問題串在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中的運(yùn)用*
——以“發(fā)現(xiàn)皮克公式”為例

江蘇省江陰市教師發(fā)展中心 王俊蓉

問題串因其內(nèi)涵豐富、功能多樣，在教學(xué)設(shè)計(jì)中時(shí)常被廣泛運(yùn)用.“借助問題串設(shè)計(jì)能立課堂之骨架，讓課堂更立體；重視經(jīng)驗(yàn)的積累與提升，可以讓課堂更充實(shí)、豐盈；注重對學(xué)生高階思維的培育，才能彰顯課堂的學(xué)科價(jià)值、提升課堂的生長力、賦予課堂生命力.”[1]筆者將問題串設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課二者結(jié)合在一起研究發(fā)現(xiàn)問題串設(shè)計(jì)能有效地將“做中學(xué)”的理念滲透到教學(xué)實(shí)踐中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的特有價(jià)值.下面，以蘇科版七年級(jí)下冊數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊中的實(shí)驗(yàn)“16 數(shù)格點(diǎn) 算面積——發(fā)現(xiàn)皮克公式”為例進(jìn)行闡述.

1 教學(xué)流程及說明

問題1同學(xué)們，我們研究數(shù)學(xué)問題時(shí)常常借助一些工具，譬如可以用刻度尺測量線段的長度.你還能列舉一些數(shù)學(xué)工具嗎？

教學(xué)說明：(1)讓學(xué)生梳理使用過的數(shù)學(xué)工具及其功能，除對實(shí)物型工具(譬如三角板、直尺、圓規(guī)等)的回顧，還要回顧經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的概念型工具(譬如數(shù)軸、網(wǎng)格等).引導(dǎo)學(xué)生激活對數(shù)軸、網(wǎng)格等工具運(yùn)用的基本經(jīng)驗(yàn)，加深對這些工具數(shù)學(xué)功能的理解.

(2)引導(dǎo)學(xué)生回顧關(guān)于網(wǎng)格的基本數(shù)學(xué)問題，歸納出畫平行線、垂線等是將網(wǎng)格線作為基本參考物，體現(xiàn)網(wǎng)格線之間的位置關(guān)系；求三角形面積等，體現(xiàn)網(wǎng)格可以反映數(shù)量關(guān)系，激活學(xué)生對網(wǎng)格問題的已有經(jīng)驗(yàn)，建立學(xué)生對本節(jié)課的情感聯(lián)系，為后繼研究做好知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備.特別是，在該環(huán)節(jié)中結(jié)合“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，讓學(xué)生體會(huì)“網(wǎng)格”作為數(shù)學(xué)問題研究工具的必要性和可行性.

圖1

問題2根據(jù)圖1，你能求出哪些量？

教學(xué)說明：(1)開放型問題的價(jià)值主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多層面分析、思考問題.該問題中，學(xué)生容易想到的是求圖形的面積、周長，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)的存在，并將要研究的格點(diǎn)按位置分為在邊上和在內(nèi)部兩類，便于研究多邊形的面積、邊上的格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)三者之間的關(guān)系.

(2)本節(jié)課中圖形面積的計(jì)算是研究基礎(chǔ)，夯實(shí)該部分內(nèi)容才能對后面的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行有效探究.教學(xué)時(shí)，通過不斷拖動(dòng)點(diǎn)A的位置，讓學(xué)生計(jì)算圍成的圖形面積，確保每位學(xué)生能熟練掌握割補(bǔ)法求圖形面積的方法.

問題3同學(xué)們，在改變點(diǎn)A位置時(shí)發(fā)現(xiàn)，改變的不僅是圖形的面積，還有一些量也在改變.你能提出一些假設(shè)嗎？

教學(xué)說明：讓學(xué)生在問題情境中自由探索，感受各量之間互相影響的依存關(guān)系.該問題的設(shè)置意在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，感受問題的真實(shí)性，激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣與熱情.學(xué)生可能會(huì)提出各種問題，在有限的時(shí)間與空間內(nèi)顯然不可能一一探究，教師可選擇與本節(jié)課相關(guān)的問題深入展開.同時(shí)，對其他問題的價(jià)值予以肯定，激發(fā)學(xué)生的同理心，將注意力與興趣點(diǎn)有效轉(zhuǎn)移到同一個(gè)話題上，形成思維聚焦，孕育思維場.

問題4如果一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這種多邊形叫做格點(diǎn)多邊形(如圖1的五邊形ABCDE).如果格點(diǎn)多邊形的面積、邊上的格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)確實(shí)存在某種關(guān)系，我們該如何尋找這種關(guān)系呢？請小組討論，選派一位組員集中匯報(bào).

教學(xué)說明：(1)給出格點(diǎn)多邊形的概念，便于進(jìn)一步深入研究該對象.

(2)以小組合作交流的形式開展這一問題的探究，凸顯學(xué)生主體地位的同時(shí)，讓每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與，特別是基礎(chǔ)薄弱但思維活躍的學(xué)生在該環(huán)節(jié)中一般會(huì)有較好的表現(xiàn)，從而有效增強(qiáng)這類學(xué)生群體學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.當(dāng)各組員積極參與活動(dòng)，制定研究計(jì)劃時(shí)，組內(nèi)同學(xué)的思維會(huì)受群體思維的影響作出改變，個(gè)體思維在思維場的作用下逐漸向深處蔓延.

(3)以小組為單位匯報(bào)各自的研究計(jì)劃，其他各組成員會(huì)對匯報(bào)者的研究計(jì)劃進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，與本小組的計(jì)劃進(jìn)行比較、評(píng)估，完善自己小組的計(jì)劃.這一過程，思維場對群體性思維、個(gè)體性思維都產(chǎn)生良性作用，激發(fā)學(xué)生大腦接收外界信息刺激的同時(shí)，積極分解、消化，能有效促進(jìn)學(xué)生高階思維的培育.

(4)將學(xué)生提供的思路進(jìn)行完善，增強(qiáng)其可行性及嚴(yán)謹(jǐn)性.一般而言，運(yùn)用特殊到一般的方式進(jìn)行不完全歸納.但由于涉及三個(gè)變量之間的關(guān)系，所以采用控制變量法，即通過固定某一個(gè)量來探索其他兩個(gè)變量的變化規(guī)律，從而將復(fù)雜問題簡單化.若多邊形的面積記為S、邊上的格點(diǎn)數(shù)記為L、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，則可以先確定N的值，然后發(fā)現(xiàn)S，L之間的關(guān)系.

(5)如果根據(jù)上述方式每個(gè)小組分別取若干個(gè)N的值進(jìn)行計(jì)算，顯然課堂時(shí)間是不允許的，可以采用分組合作的方式.以六個(gè)小組為例，前四個(gè)小組分別計(jì)算當(dāng)N從0開始到3時(shí)，某一滿足條件的圖形中S，L的值，并探究三者之間的關(guān)系；第五、六小組可以自主選擇一些N的值進(jìn)行探究.這樣在提高效率的同時(shí)，使N具有普遍性，從而體現(xiàn)結(jié)論的一般意義.

問題5分工合作，根據(jù)操作單完成探究任務(wù).(圖2是以n=0為例進(jìn)行示范，當(dāng)N取其他值時(shí)，各組自行畫圖并探究.)

探索N=時(shí)的格點(diǎn)多邊形中S與L之間的關(guān)系.

(1)圖2-1,2-2,2-3分別為N=的格點(diǎn)多邊形，請你在圖2-4中再畫出一個(gè)N=的格點(diǎn)多邊形.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

圖2-4

(2)觀察圖形并填寫下表：

圖號(hào)LS圖2-1圖2-2圖2-3圖2-4

當(dāng)N=時(shí)，若用含有L的代數(shù)式表示S，則有S=.

問題6猜想：格點(diǎn)多邊形的面積S與邊上的格點(diǎn)數(shù)L、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)N之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)說明：將各組的結(jié)論匯總在一張表格中呈現(xiàn)給所有同學(xué)進(jìn)行研究，各小組匯報(bào)研究的結(jié)果.該環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維碰撞會(huì)比較激烈，教師可以將話語權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生交流溝通.思維在碰撞的過程中，會(huì)從感性走向理性，從片面走向全面.學(xué)生的思維狀態(tài)能夠很好地實(shí)現(xiàn)層級(jí)躍遷，即從低階思維狀態(tài)進(jìn)入到高階思維狀態(tài)，再次促進(jìn)高階思維的培育.此時(shí)，教師的主導(dǎo)地位主要體現(xiàn)在當(dāng)話題偏離主線時(shí)，及時(shí)介入、引導(dǎo)，確保學(xué)生的爭論點(diǎn)聚焦于核心問題.

問題7同學(xué)們，這個(gè)公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年給出的，被稱為“皮克定理”.你能運(yùn)用公式提出一些問題嗎？

教學(xué)說明：(1)數(shù)學(xué)文化的滲透讓學(xué)生既感受到歷史的溫度、內(nèi)涵的深度、數(shù)學(xué)的美度，又能讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)家在不同時(shí)空對同一問題的研究過程，感受發(fā)現(xiàn)問題的興奮感、提出問題的困惑感、分析問題的急切感以及解決問題的滿足感，體驗(yàn)探究本身帶來的樂趣，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力.

(2)皮克公式的運(yùn)用不是本節(jié)課的重點(diǎn)，但從數(shù)學(xué)抽象的角度來說，需要獲得對發(fā)現(xiàn)的公式進(jìn)行運(yùn)用體驗(yàn).特別地，該公式給出了三個(gè)量之間的關(guān)系，如果其中兩個(gè)量確定，則可以運(yùn)用方程思想求出第三個(gè)量；若給定面積，根據(jù)兩個(gè)格點(diǎn)數(shù)是整數(shù)，可求不定方程的整數(shù)解.

問題8若把正方形網(wǎng)格換成等邊三角形網(wǎng)格，或者是有一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形網(wǎng)格(如圖3)，格點(diǎn)多邊形的面積S與邊上的格點(diǎn)數(shù)L、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)N之間還有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

圖3

教學(xué)說明：通過類比遷移，將皮克公式向一般化進(jìn)行推廣.進(jìn)一步擴(kuò)大公式的適用范圍，既是提高公式本身的數(shù)學(xué)價(jià)值，也是探究公式的一般方法.

問題9通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？還存在哪些困惑？

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生對探究過程中的體驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，如活動(dòng)的設(shè)計(jì)、自己的感受等，將這些體驗(yàn)上升為經(jīng)驗(yàn)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而為今后研究類似問題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2 教學(xué)反思

2.1 問題串設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的變革

學(xué)習(xí)方式的變革是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂改革的重點(diǎn)之一.增強(qiáng)問題的情境化，能讓學(xué)生在問題情境中發(fā)展“四能”.本案例借助問題串驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，在尋求問題解決的策略時(shí)，教師不是直接給出實(shí)驗(yàn)路徑，而是放權(quán)給學(xué)生，讓他們以自主設(shè)計(jì)、小組交流、分享匯報(bào)的方式完成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié).教師擺正“主導(dǎo)”的位置不越界，只是當(dāng)學(xué)生的討論在無用的細(xì)節(jié)處糾纏或找不到問題解決的出口時(shí)，教師發(fā)揮其作用，將學(xué)生討論的話題引導(dǎo)回歸主題.在探究公式的過程中，學(xué)生通過全員分工、小組合作交流等方式開展活動(dòng)，教師不急于給出答案，也不輕易介入學(xué)生的探究過程.學(xué)生自主探究、自由交流，分享自己的成果，主動(dòng)向同伴尋求幫助.在問題串的引領(lǐng)下，學(xué)習(xí)方式多樣化，學(xué)生主體地位得以彰顯.

2.2 問題串促進(jìn)高階思維的培養(yǎng)

用問題串建構(gòu)課堂流程，對問題串的功能剖析能明晰教學(xué)的實(shí)際組織方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)樣態(tài).本案例采用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的組織方式，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定不僅指向知識(shí)與技能的獲得，更是指向經(jīng)驗(yàn)的激活、積累、沉淀與再運(yùn)用，指向?qū)W生“四能”的提升.教師始終只把握教學(xué)主題，對獲得結(jié)果的方式方法、具體路徑等都由學(xué)生自主探究、交流合作而來.他們面對的問題是自己發(fā)現(xiàn)的，所以解決問題的急切感強(qiáng)烈.學(xué)生的思維觸角在自主探究的氛圍中自然延伸，在主觀能動(dòng)性的驅(qū)使下不斷向深度探尋.特別是，當(dāng)學(xué)生思維在激烈碰撞時(shí)，個(gè)體思維之間不斷相互作用，思維場能有效促進(jìn)學(xué)生的思維從低階思維向高階思維的層級(jí)躍遷.

“初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過動(dòng)手動(dòng)腦‘做’數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)”，“力圖通過‘做實(shí)驗(yàn)’的主動(dòng)探究過程來培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)”[2].問題串引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，在問題驅(qū)動(dòng)下發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提升學(xué)生探究的意識(shí)與能力，最大化地發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的價(jià)值.