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    抓住數(shù)學(xué)本質(zhì) 考查核心知識(shí)
    ——一道中考?jí)狠S題的命制歷程

    2023-03-23 00:00:21湖北省宜昌市夷陵區(qū)東湖初級(jí)中學(xué)湖北省宜昌市教育科學(xué)研究院
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:矩形線段命題

    湖北省宜昌市夷陵區(qū)東湖初級(jí)中學(xué) 黃 新 湖北省宜昌市教育科學(xué)研究院 張 欽

    筆者曾有幸參加中考數(shù)學(xué)命題工作,現(xiàn)將中考數(shù)學(xué)試卷第23題的命題考查靶向、命題預(yù)設(shè)、素材選取、雛形編制、試題打磨等命制過程進(jìn)行展示,與大家分享.

    1 設(shè)想與來源

    1.1 命題設(shè)想

    中考是在完成義務(wù)教育基礎(chǔ)上進(jìn)行的選拔性考試,命題要考慮初中學(xué)生升入高中后繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力.根據(jù)中考功能,命題組確定第23題為幾何壓軸題,命題定位于通過幾何圖形的運(yùn)動(dòng)與變換,借助數(shù)學(xué)活動(dòng),考查數(shù)學(xué)核心知識(shí).命題設(shè)想以教材中的素材為原型,最好在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中選取;重視推理,突出考查合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合[1];關(guān)注探究,注重對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查;關(guān)注交匯,考查初中幾何核心知識(shí),規(guī)避試題模式化;注重公平,規(guī)避資料上出現(xiàn)的題目;強(qiáng)化核心,有效導(dǎo)向初中幾何的教與學(xué).

    1.2 試題取材

    查看人教版教材,筆者首先找到人教版八年級(jí)下冊(cè)第64頁(yè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的活動(dòng)1: 折紙做60°,30°,15°的角.

    圖1

    教材原題: 如果我們身旁沒有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的方法(如圖1).

    (1)對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.

    (2)再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM.同時(shí),得到了線段BN.

    觀察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,這三個(gè)角有什么關(guān)系?你能證明嗎?

    教材意圖:教材給出利用矩形紙片折出30°角的方法,運(yùn)用折的過程得到全等三角形,以及利用直角邊和斜邊的關(guān)系判斷30°角的方法,這個(gè)活動(dòng)既有動(dòng)手操作,又有一定的趣味性.本活動(dòng)關(guān)注學(xué)生通過動(dòng)手操作和觀察經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考,主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí),并感悟數(shù)學(xué)思想方法,積累基本學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)復(fù)習(xí)矩形的性質(zhì)、三角形全等以及直角三角形等核心知識(shí).

    2 試題編制與打磨

    作為中考數(shù)學(xué)試題中的幾何壓軸題,考查高度必須高于教材難度,并且盡量覆蓋初中階段幾何核心知識(shí),考查基本圖形的典型性質(zhì).母題出現(xiàn)在八年級(jí)下冊(cè),它所涉及的初中幾何知識(shí)比較少,筆者在此圖形的基礎(chǔ)上,通過折疊變換改變條件,整合相關(guān)性質(zhì)和圖形間關(guān)系,以探究相關(guān)結(jié)論來創(chuàng)編,達(dá)到命題預(yù)設(shè).

    2.1 改變折疊方式,初稿框架稚現(xiàn)

    第1稿:四邊形ABCD是矩形,P是AB上一點(diǎn),將△PBC沿PC折疊得到△PB′C,直線CB′與AD交于點(diǎn)E,BE,CP交于點(diǎn)F,DC=6.

    (1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí),比較線段AE與DE的大小;

    圖2

    圖3

    (2)如圖3,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中,有唯一點(diǎn)P使PB′∥BE,求AP∶PB;

    圖4

    (3)如圖4,當(dāng)PB′∥BE時(shí),半徑為2的⊙O與△PBC的兩邊相切,且點(diǎn)O在△PBC的內(nèi)部或邊上,求PB的取值范圍.

    診斷分析:第(1)問為“比較線段長(zhǎng)度大小”這個(gè)基本的數(shù)學(xué)問題,考查折疊的基本性質(zhì)及直角三角形邊角關(guān)系,絕大多數(shù)學(xué)生能解決,體現(xiàn)了試題由易到難的基本特征.第(2)問考點(diǎn)設(shè)置比較好,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.第(3)問關(guān)聯(lián)圓的知識(shí),突出了對(duì)核心知識(shí)與方法的考查預(yù)設(shè).第1稿出來之后,命題組成員認(rèn)為“以矩形及矩形折疊為基本條件,將矩形上一點(diǎn)設(shè)置為動(dòng)點(diǎn),折疊所得圖形隨動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)而變化”為題干的思路比較好.但是,第(2)問入口太窄,方法比較單一,難度偏大,建議將動(dòng)點(diǎn)改為定點(diǎn),重新編制題干;第(3)問把圓的知識(shí)放進(jìn)去,感覺比較突兀,導(dǎo)致本道題不流暢、不自然,有拼湊之嫌,同時(shí)分類太多致使書寫量偏大,不利于考生解答.于是嘗試將(3)中“⊙O與△PBC的兩邊相切”改為“以CF為直徑作圓,交DE于點(diǎn)G”,將動(dòng)圓設(shè)置為定圓,以更好地突出考查數(shù)學(xué)本質(zhì),于是得到第2稿.

    2.2 精準(zhǔn)考查核心, 改造條件設(shè)問

    第2稿:四邊形ABCD是矩形,P是AB上一點(diǎn),將△PBC沿PC折疊得到△PB′C,CB′與AD交于點(diǎn)E,BE,CP交于點(diǎn)F,PB′∥BE.

    (1)如圖5,①求證:BP=BF;②E是AD的中點(diǎn),且AD=nAB,求n的值.

    圖5

    圖6

    診斷分析:第2稿中,第(1)問中“E是AD的中點(diǎn),且AD=nAB”不簡(jiǎn)約,并且條件“AD=nAB”的出現(xiàn),可能會(huì)給學(xué)生帶來一定的思維障礙;第(2)問設(shè)置求“tan∠ECG”,需要學(xué)生自己搭橋太多,計(jì)算量過大,證三角形相似次數(shù)太多,而且方法單一.命題組經(jīng)過討論,認(rèn)為圓在這里出現(xiàn)仍比較牽強(qiáng),不能突出對(duì)核心知識(shí)的考查,決定只在直線型中挖掘新的結(jié)論,突出對(duì)學(xué)生解決問題方式的考查.

    2.3 優(yōu)化條件設(shè)問,突出運(yùn)算推理

    第3稿:已知矩形ABCD中,P是邊AB上一點(diǎn),把△PBC沿著直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,CG交線段AD于點(diǎn)E,連接BE,與線段PC交于點(diǎn)F,且BE⊥CG.

    (1)如圖7,AE=DE,求證:AD=2AB;

    圖7

    圖8

    (2)如圖8,AE

    診斷分析:在討論第3稿時(shí)認(rèn)為,設(shè)置第(1)問的目的,一是考查三角形全等的證明方法,二是為求tan∠PCB的值作鋪墊.雖然第(1)問中設(shè)置的“求證AD=2AB”的方法較多,有利于考查思維的全面性,但對(duì)于本題后續(xù)問題的解決有干擾,并且后續(xù)第(2)問中的①②問都要用到三角形相似的知識(shí),因此決定將第(1)問直接設(shè)置為證三角形全等.第(2)問給的數(shù)據(jù)為分?jǐn)?shù),在形式上給學(xué)生造成運(yùn)算的心理負(fù)擔(dān),于是將條件中的數(shù)據(jù)設(shè)置為整數(shù),給學(xué)生以簡(jiǎn)潔的感覺,體現(xiàn)人文關(guān)懷,但是對(duì)比本地模擬題中大多是求正切值,①中求tan∠PCB的值存在套路,達(dá)不到預(yù)期的區(qū)分度,因此改為“求cos∠PCB的值”.

    2.4 直擊數(shù)學(xué)本質(zhì) , 彰顯人文關(guān)懷

    確定好題目考查方向后,再次核對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)應(yīng)的知識(shí)及能力要求,看是否符合命題要求.最后環(huán)節(jié)是語(yǔ)句的打磨及圖形的再構(gòu)造,確保試題簡(jiǎn)潔、美觀、悅目,確??疾榈男Ф萚2],彰顯人文關(guān)懷.最后得到如下中考數(shù)學(xué)第23題.

    中考稿:在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點(diǎn),把△PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BE⊥CG,垂足為E,BE交PC于F,點(diǎn)E在AD上.

    (1)如圖9,當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí),求證:△EAB≌△EDC;

    (2)如圖10,①求證:BP=BF;

    ②當(dāng)AD=25,且AE

    ③當(dāng)BP=9時(shí),BE·EF的值.

    圖9

    圖10

    診斷分析:本題最終以矩形為背景進(jìn)行圖形變換,以考查幾何推理為主,并設(shè)問求線段長(zhǎng)的乘積及三角函數(shù)值等,充分考查學(xué)生幾何直觀、空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).設(shè)問具有關(guān)聯(lián)性,“①求證:BP=BF”,為解決第②問起到搭橋的作用;②中條件“AE

    3 命題感悟

    3.1 打磨細(xì)節(jié),增強(qiáng)考查的效度

    編制本題時(shí),難點(diǎn)定在對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查,并在題干及問題設(shè)置上滲透人文關(guān)懷.精心打磨題干語(yǔ)言,力求與教材中的習(xí)題語(yǔ)言的規(guī)范性一致,通過多次打磨,降低了學(xué)生閱讀量,學(xué)生不存在閱讀障礙;精心搭建橋梁臺(tái)階,通過設(shè)置遞進(jìn)式問題引導(dǎo)學(xué)生思維;精心拓寬解題入口,秉承“人人都有獲得數(shù)學(xué)教育的機(jī)會(huì)”理念,爭(zhēng)取讓 “人人都敢于嘗試壓軸題”,試題解法多樣,便于不同水平的考生都能有施展身手的舞臺(tái).

    3.2 適時(shí)反思,著眼核心素養(yǎng)

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