高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合法的運用探討

□甘肅省張掖市山丹縣第一中學 閆 銳

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學思想之一，是一種化具體為抽象，化抽象為具體的思維方式，能幫助學生提高解題速度和形成數(shù)學思維習慣，高中數(shù)學教師在教學過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于提升學生的學習興趣。本文以高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法的路徑為研究主題，分析了目前高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合法的應用現(xiàn)狀，探索高中數(shù)學教師提升數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)、課上精講數(shù)形結(jié)合題目、課后布置數(shù)形結(jié)合作業(yè)和組織數(shù)形結(jié)合探究活動等具體措施，以期為相關(guān)人員提供參考。

一、數(shù)形結(jié)合法概述

高中數(shù)學內(nèi)容的抽象性較強，對學生的思維能力和思考方式的要求較高，學生必須掌握模型思想、數(shù)形結(jié)合法等解題思維，才能學好高中數(shù)學。數(shù)形結(jié)合法是一種化圖形問題為代數(shù)問題或化代數(shù)問題為圖形問題的數(shù)學解題方法，具有化抽象為具體和化具體為抽象的意義，在高中階段，主要應用于方程、不等式和函數(shù)相關(guān)題目中。從本質(zhì)上來說，數(shù)學就是研究“數(shù)”與“形”的科學，其中“數(shù)”是抽象的數(shù)學語言，“形”是直觀的圖形語言，兩者各具優(yōu)勢，也各有不足。華羅庚說：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微”，說的就是代數(shù)與圖形之間的互補關(guān)系。高中數(shù)學學習內(nèi)容主要是代數(shù)學習和圖形學習，其中有規(guī)律的代數(shù)能轉(zhuǎn)化為圖形，例如利用直角坐標系畫出函數(shù)所對應的圖形，學生觀察圖像能更清楚地認識該函數(shù)的性質(zhì)；將圖形置于直角坐標系中或提煉圖形的幾何特征后也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，例如學生在研究直角坐標系中的直角三角形存在性問題時，可以利用線段距離公式和直角三角形的勾股定理性質(zhì)列代數(shù)式解題。

二、高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法的意義

（一）提升學生解題效率

高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法能幫助學生提升解題效率。例如高中數(shù)學教師在開展“三角函數(shù)圖像與性質(zhì)”的教學時，可以要求學生利用三角函數(shù)解析式在直角坐標系中繪制出三角函數(shù)并分析三角函數(shù)解析式與三角函數(shù)圖形的對應關(guān)系，學生遇到三角函數(shù)相關(guān)問題時便可以利用三角函數(shù)圖形解題。如圖1所示的三角函數(shù)題目，若學生利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系構(gòu)建方程組求解，則計算量比較復雜，計算過程容易出錯；若學生觀察到題目中出現(xiàn)的“tanα=4/3”條件，聯(lián)想到三邊長度分別為3、4、5的直角三角形，進而想到可以利用數(shù)形結(jié)合法解題，則會直接在直角坐標系中畫出對應的直角三角形并快速求出α的正弦值和余弦值。

圖1 三角函數(shù)例題

（二）形成數(shù)學思維習慣

高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法能幫助學生形成數(shù)學思維習慣，通過不斷強化解題思維和解題能力，學生可以形成獨特的數(shù)學思維習慣。另外，數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)上是化抽象為具體和化具體為抽象的思維方式，學生在使用數(shù)形結(jié)合法的過程中，能深刻體會到抽象和具體之間的關(guān)系，從而形成嚴謹、有邏輯的數(shù)學思維，對學生今后數(shù)學學習有一定推動作用，例如利用具體的韋恩圖來理解概率論中抽象的集合關(guān)系，利用具體的函數(shù)圖形理解微積分中可去間斷點、跳躍間斷點等抽象概念。

三、高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合法應用現(xiàn)狀

（一）教師講解數(shù)形結(jié)合法缺乏必要過渡

目前，高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合法的應用存在教師講解缺乏必要過渡的問題，主要表現(xiàn)在教師沒有將如何由題干內(nèi)容聯(lián)想到應用數(shù)形結(jié)合法講清楚，導致部分學生在聽課時“云里霧里”，自然無法在獨立解題時“胸有成竹”。高中數(shù)學教師在講解數(shù)形結(jié)合題目時，應該為學生提供平滑順暢的解題體驗，以圖2所示例題為例。部分高中數(shù)學教師在講解這一題目時，讀題后直接告知學生通過畫函數(shù)圖像找交點的方式解題，學生只學會了解決這一道題，卻沒有積累具備推廣性的解題經(jīng)驗，再次遇到同類型的題目后仍不會做。

圖2 數(shù)形結(jié)合例題

（二）學生缺乏利用數(shù)形結(jié)合法解題意識

目前，高中數(shù)學教學中學生缺乏利用數(shù)形結(jié)合法解題的意識，一方面是因為部分高中數(shù)學教師自身專業(yè)素質(zhì)不高，教學能力不強，無法為學生提供準確高效且具備啟發(fā)性的數(shù)形結(jié)合法教學過程，另一方面是因為部分學生對數(shù)形結(jié)合法存在錯誤認識，數(shù)形結(jié)合法作為一種解題方法，能有效提升學生的解題速度，但在使用初期卻需要學生花費額外的精力和時間研究這一解題方法的應用場景和應用方式，部分學生因為高中學習壓力較大而抽不出時間研究數(shù)形結(jié)合法的應用技巧，在日常解題中仍沿用自己熟悉的方法解題。

四、高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法的路徑

（一）教師增強數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)

高中數(shù)學教師作為教學中的主導者和設計者，其數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)直接決定數(shù)形結(jié)合法的教學質(zhì)量，所以高中數(shù)學教師要增強自身數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)，通過將數(shù)形結(jié)合法結(jié)構(gòu)重組，為學生提供理解難度低、啟發(fā)性強的教學體驗。首先，高中數(shù)學教師可以通過查閱專業(yè)文獻、咨詢資深教師和觀摩名師課堂的方式提升自我。其次，高中數(shù)學教研組要充分發(fā)揮教研的作用，組織高中教師群策群力，利用集體智慧構(gòu)建數(shù)形結(jié)合法授課方案，為教學過程提供專業(yè)指導。

（二）課上精講數(shù)形結(jié)合例題

經(jīng)典例題是學生拓展思維的“核心”，助力學生將感性認識升級為理性認識，所以高中數(shù)學教師要重視經(jīng)典例題的作用，通過精講例題，加深學生印象，提升學生認識，助力學生掌握解題新方法。首先，高中數(shù)學教師在講解數(shù)形結(jié)合經(jīng)典例題時，要在題干內(nèi)容和解題方法之間形成過渡，幫助學生理解如何分析題干判斷該題目是否可應用數(shù)形結(jié)合法來解題。其次，高中數(shù)學教師在講解數(shù)形結(jié)合經(jīng)典例題時，可以利用多媒體設備和投影儀等新型教學工具，幫助學生直觀感受代數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，從而真正形成數(shù)形結(jié)合思維。最后，高中數(shù)學教師在講解數(shù)形結(jié)合經(jīng)典例題時，不僅要引導學生利用數(shù)形結(jié)合法解題，而且要為學生呈現(xiàn)不使用數(shù)形結(jié)合法應如何解題，令學生明確數(shù)形結(jié)合法對提高解題速度的意義，從而在日常解題中自覺使用數(shù)形結(jié)合法。下文以圖3 所示題目為例，具體闡述例題精講步驟。

圖3 數(shù)形結(jié)合經(jīng)典例題

首先，高中數(shù)學教師帶領(lǐng)學生通讀題干，其中第（1）小問題目比較簡單，學生通過聯(lián)立方程即可解決，即聯(lián)立直線解析式與橢圓解析式得到方程組，利用消元法得到含參的一元二次方程，再利用公式法得到一元二次方程的解，具體解題過程如圖4所示。

圖4 解題步驟

其次，本題目的難點在第（2）小問，該雙二次曲線問題中存在多個變量，只有圓心坐標確定。本題既然是探討交點個數(shù)問題，那么不難聯(lián)想到在初中和高一的函數(shù)學習中，限制條件比較多或未知量比較多的函數(shù)交點問題可以采取等價轉(zhuǎn)化的方法來解決，即圖形與代數(shù)的轉(zhuǎn)化。該題目涉及的兩個函數(shù)圖像皆不是確定的圖案，很難通過畫圖觀察圖像性質(zhì)來解題，所以該題目應該轉(zhuǎn)化為代數(shù)題目，即利用函數(shù)與方程的思想方法求解。因為利用函數(shù)與方程的思想方法求解必須要獲得兩個函數(shù)的解析式，目前題目中只有橢圓函數(shù)的解析式，所以學生需要通過設未知量的方式將圓的函數(shù)解析式設出來，然后將“橢圓與圓至多有三個公共點”轉(zhuǎn)化為“方程組至多有三個實數(shù)解”，學生利用消元法將方程組轉(zhuǎn)化為含參的一元二次方程，先考慮存在正數(shù)t 使f(t)有兩個不相等的實數(shù)解，得出r 和a 的取值范圍，從而得出使圓與橢圓共有四個公共點的充要條件，進而得出使圓與橢圓至多有三個公共點的充要條件，具體解題思路如圖5所示。

圖5 具體解題思路

在此過程中，高中數(shù)學教師還可以利用“正難則反”思想啟發(fā)學生將題目改為“若圓與橢圓恰好有四個公共點，求橢圓離心率取值范圍”。教師在講解過程中必須要引導學生把握問題本質(zhì)，提升學生“幾何特征”分斷能力，令學生能熟練判斷什么時候應該利用數(shù)形結(jié)合法解題，如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

再次，高中數(shù)學教師應該為學生演示如果不采取數(shù)形結(jié)合法，只利用圖形解題，則學生應該將符合題目條件的圖像繪制出來，但由于本題中的橢圓和圓形皆是位置大小不確定的圖形，學生要想一次性繪制出符合題目條件的圖形較難，即使學生利用“正難則反”思想將題目改為“若圓與橢圓恰好有四個公共點，求橢圓離心率取值范圍”并利用繪圖工具畫出橢圓與圓恰好有四個公共點的情形（如圖6 所示），根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)如公共點到圓心距離相等等幾何特征，也需要利用代數(shù)式計算。

圖6 橢圓與圓恰好有四個公共點的情況

最后，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題雖然可以免去繁瑣的繪圖步驟，將解題過程簡單化，學生只需要將代數(shù)式列出并計算即可，思考量不大，但這需要學生具備扎實的計算能力，因此高中數(shù)學教師在講題過程中還要重點強調(diào)計算能力，要求學生提升計算能力，提高做題速度，減少計算失誤。

（三）課后布置數(shù)形結(jié)合作業(yè)

數(shù)學學習離不開課后習題鞏固，為了提升學生的數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)和利用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力，高中數(shù)學教師應該在課后布置數(shù)形結(jié)合作業(yè)，要求學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題。高中學段學生的學習負擔較重，學生對學習過程中的每分每秒都十分珍視，導致部分學生不愿意花費額外的時間學習解題的新方法或沒有時間訓練新方法。數(shù)形結(jié)合法作為一種高效的解題方法，雖然在初學階段需要花費大量時間和精力，但在完全掌握后，解題能力便可實現(xiàn)質(zhì)的飛躍。為了在不給學生增加過多學習負擔的基礎上引導學生掌握數(shù)形結(jié)合法，高中數(shù)學教師可以挑選經(jīng)典的數(shù)形結(jié)合題目作為課后作業(yè)，以幫助學生儲存感性認識并盡快摸索出規(guī)律。例如函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是數(shù)形結(jié)合法的重要應用領(lǐng)域，高中數(shù)學教師可以以此為核心設計訓練專題，收集有關(guān)二次函數(shù)、三角函數(shù)、圓錐曲線等函數(shù)圖像交點問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立問題的經(jīng)典題目，讓學生在解題過程中建立“函數(shù)圖像交點”和“聯(lián)立方程”之間的聯(lián)系，從而保證學生再次遇到同類型題目時能自覺運用數(shù)形結(jié)合思想解題。再如，利用韋恩圖解決集合問題是實現(xiàn)代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題的重要體現(xiàn)，所以高中數(shù)學教師可以為學生提供大量利用韋恩圖解決集合問題的相關(guān)題目，幫助學生深化數(shù)形結(jié)合法的應用。

（四）組織數(shù)形結(jié)合探究活動

數(shù)形結(jié)合探究活動是激發(fā)學生學習積極性，有效提升學生思維活力和拓展學生思維廣度的教學方式，高中數(shù)學教師可以以經(jīng)典例題為引，以數(shù)形結(jié)合法為探究主題，要求學生組成學習小組，共同探究數(shù)形結(jié)合法的應用場景、應用技巧和應用注意事項等。例如，高中數(shù)學教師在講解函數(shù)單調(diào)性時，首先可以將學生分組并為每組提供氣溫變化表、股市走勢圖等材料，要求學生利用語言描述圖像的上升或下降趨勢，令學生對圖像單調(diào)性有基本了解。其次，為每組學生分配不同的函數(shù)繪圖任務，要求小組合作，利用“列表—描點—連線”的方式將函數(shù)圖像繪制出來，并觀察隨著自變量x 的變化，函數(shù)值f(x)呈什么樣的變化趨勢，教師則利用幾何畫板等數(shù)學繪圖軟件繪制函數(shù)圖像，并與學生自繪圖對比，確保學生繪圖正確。再次，教師要求學生利用客觀準確的數(shù)學語言描述函數(shù)的上升、下降情況，并引導學生利用繪制函數(shù)圖像的方式解題。最后，高中數(shù)學教師為學生提供需要通過繪制函數(shù)圖像解題的函數(shù)單調(diào)性題目，如圖7所示，要求學生以數(shù)形結(jié)合為研究主題，探索該題目的解題方式，比較傳統(tǒng)解題方式與數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)劣，總結(jié)解題經(jīng)驗并撰寫研究報告。

圖7 函數(shù)單調(diào)性數(shù)形結(jié)合例題

五、結(jié)語

高中數(shù)學教師在教學過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅能幫助學生拓展解題思路，提升解題速度，還能幫助學生形成完整的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學學習思維，對學生目前乃至以后的數(shù)學學習都有深遠意義。因此高中數(shù)學教師要積極探索在教學過程中滲透數(shù)形結(jié)合法的具體路徑，使學生體會到數(shù)學學習的樂趣，從而化被動為主動，積極參與高中數(shù)學學習。