抓住數(shù)學(xué)本質(zhì) 考查核心知識(shí)
——一道中考?jí)狠S題的命制歷程

湖北省宜昌市夷陵區(qū)東湖初級(jí)中學(xué) 黃 新 湖北省宜昌市教育科學(xué)研究院 張 欽

筆者曾有幸參加中考數(shù)學(xué)命題工作，現(xiàn)將中考數(shù)學(xué)試卷第23題的命題考查靶向、命題預(yù)設(shè)、素材選取、雛形編制、試題打磨等命制過程進(jìn)行展示，與大家分享.

1 設(shè)想與來源

1.1 命題設(shè)想

中考是在完成義務(wù)教育基礎(chǔ)上進(jìn)行的選拔性考試，命題要考慮初中學(xué)生升入高中后繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力.根據(jù)中考功能，命題組確定第23題為幾何壓軸題，命題定位于通過幾何圖形的運(yùn)動(dòng)與變換，借助數(shù)學(xué)活動(dòng)，考查數(shù)學(xué)核心知識(shí).命題設(shè)想以教材中的素材為原型，最好在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中選取；重視推理，突出考查合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合[1]；關(guān)注探究，注重對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查；關(guān)注交匯，考查初中幾何核心知識(shí)，規(guī)避試題模式化；注重公平，規(guī)避資料上出現(xiàn)的題目；強(qiáng)化核心，有效導(dǎo)向初中幾何的教與學(xué).

1.2 試題取材

查看人教版教材，筆者首先找到人教版八年級(jí)下冊(cè)第64頁(yè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的活動(dòng)1： 折紙做60°，30°，15°的角.

圖1

教材原題: 如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如圖1).

(1)對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

(2)再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM.同時(shí)，得到了線段BN.

觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系？你能證明嗎？

教材意圖：教材給出利用矩形紙片折出30°角的方法，運(yùn)用折的過程得到全等三角形，以及利用直角邊和斜邊的關(guān)系判斷30°角的方法，這個(gè)活動(dòng)既有動(dòng)手操作，又有一定的趣味性.本活動(dòng)關(guān)注學(xué)生通過動(dòng)手操作和觀察經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，并感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累基本學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)復(fù)習(xí)矩形的性質(zhì)、三角形全等以及直角三角形等核心知識(shí).

2 試題編制與打磨

作為中考數(shù)學(xué)試題中的幾何壓軸題，考查高度必須高于教材難度，并且盡量覆蓋初中階段幾何核心知識(shí)，考查基本圖形的典型性質(zhì).母題出現(xiàn)在八年級(jí)下冊(cè)，它所涉及的初中幾何知識(shí)比較少，筆者在此圖形的基礎(chǔ)上，通過折疊變換改變條件，整合相關(guān)性質(zhì)和圖形間關(guān)系，以探究相關(guān)結(jié)論來創(chuàng)編,達(dá)到命題預(yù)設(shè).

2.1 改變折疊方式，初稿框架稚現(xiàn)

第1稿：四邊形ABCD是矩形，P是AB上一點(diǎn)，將△PBC沿PC折疊得到△PB′C，直線CB′與AD交于點(diǎn)E，BE，CP交于點(diǎn)F，DC=6.

(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)，比較線段AE與DE的大小；

圖2

圖3

(2)如圖3，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，有唯一點(diǎn)P使PB′∥BE，求AP∶PB；

圖4

(3)如圖4，當(dāng)PB′∥BE時(shí)，半徑為2的⊙O與△PBC的兩邊相切，且點(diǎn)O在△PBC的內(nèi)部或邊上，求PB的取值范圍.

診斷分析：第(1)問為“比較線段長(zhǎng)度大小”這個(gè)基本的數(shù)學(xué)問題，考查折疊的基本性質(zhì)及直角三角形邊角關(guān)系，絕大多數(shù)學(xué)生能解決，體現(xiàn)了試題由易到難的基本特征.第(2)問考點(diǎn)設(shè)置比較好，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.第(3)問關(guān)聯(lián)圓的知識(shí)，突出了對(duì)核心知識(shí)與方法的考查預(yù)設(shè).第1稿出來之后，命題組成員認(rèn)為“以矩形及矩形折疊為基本條件，將矩形上一點(diǎn)設(shè)置為動(dòng)點(diǎn)，折疊所得圖形隨動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)而變化”為題干的思路比較好.但是，第(2)問入口太窄，方法比較單一，難度偏大，建議將動(dòng)點(diǎn)改為定點(diǎn)，重新編制題干；第(3)問把圓的知識(shí)放進(jìn)去，感覺比較突兀，導(dǎo)致本道題不流暢、不自然，有拼湊之嫌，同時(shí)分類太多致使書寫量偏大，不利于考生解答.于是嘗試將(3)中“⊙O與△PBC的兩邊相切”改為“以CF為直徑作圓，交DE于點(diǎn)G”，將動(dòng)圓設(shè)置為定圓，以更好地突出考查數(shù)學(xué)本質(zhì)，于是得到第2稿.

2.2 精準(zhǔn)考查核心， 改造條件設(shè)問

第2稿：四邊形ABCD是矩形，P是AB上一點(diǎn)，將△PBC沿PC折疊得到△PB′C，CB′與AD交于點(diǎn)E，BE，CP交于點(diǎn)F，PB′∥BE.

(1)如圖5，①求證：BP=BF；②E是AD的中點(diǎn)，且AD=nAB，求n的值.

圖5

圖6

診斷分析：第2稿中，第(1)問中“E是AD的中點(diǎn)，且AD=nAB”不簡(jiǎn)約，并且條件“AD=nAB”的出現(xiàn)，可能會(huì)給學(xué)生帶來一定的思維障礙；第(2)問設(shè)置求“tan∠ECG”，需要學(xué)生自己搭橋太多，計(jì)算量過大，證三角形相似次數(shù)太多，而且方法單一.命題組經(jīng)過討論，認(rèn)為圓在這里出現(xiàn)仍比較牽強(qiáng)，不能突出對(duì)核心知識(shí)的考查，決定只在直線型中挖掘新的結(jié)論，突出對(duì)學(xué)生解決問題方式的考查.

2.3 優(yōu)化條件設(shè)問，突出運(yùn)算推理

第3稿：已知矩形ABCD中，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿著直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，CG交線段AD于點(diǎn)E，連接BE，與線段PC交于點(diǎn)F，且BE⊥CG.

(1)如圖7，AE=DE，求證：AD=2AB；

圖7

圖8

(2)如圖8，AE

診斷分析：在討論第3稿時(shí)認(rèn)為，設(shè)置第(1)問的目的，一是考查三角形全等的證明方法，二是為求tan∠PCB的值作鋪墊.雖然第(1)問中設(shè)置的“求證AD=2AB”的方法較多，有利于考查思維的全面性，但對(duì)于本題后續(xù)問題的解決有干擾，并且后續(xù)第(2)問中的①②問都要用到三角形相似的知識(shí)，因此決定將第(1)問直接設(shè)置為證三角形全等.第(2)問給的數(shù)據(jù)為分?jǐn)?shù)，在形式上給學(xué)生造成運(yùn)算的心理負(fù)擔(dān)，于是將條件中的數(shù)據(jù)設(shè)置為整數(shù)，給學(xué)生以簡(jiǎn)潔的感覺，體現(xiàn)人文關(guān)懷，但是對(duì)比本地模擬題中大多是求正切值，①中求tan∠PCB的值存在套路，達(dá)不到預(yù)期的區(qū)分度，因此改為“求cos∠PCB的值”.

2.4 直擊數(shù)學(xué)本質(zhì) ， 彰顯人文關(guān)懷

確定好題目考查方向后，再次核對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)應(yīng)的知識(shí)及能力要求，看是否符合命題要求.最后環(huán)節(jié)是語(yǔ)句的打磨及圖形的再構(gòu)造，確保試題簡(jiǎn)潔、美觀、悅目，確?？疾榈男Ф萚2]，彰顯人文關(guān)懷.最后得到如下中考數(shù)學(xué)第23題.

中考稿：在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，BE交PC于F，點(diǎn)E在AD上.

(1)如圖9，當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：△EAB≌△EDC；

(2)如圖10，①求證：BP=BF；

②當(dāng)AD=25，且AE

③當(dāng)BP=9時(shí)，BE·EF的值.

圖9

圖10

診斷分析：本題最終以矩形為背景進(jìn)行圖形變換，以考查幾何推理為主，并設(shè)問求線段長(zhǎng)的乘積及三角函數(shù)值等，充分考查學(xué)生幾何直觀、空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).設(shè)問具有關(guān)聯(lián)性，“①求證：BP=BF”，為解決第②問起到搭橋的作用；②中條件“AE

3 命題感悟

3.1 打磨細(xì)節(jié)，增強(qiáng)考查的效度

編制本題時(shí)，難點(diǎn)定在對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查，并在題干及問題設(shè)置上滲透人文關(guān)懷.精心打磨題干語(yǔ)言，力求與教材中的習(xí)題語(yǔ)言的規(guī)范性一致，通過多次打磨，降低了學(xué)生閱讀量，學(xué)生不存在閱讀障礙；精心搭建橋梁臺(tái)階，通過設(shè)置遞進(jìn)式問題引導(dǎo)學(xué)生思維；精心拓寬解題入口，秉承“人人都有獲得數(shù)學(xué)教育的機(jī)會(huì)”理念，爭(zhēng)取讓 “人人都敢于嘗試壓軸題”，試題解法多樣，便于不同水平的考生都能有施展身手的舞臺(tái).

3.2 適時(shí)反思，著眼核心素養(yǎng)