差預報實驗中極其重要的一環(huán)，本文實驗中ARMA 模型參數(shù)組合如表1 所示，ELM 神經網絡輸入層設置為6，輸出層設置為1，隱含層一般為[2,10]范圍內的常數(shù)，具體根據(jù)實驗確定，本文結構為6-2-1，激活函數(shù)為Sigmoid 函數(shù).

表1 ARMA 模型參數(shù)組合

本文將采用均方根誤差(RMSE)來評價預報結果的準確度，計算公式為[13]

式中：為IGS 提供的衛(wèi)星鐘差；xi為模型預測值.

3.2 鐘差預報

為了比較模型的預報精度，本文利用GM(1,1)模型、ARMA 模型和文中的組合預報模型分別對C20、C23、C28 三顆衛(wèi)星前12 h 的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行建模，預測后6 h、12 h 的衛(wèi)星鐘差，進行探究北斗衛(wèi)星鐘差短期預報中一次差分優(yōu)化殘差組合模型的性能的短期實驗.GM(1,1)模型由于在衛(wèi)星鐘差一次差分前就進行了自加和自減，在進行一次差分處理后會導致精度不確定，因此本文對比試驗GM(1,1)模型使用未經一次差分處理的原始鐘差序列，其他模型使用經過一次差分處理后的鐘差序列.實驗結果如圖6～7和表2 所示.

圖6 各模型預報12 h 結果(局部)

圖6(a)～(c)各模型預報各衛(wèi)星12 h 鐘差的局部結果對比，圖7(a)～(c)分別為不同模型預報各衛(wèi)星12 h鐘差的殘差的絕對值對比.表2為不同模型預報6 h和12 h 的預報結果統(tǒng)計，結合圖表分析可知：

圖7 各衛(wèi)星不同模型預報殘差(12 h)

表2 不同模型短期預報結果RMSE 均值統(tǒng)計

1)當衛(wèi)星鐘差原始序列呈較強的線性時，ARMA模型、ELM 模型、優(yōu)化殘差組合模型在使用其一次差分序列后的預測精度都高于GM(1,1)模型，在預報6 h和12 h 衛(wèi)星鐘差序列中都達到了亞納米級；當衛(wèi)星鐘差原始序列呈較強的非線性時，使用一次差分序列的ELM 模型預測精度就會大幅下降，預測精度甚至不如GM(1,1)模型.而使用一次差分序列的ARMA模型和優(yōu)化殘差組合模型的預測能力明顯優(yōu)于其它兩種模型，表現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢.

2)在優(yōu)化殘差組合模型中，主要是ARMA 模型的影響，ELM 的殘差預測項可看作對ARMA 模型的補償與修正，而這種補償效應的效果跟預處理后的一次差分序列中的趨勢性有關.當衛(wèi)星鐘差呈線性時，其一次差分序列往往表現(xiàn)出比較好的趨勢性，而ARMA 模型對趨勢性較強的序列往往有較高的預測精度，此時ELM 模型殘差預測結果的補償具有一定的不確定性，以C20和C23 號衛(wèi)星為例，組合模型在C20 上預測精度不及ARMA 模型，而在C23 號衛(wèi)星上預測精度則高于ARMA 模型.當原始鐘差序列呈非線性時，一次差分序列表現(xiàn)出較強的隨機性，這時ELM 模型的殘差預測結果就能在一定程度上補償ARMA 模型，提升ARMA 模型的預測精度，以C28 號衛(wèi)星為例，組合模型預報精度比ARMA 模型的預報精度在C28 上提升了38.2%，說明組合模型具有一定的效果.

3)由殘差對比結果可知，使用原始衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型預報精度隨預報時長增加預報精度逐漸下降，穩(wěn)定性最差；使用一次差分數(shù)據(jù)的ELM模型面對非線性數(shù)據(jù)時穩(wěn)定性不佳；ARMA 模型和組合模型穩(wěn)定性明顯優(yōu)于其他兩種模型，且組合模型在數(shù)據(jù)呈非線性時預報精度更高，適合被用于北斗衛(wèi)星鐘差短期預報工作中.

4 總結

本研究將對ARMA 模型良好的趨勢提取能力與構建非線性映射能力較強的ELM 神經網絡模型相結合，并應用于BDS-3 鐘差的預報之中，取得了一定的效果.本文首先利用IQR 代替?zhèn)鹘y(tǒng)的MAD 法對北斗衛(wèi)星鐘差一次差分序列進行粗差探測，結果表明，相比于MAD 法，IQR 更適用于對北斗衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差一次差分序列的粗差探測.然后利用ARMA 模型將經過預處理后的衛(wèi)星鐘差一次差分序列分成趨勢項和殘差隨機項，接著利用ELM 神經網絡模型對殘差部分進行建模預測，最后將ARMA模型的預測結果和ELM 神經網絡的殘差預測結果求和后進行差分還原.結果表明，當衛(wèi)星鐘差序列呈非線性時，ELM 模型的殘差預測項對ARMA 模型具有一定的補償效果，可以提升模型的預報精度.在之后的研究中，將采用優(yōu)化算法對ELM 模型進行優(yōu)化，并探究更多種不同模型間組合的效果.