指向初中數(shù)學(xué)本質(zhì)的幾何教學(xué)探究
——以浙教版八下“5.2.1菱形”為例

浙江省衢州市第四實(shí)驗(yàn)學(xué)校 項(xiàng)志成 鄧 達(dá)

隨著課改的深入，課堂教學(xué)的方法、手段變得越來(lái)越豐富.既要提升學(xué)習(xí)興趣，又要提升學(xué)科素養(yǎng)，無(wú)不考驗(yàn)著教師的教學(xué)智慧[1].章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要有具體措施，要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié).”不管我們的教學(xué)形式如何變化，都應(yīng)該堅(jiān)持一個(gè)原則，即注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的呈現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本[2].筆者以浙教版八下“5.2.1菱形”為例，結(jié)合自身多年的實(shí)踐探究，提出個(gè)人的一些思考.

1 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過(guò)折紙活動(dòng)，經(jīng)歷菱形的概念生成和理解的過(guò)程.

(2)類比平行四邊形的研究方法和內(nèi)容，經(jīng)歷菱形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和推理驗(yàn)證的過(guò)程.

(3)掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的四條邊都相等”“菱形的對(duì)角線互相垂直，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”，并應(yīng)用性質(zhì)定理解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 折——由“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”到“數(shù)學(xué)味道”

師生活動(dòng)：取一張長(zhǎng)方形紙片，按下圖1-1,1-2所示的方法對(duì)折兩次，并沿圖1-3中的斜線(虛線)剪開(kāi)，把剪下的Ⅰ這部分展開(kāi)，平鋪在桌面上.

師：剪出的這個(gè)圖形是平行四邊形嗎？你是如何判定的？

生1：是平行四邊形.由折疊可得兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，因此兩組對(duì)邊分別平行.

生2：由折疊可以得到它的一組對(duì)邊平行且相等，或兩組對(duì)邊分別相等，或?qū)蔷€互相平分.

師：這個(gè)平行四邊形還有什么特別之處？

生：它的四條邊都相等.

師：像這樣的平行四邊形，我們把它叫做菱形.類比矩形的定義，你能給菱形下定義嗎？

生：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

設(shè)計(jì)意圖：折紙是教材中“菱形”第2課時(shí)合作學(xué)習(xí)中的內(nèi)容，通過(guò)合理改編教材，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一方面幫助學(xué)生回顧平行四邊形的相關(guān)知識(shí)，另一方面讓學(xué)生經(jīng)歷菱形的概念生成和理解的過(guò)程.通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，由“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)味道”，激發(fā)學(xué)生的探索欲望.

2.2 證——由“幾何直觀”到“邏輯推理”

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，注重邏輯推理的培養(yǎng)，有利于學(xué)生理解一般結(jié)論的來(lái)龍去脈，形成舉一反三的能力，有利于學(xué)生提高探究事物本源的能力.

師：由定義可知，菱形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì).它還具有哪些特殊性質(zhì)呢？

生：菱形的四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直.

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生3：通過(guò)觀察就能得到.

生4：我覺(jué)得可以通過(guò)折疊得到.(該生將手中菱形進(jìn)行折疊.)

師：很好.但觀察、實(shí)驗(yàn)并不等于證明，你能證明嗎？

生：可以.第一個(gè)性質(zhì)利用平行四邊形的性質(zhì)與菱形的定義即可證明.(該生講授證明過(guò)程后，教師板書(shū)該性質(zhì)定理.)

圖2

師：很好.接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們完成第2個(gè)性質(zhì)的證明.

已知：如圖2，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：AC⊥BD.

學(xué)生自主完成證明過(guò)程，教師巡視指導(dǎo)證明的規(guī)范書(shū)寫(xiě)，師生歸納出兩種方法：一是證明三角形全等；二是利用“等腰三角形三線合一”.師生通過(guò)比較，一致認(rèn)為第2種方法更加簡(jiǎn)潔.

追問(wèn)1：利用“等腰三角形三線合一”還能得出什么結(jié)論？

追問(wèn)2：你能通過(guò)折疊得到上述性質(zhì)嗎？

追問(wèn)3：菱形具有怎樣的對(duì)稱性呢？

最后由學(xué)生從邊、角、對(duì)角線以及對(duì)稱性方面對(duì)菱形的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)梳理.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)折紙，引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線三個(gè)要素自主探究菱形的性質(zhì)，明晰研究圖形性質(zhì)的一般路徑，同時(shí)處理好特殊與一般的關(guān)系.通過(guò)進(jìn)一步的證明，加強(qiáng)邏輯推理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.3 用——由“學(xué)以致用”到“舉一反三”

例題如圖2，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交與點(diǎn)O, ∠BAC=30°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線AC的長(zhǎng).

師生活動(dòng)：由學(xué)生自主完成求解過(guò)程，教師指導(dǎo)規(guī)范求解過(guò)程，并作如下追問(wèn).

追問(wèn)1：得出等邊三角形的依據(jù)是什么？

追問(wèn)2：此例題用到了菱形的哪些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：例題是在前面圖形基礎(chǔ)上，對(duì)內(nèi)角的特殊化，讓學(xué)生探究邊、角、對(duì)角線之間的一些結(jié)論，也是對(duì)菱形中特殊三角形挖掘的延續(xù).

2.4 變——由“千變?nèi)f化”到“追本溯源”

練一練如圖3，已知菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E,F.求證：AE=CF.

圖3

圖4

方法1：證△ABE≌△ADF可得AE=CF.

方法2：S菱形ABCD=BC·AE=CD·AF，再由BC=CD可得AE=CF.

變式1如圖4，已知菱形ABCD中，E,F分別是CB，CD上的點(diǎn)，且BE=DF.

求證：∠AEF=∠AFE.

方法1：證△ABE≌△ADF可得AE=AF，再由等腰三角形性質(zhì)可證得結(jié)論.

方法2：連結(jié)AC，證CE=CF，再由“等腰三角形三線合一”可得.

圖5

變式2如圖5，在菱形ABCD中,∠ABC=60°.現(xiàn)將一塊含60°的三角尺AMN (其中∠NAM=60°)疊放在菱形上,然后將三角尺繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)AM交邊BC于點(diǎn)E,AN交邊CD于點(diǎn)F,那么BE+DF與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

分析：連結(jié)AC，證△ABE≌△ACF或△ACE≌△ADF，再由“菱形的四條邊都相等”可得.

追問(wèn)：四邊形AECF與菱形ABCD的面積之間有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，體現(xiàn)“萬(wàn)變不離其宗”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，追本溯源，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).以教材習(xí)題為基本素材，通過(guò)點(diǎn)E,F在菱形邊上的位置變化，進(jìn)行變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)菱形性質(zhì)的理解.

通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的方式展開(kāi)小結(jié)，從研究?jī)?nèi)容到研究方法的延伸，將本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前，內(nèi)化整堂課所學(xué)內(nèi)容，由“知識(shí)梳理”到“思維提升”的演變，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

3 教學(xué)反思與感悟

3.1 聚焦數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，它是讓學(xué)生內(nèi)心生長(zhǎng)的一種有效途徑.在本節(jié)課教學(xué)中，通過(guò)折紙，引導(dǎo)學(xué)生類比平行四邊形，自主探究菱形的性質(zhì).讓學(xué)生聚焦在折紙這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上，去發(fā)現(xiàn)與經(jīng)歷菱形的概念的形成與理解，有效地撬動(dòng)學(xué)生的思維自然生長(zhǎng)，理性思考，有助于在教和學(xué)中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

3.2 挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵，提升學(xué)科素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在“課程設(shè)計(jì)思路”中明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力.”因此，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留于知識(shí)層面，而是讓學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，促進(jìn)思維的自然生長(zhǎng)；引領(lǐng)學(xué)生去充分挖掘菱形的內(nèi)涵；同時(shí)在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，積極培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[3].