二次函數(shù)中動點存在性問題解題策略
——以三角形存在性問題為例

揚州大學數(shù)學科學學院 圣慧晴 王 龍

二次函數(shù)動點問題中三角形存在性問題是常見的圖象動點問題，它是指“通過某一動點把函數(shù)具有的基本特征與幾何圖形加以有效結(jié)合”[1]，它常將幾何運算與函數(shù)、分類討論、方程等問題融合，考查三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容.對于該類動點問題，只要認真分析其本質(zhì)——“變”與“不變”的情況，把握分類依據(jù)，對可能的情況進行分類討論，然后建立相關(guān)的函數(shù)解析式或方程即可求解.下面將以等腰三角形和相似三角形的存在性問題為例進行說明.

1 例題解析

(1)求A，B，C三點的坐標；

(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

解析：(1)令y=0,可得x1=-3，x2=4 ,故A(-3，0)，B(4，0).令x=0,可得y=-4，故C(0，-4).

因此A(-3，0)，B(4，0)，C(0，-4).

(2)因為B(4，0)，C(0，-4)，所以lBC:y=x-4.又Q在BC上，可設(shè)Q(m，m-4)(0

以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形共有三種情況，下面分類討論.

評析：本題考查了二次函數(shù)動點問題中等腰三角形的存在問題.第(1)問屬于常規(guī)問題，較為簡單.第(2)問主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，難度屬于中等檔次.第(2)問究其本質(zhì)，考查的是等腰三角形兩條腰相等的性質(zhì)，找到這兩條腰就是突破本題的關(guān)鍵.題目并沒有明確給出哪條邊是腰，因此需要進行分類討論.

圖2

例2如圖2，在平面直角坐標系中，直線y=x-1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點，其中A(m,0)，B(4,n)，該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D.

(1)求m,n的值及該拋物線的解析式；

圖3

(2)如圖3，連接BD,CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A,D,Q為頂點的三角形與ABD相似？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

故A(1,0)，B(4,3).

又點A，B均在拋物線上，則

所以y=-x2+6x-5.

(2)存在.

令x=0,得y=-5，故C(0,-5).

因為A(1,0)，B(4,3)，C(0,-5)，D(5,0)，所以

因為kAB=kCD，所以AB∥CD.

故∠BAD=∠ADC.

因此，當△ABD與△AQD相似時，只有以下兩種情況：①△ABD∽△DAQ，②△ABD∽△DQA.因為點Q在線段CD上，又kCD=1，故lCD:y=x-5，不妨設(shè)Q(q,q-5)(0≤q≤5).

圖4

圖5

評析：本題考查了二次函數(shù)的解析式和相似三角形動點存在性問題.第(1)問屬于常規(guī)問題，比較簡單.第(2)問則是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上融合了三角形相似的內(nèi)容.求解第(2)問時要關(guān)注題目中三角形頂點的順序問題，再進行分類討論.對于該題的分類，因為已知有一組角已經(jīng)相等，即已經(jīng)確定了一組對應(yīng)點，那么只需對剩下的兩組角相等的情況進行分類，然后聯(lián)立解方程即可.

2 策略總結(jié)

從以上兩道例題可以看出，在求解二次函數(shù)中三角形存在性問題時，常與分類討論思想相結(jié)合.分類的依據(jù)是解題的核心與關(guān)鍵，在等腰三角形中，常常以邊的相等情況為分類依據(jù)；在相似三角形中，角相等或邊成比例往往成為分類依據(jù).其次，方程思想也是不容忽視的重要思想，在進行分類后，往往會通過聯(lián)立方程求解.對于題目中所包含的邊、角關(guān)系都需要引起重視，這些都可以為聯(lián)立方程提供依據(jù).最后，三角形存在性問題是建立在二次函數(shù)的定義、性質(zhì)的基礎(chǔ)上對問題進行的變式與創(chuàng)新，其本質(zhì)不變，故能透徹理解和應(yīng)用二次函數(shù)的知識是最基本的要求.對于等腰三角形和相似三角形存在性問題，總結(jié)如下解題策略.

證明等腰三角形存在時：(1)寫出等腰三角形存在的三種方程；(2)利用坐標之間的關(guān)系表示出三條邊；(3)將所表示邊代入方程求解.值得注意的是，審題需要注意自變量的取值范圍，這往往也是限制方程解的條件.

證明相似三角形存在問題：(1)根據(jù)題目信息，找出已知可能相等的角或邊的比例關(guān)系；(2)將剩下的角或邊分別進行配對得到相似；(3)根據(jù)相似得到邊的比例關(guān)系，再將各邊表示出來代入等式方程求解即可.

總之，掌握二次函數(shù)中動點存在性問題的相關(guān)解題策略對學生解題有著非常大的幫助作用，本文主要以兩種特殊的三角形為例進行展示，希望可以為學生熟練掌握解題技巧，以及靈活運用知識提供助力.