拼圖 直觀 思考*
——以數(shù)學實驗“玩轉(zhuǎn)方塊紙”為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實驗中學 葛善成 李明樹

《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗和理解、思考與探索……要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系.”[1]七年級學生好動、好奇、好表現(xiàn)，采用形象生動的數(shù)學實驗教學有利于激發(fā)學生的學習興趣，有利于學生廣泛、積極主動地參與學習.

1 教學案例

1.1 創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

播放微視頻，了解幾何形體畫派創(chuàng)始人蒙德里安及其作品；欣賞蒙德里安晚期的代表作《紅、黃、藍的構成》(如圖1).

圖1

師：你能從這幅作品中發(fā)現(xiàn)什么？

生1：長方形、正方形，水平線、垂直線，等等.

師：很好！看來你也有成為數(shù)學家的潛質(zhì).

師：事實上，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)如果一個正方形的邊長是整數(shù)，那么它就可以被分割成有限個邊長為1的小正方形.大家同意嗎？

生(眾)：同意.

師：舉個例子，如果正方形的邊長是5，那么它可以被分割成多少個邊長為1的小正方形？

生2：25個.

師：有沒有可能分割成26個正方形？

生3：不可能.

設計意圖：通過欣賞藝術作品，學生既可以體會藝術來源于數(shù)學，發(fā)展自身的審美趣味，感悟數(shù)學的文化價值，同時又為用圖形法證明無理數(shù)奠定邏輯基礎(即一個邊長是整數(shù)的正方形可以被分割成有限個邊長為1的小正方形).

1.2 問題探究，建構模型

問題1計算1+2+3+4+……+99+100.

生4：由錯位相加法，可知

師：非常棒！還有其他做法嗎？

生5：分組相加，原式=(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5 050.

師：很好！我們還可以從“形”的角度研究這個算式，加數(shù)1可以用1個小方塊表示，加數(shù)2可以用兩個小方塊表示……，把這些小方塊拼在一起(如圖2).

圖2

師：這幅圖形像什么呢？

生6：梯形、三角形、階梯……

師：這個圖形與算式的和有什么關系呢？

生7：圖形中小方塊的數(shù)量就是算式的和.

生8：圖形的面積就是算式的和.

師：很好！那如何求這個圖形的面積呢？

圖3

師：非常好！借助方塊紙把原算式轉(zhuǎn)化成“階梯形”，再用拼圖法求“階梯形”的面積，求出原算式的和，那么你能求1+2+3+……+(n-1)+n的和嗎？

師：很好！那么你能用類似的方法解決問題2嗎？

設計意圖：引導學生從形的角度思考，探索方塊紙的擺放規(guī)律，感受數(shù)與形之間存在的一定關聯(lián)，為學生更好地理解求和問題提供了直觀便捷的途徑.

問題2計算1+3+5+7+……+(2n-1).

圖4

生11：把這些小方塊拼成一個大正方形(如圖4)，大正方形的邊長為n，所以大正方形的面積為n2，即原式=n2.

圖5

師：非常棒！那么接下來可以算什么？

生13：連續(xù)的偶數(shù)和.

師：很好！自己動手操作試試看.(略)

設計意圖：在問題1的基礎上，探究連續(xù)奇數(shù)和的拼圖規(guī)律，學生在充分嘗試、猜想、調(diào)整、再探究之后展示方案，進而解決連續(xù)偶數(shù)的和問題.幫助學生抓住利用拼圖求和的本質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的連貫性和深刻性.

1.3 類比遷移，深度探究

問題3計算：12+22+32+……+n2.

生14：我由問題2聯(lián)想到每一個加數(shù)都對應著一個“階梯形”(如圖6)，然后把這些“階梯形”拼成一個規(guī)則圖形求面積，但好像拼不了.

圖6

師：把這些“階梯形”每一層剪開，然后在KT板上拼一拼，試試看.

圖7

設計意圖：問題3的思維層次較高，具有一定的挑戰(zhàn)性.引導學生用前面積累的活動經(jīng)驗，將抽象的算式具體化、形象化，分析不同拼圖方案的可行性，使其經(jīng)歷自主探究、合作交流并形成數(shù)學模型的過程.

問題4計算：13+23+33+43+……+n3.

圖8

師：小組合作，動手操作.

師：還有其他思路嗎？

生17：用小立方體拼圖……(略)

設計意圖：問題4的設計遵循了由低到高、螺旋遞進的原則，基于前面的經(jīng)驗積累，學生的抽象思維能力得到了提升，解決該問題的方案也多樣化.對于學生的各種方案，可鼓勵學生在課后繼續(xù)探究.

1.4 回歸課本，啟思明理

師：這里有兩個邊長為1的小正方形，你能把它們剪拼成一個大正方形嗎？

生18：可以，如圖9.

圖9

師：大正方形的面積是多少呢？

生19：大正方形是由兩個面積為1的小正方形拼成，所以大正方形面積為2.

師：如果設大正方形邊長為a，那么a是多少呢？

生20：好像是無理數(shù).

問題5 若a2=2，則a是有理數(shù)嗎？

(眾生疑惑.)

圖10

生21：圖10中，兩個未重合的小正方形面積之和等于重合的大正方形面積.

生22：重合的大正方形和未重合的兩個小正方形邊長分別是2n-m,m-n，都是整數(shù).

圖11

生23：這個過程可以無限迭代，原大正方形可以無限分割(如圖11)下去，最終會有某一個小正方形的邊長小于1，這與“一個邊長是整數(shù)的正方形可以被分割成有限個邊長為1的小正方形”這一常識不符，所以假設是不成立的，即a是無理數(shù).

師：非常棒！你能用類似的方法判斷——若a2=3，則a是有理數(shù)嗎？(略)

設計意圖：無理數(shù)對七年級學生而言是一個非常抽象難懂的概念，首先通過拼圖讓學生感受無理數(shù)的客觀存在，其次由于用有理數(shù)逼近無理數(shù)的過程算不完、算不盡，學生的接受程度并不高，通過無限拼圖，將抽象的無理數(shù)證明直觀化，彰顯從實踐操作到極限思維的升華，提升學生數(shù)學思維品質(zhì).

1.5 交流收獲，課堂小結

讓學生交流本節(jié)課的收獲.

2 教學反思

2.1 在拼圖中啟思

數(shù)學的發(fā)展歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學內(nèi)容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐.在數(shù)學教學中運用適當?shù)膱D形或直觀的模型能夠幫助學生啟發(fā)思路，理解抽象的數(shù)學知識，有利于學生的思維向更高級、更抽象的方向發(fā)展，自然數(shù)的求和問題對學生來說比較抽象，為突破這一難點，筆者以具身認識理論為指導，借助于方塊紙設計拼圖實驗，啟發(fā)學生主動思考.將算式中的加數(shù)用方塊紙表示，那么算式的和就轉(zhuǎn)化成所有方塊紙的面積和，那么如何求方塊紙的面積和呢？啟發(fā)學生把方塊紙拼成有規(guī)律的圖形.基于以上的活動經(jīng)驗，學生甚至可以在“頭腦”中拼圖，求出連續(xù)偶數(shù)的和.通過動手操作、動腦思考的拼圖，啟發(fā)學生自主探究，體驗和感受數(shù)學結論發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程，進而培養(yǎng)學生主動發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題的能力.

2.2 在直觀中明理

幾何直觀有助于學生直觀地理解數(shù)學，在培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和提升數(shù)學素養(yǎng)等方面影響深遠.實踐證明，數(shù)學實驗是培養(yǎng)學生幾何直觀素養(yǎng)的有效載體，具有獨特的作用和價值.筆者利用方塊紙進行拼圖實驗培養(yǎng)學生體驗操作的習慣，在實驗中自然地發(fā)展學生幾何直觀素養(yǎng).例如，問題5在直觀操作的基礎上，將直觀與簡單推理相結合，從圖形的角度證明a是無理數(shù)，簡潔但不失邏輯的嚴密性.學生在實驗中經(jīng)歷觀察、分析、交流、猜想、歸納等創(chuàng)造性的思維過程，構建方塊紙無限分割的直觀模型，從中感受到數(shù)與形的聯(lián)系，獲得過程性的知識.探索證明這一類無理數(shù)的思路使得操作與推理得到統(tǒng)一，拓展了學生思維生長的空間.

2.3 在思考中發(fā)展

筆者借助方塊紙這一直觀素材誘發(fā)學生的直觀思維，引導學生動手“做”數(shù)學，啟發(fā)學生的智力因素和非智力因素參與探究，達到啟思的目的.探究的過程雖然不是嚴格的數(shù)學證明，但學生在“做”數(shù)學過程中的簡單推理，就是明理的過程.其中，方塊紙拼圖是教學明線，正是因為方塊紙的介入，使相對枯燥的數(shù)學問題變得有趣、有意義，讓抽象的思考過程變得可視化.借助直觀啟發(fā)思考、積累基本活動經(jīng)驗則是教學暗線，如在問題1的引領下，借助方塊紙拼圖求連續(xù)奇數(shù)和、連續(xù)偶數(shù)和、連續(xù)自然數(shù)的立方和顯得并不困難，甚至可在“頭腦”中想象拼圖，做到把“做數(shù)學”和“想數(shù)學”結合在一起，體現(xiàn)手腦協(xié)同的理念.在明暗結合、啟思明理中引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，以簡馭繁，為學生的持續(xù)發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件.