開展探究式教學(xué) 提升整體性認(rèn)知
——以“平行四邊形的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

深圳市寶安區(qū)海樂實(shí)驗(yàn)學(xué)校 高 宇

廣東省深圳市教科院舉辦的數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，筆者有幸執(zhí)教北師大版八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形的判定” 第一課時(shí)，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄與大家分享.

1 教材分析

學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)容，三角形的研究方法和研究路徑為四邊形的學(xué)習(xí)奠定了理論基礎(chǔ)，找準(zhǔn)了研究方向,同時(shí)滲透了類比、轉(zhuǎn)化、化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力和圖形遷移能力.

平行四邊形的判定既是對(duì)前面所學(xué)平行線、三角形和平行四邊形等相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用和深化，也為后面學(xué)習(xí)特殊平行四邊形積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)有了三角形、平行四邊形定義和性質(zhì)的知識(shí)儲(chǔ)備，經(jīng)歷了從一般到特殊、從定義到性質(zhì)到判定再到應(yīng)用的探究過程.學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形、直角三角形中積累了幾何圖形判定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯性還不夠.因此在教學(xué)過程中，教師需要做好引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和自主探究，從而讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)平行四邊形判定定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力.

3 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握平行四邊形的判定定理，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、空間觀念，幾何直觀；

(2)通過剪、拼的方法探索平行四邊形的判定條件，在實(shí)踐探究活動(dòng)中將幾何直觀和簡單推理相結(jié)合，發(fā)展推理能力；

(3)滲透類比、化歸、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提升表達(dá)交流能力、分析問題和解決問題的能力，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)自信心.

4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索并證明平行四邊形判定定理.

難點(diǎn)：平行四邊形判定定理的應(yīng)用.

5 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教科書設(shè)計(jì)了用細(xì)木條拼擺平行四邊形的情境，兩個(gè)判定定理的探究情境雖然都用到了細(xì)木條，但不是同一個(gè)情境，而且每個(gè)情境都只是呈現(xiàn)了判定定理的已知條件，并沒有提供由已知條件到結(jié)論的思路來源.

實(shí)際教學(xué)中，很多教師忽略了通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，而是根據(jù)定理之間呈現(xiàn)互逆性這一普遍規(guī)律，直接帶領(lǐng)學(xué)生走上了驗(yàn)證平行四邊形逆命題的道路，從而將學(xué)生的思維限定在性質(zhì)定理上.

《教師教學(xué)用書》也建議創(chuàng)設(shè)更現(xiàn)實(shí)、更有趣的問題情境，讓學(xué)生進(jìn)行自主探索，通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，得出猜想，然后再進(jìn)行證明，從而讓學(xué)生體會(huì)到證明活動(dòng)是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展.

5.1 情境導(dǎo)入，自主探究

探究活動(dòng)1：如圖1，首先畫出一個(gè)平行四邊形，沿著對(duì)角線把它剪成兩個(gè)三角形，能否把這兩個(gè)三角形拼成不同的平行四邊形？

圖1

教學(xué)說明：學(xué)生通過剪、拼活動(dòng)直觀感知，平行四邊形的研究總是利用到三角形的知識(shí).事實(shí)上，平行四邊形可以看作是由兩個(gè)全等三角形的相等邊重合在一起構(gòu)成的，為后續(xù)證明平行四邊形的判定定理找準(zhǔn)路徑、提供方法.

學(xué)生在動(dòng)手拼圖前，學(xué)生因此會(huì)聯(lián)想回顧平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形邊的性質(zhì)尋找兩個(gè)三角形相等的邊.從拼圖中自然聯(lián)想到性質(zhì)，用學(xué)過的知識(shí)作為解決問題的引擎，在探究活動(dòng)中復(fù)習(xí)以前學(xué)過的概念，比直接提問效果更好.

5.2 循序漸進(jìn)，發(fā)現(xiàn)問題

問題1根據(jù)研究等腰三角形和直角三角形的經(jīng)驗(yàn)知道，定義是探索判定的起點(diǎn)，驗(yàn)證判定定理最終都是要回歸到定義，這種轉(zhuǎn)化的思想在幾何圖形的探究中一以貫之.平行四邊形的判定要研究的問題是什么？

教學(xué)說明：教師啟發(fā)學(xué)生溫顧過往學(xué)習(xí)幾何圖形的研究路徑和經(jīng)驗(yàn)，“明晰判定定理要探究的問題是一個(gè)四邊形具備怎樣的條件就可以推出它的兩組對(duì)邊分別平行”[1]， 驗(yàn)證平行四邊形的判定條件最終都是要回歸到平行四邊形的定義.

面對(duì)圖2中兩個(gè)新四邊形，學(xué)生自然好奇四邊形的邊之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望.

圖2

5.3 觀察分析，提出猜想

問題2從等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定之間的邏輯關(guān)系，看性質(zhì)和判定有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系，平行四邊形的判定定理是什么？你能證明嗎？

教學(xué)說明：在四邊形的學(xué)習(xí)過程中，深化幾何圖形的基本路徑“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”，利用判定與性質(zhì)的邏輯關(guān)系，通過探索性質(zhì)定理的逆命題是否成立而得出判定定理.

5.4 邏輯推理，證明猜想

平行四邊形判定定理1：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

很多學(xué)生在推理驗(yàn)證過程中連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC或BD，這樣四邊形的問題就轉(zhuǎn)化為三角形的問題.在剪拼活動(dòng)中學(xué)生已經(jīng)有了直觀感受，再利用三角形的全等回歸到平行四邊形的定義，從而判定定理得證.從探究到驗(yàn)證前后一致，借助幾何直觀，發(fā)展了學(xué)生推理意識(shí)，讓學(xué)生的在數(shù)學(xué)課堂中感受行而知之，知行合一.

探究活動(dòng)2：對(duì)于四邊形ABCD,給出①AB∥CD，②AD∥CB，③AB=CD，④AD=CB四個(gè)條件.其中①和② 構(gòu)成平行四邊形定義的條件組合， ③和④構(gòu)成判定定理1的條件組合.

問題3回顧兩個(gè)三角形全等判定定理的探究經(jīng)驗(yàn)，思考判定一個(gè)四邊形是平行四邊形至少需要幾個(gè)條件？引導(dǎo)學(xué)生寫出其他的組合情況.

教學(xué)說明：七年級(jí)下學(xué)期探索三角形全等的條件運(yùn)用了分類討論思想，從1個(gè)條件逐步增加條件的數(shù)量進(jìn)行分析.學(xué)生積累的幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為探究活動(dòng)2奠定了基礎(chǔ).判定一個(gè)四邊形是平行四邊形至少需要兩個(gè)條件，而四個(gè)條件共有6種組合形式，除了構(gòu)成定義和判定定理1的兩種組合，剩余4種又可以分為“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”“一組對(duì)邊平行且相等”這兩類.對(duì)于命題“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形”，引導(dǎo)學(xué)生首先嘗試舉例驗(yàn)證進(jìn)行直接猜想，容易舉出等腰梯形作為命題不成立的反例.而命題“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形”，學(xué)生無法列舉該命題不成立的反例，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前積累的探究經(jīng)驗(yàn)，通過證明三角形全等進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到平行四邊形的判定定理2.至此，兩個(gè)判定定理經(jīng)過實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證的基本幾何路徑進(jìn)入運(yùn)用階段.

5.5 應(yīng)用創(chuàng)新，解決問題

例1如圖3，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn).

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖3

變式1如果將例1中“點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE=DF”，那么結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

變式2如果將例1中“點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD的中點(diǎn)”改為“線段AE，F(xiàn)C分別是∠BAD，∠BCD的角平分線”，那么結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

教學(xué)說明：例1是對(duì)平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.在條件不變的情況下，根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的兩個(gè)判定定理探求一題多解.改變題目條件的情況下，通過漸進(jìn)式的拓展探求一題多變.一題多解、一題多變有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度.

例2由兩個(gè)完全相等的三角尺可以拼成幾個(gè)平行四邊形？請(qǐng)說出理由.

設(shè)計(jì)意圖：此題是根據(jù)探究活動(dòng)1改編而成，兩個(gè)完全相等的三角尺可以看作是由一個(gè)平行四邊形沿對(duì)角線剪出的兩個(gè)全等三角形，從而讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中提升學(xué)科核心素養(yǎng).

5.6 布置作業(yè).

選取教材相關(guān)習(xí)題作為本課時(shí)作業(yè)，略.

6 教學(xué)反思

本節(jié)課以探究活動(dòng)的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)—猜想—驗(yàn)證—運(yùn)用”的幾何研究方法.“研究判定，就是在探索‘兩組對(duì)邊分別平行’的等價(jià)條件的指引下，利用‘判定’與‘性質(zhì)’的邏輯關(guān)系，通過探索性質(zhì)定理的逆命題是否成立而得出判定定理.”[1]從研究幾何方法和路徑來講，四邊形和三角形有著很大的相似性，但是單憑三角形的學(xué)習(xí)很難讓學(xué)生建立起對(duì)幾何圖形的整體認(rèn)知，而四邊形的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了三角形和四邊形的有效融合，形成了幾何思維和能力的遷移.

構(gòu)建關(guān)于幾何圖形的整體性認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破平面幾何圖形的界限，是學(xué)生形成和發(fā)展系統(tǒng)性思維的“腳手架”，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)的必經(jīng)途徑.

因此，教師在幾何教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生把知識(shí)縱向鏈接起來，形成幾何整體性思維的認(rèn)知框架，為核心素養(yǎng)切實(shí)有效的落實(shí)提供有力踐行渠道.