把握解析式分離本質(zhì) 突破含參不等關(guān)系問(wèn)題

文/廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 朱凱良 盧建川

含參不等式“恒成立”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一，該類問(wèn)題的解決由于涉及函數(shù)、方程、不等式及幾何圖形等多方面知識(shí)，還涉及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類與整合等思想方法，歷來(lái)是各類考試命題的熱點(diǎn)。關(guān)于此類問(wèn)題，最典型的解決方法有判別式法、數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法等。這個(gè)階段的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙之一就是解題方法太過(guò)靈活，難以捉摸，況且這些方法中除了數(shù)形結(jié)合法，其他都只是停留在“數(shù)”的層面，這樣淺嘗輒止的學(xué)習(xí)使得學(xué)生無(wú)法從根本上理解此類問(wèn)題的解法本質(zhì)。由此，本文提出“解析式分離法”以突破此類含參不等關(guān)系問(wèn)題。該法旨在通過(guò)圖像的輔助，在“形”的層面上加以明晰，使學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩方面深刻體會(huì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院透拍钪g的內(nèi)在聯(lián)系，從根本上形成此類問(wèn)題的解題思路。

一、解法本質(zhì)的揭示

一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)如y=f（x，a）（a為參數(shù)），我們稱其為動(dòng)態(tài)函數(shù)，相應(yīng)的不帶參數(shù)的函數(shù)如y=f（x），我們稱其為靜態(tài)函數(shù)。以下先通過(guò)一道二次函數(shù)恒成立問(wèn)題揭示其解法本質(zhì)：

例1已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

“解析式分離法”的解題邏輯：先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行分離簡(jiǎn)化，拆分為一個(gè)動(dòng)態(tài)函數(shù)和一個(gè)靜態(tài)函數(shù)，再對(duì)分離后的兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行圖像比較，從而根據(jù)動(dòng)態(tài)函數(shù)的變化情況，求出參數(shù)的范圍。其中關(guān)鍵是分離方式的選擇，筆者總結(jié)為三種分離模式：1.如果函數(shù)本身就是熟知的、可以直接畫出函數(shù)圖像的初等函數(shù)，則將其分離為y=f（x，a）與y=R的形式；2.如果函數(shù)本身可以通過(guò)恒等變形拆分為兩個(gè)初等函數(shù)的和或差，則將其分離為y=p（x，a）與y=q（x）的形式；3.如果函數(shù)本身比較復(fù)雜，可以選擇通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，則將其分離為y=a與y=h（x）的形式。

二、含參不等關(guān)系問(wèn)題求解分析

例2（2018年高考全國(guó)Ⅰ卷·理）

已知f（x）=|x+1|-|ax-1|，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍。

原解概要：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，原問(wèn)題等價(jià)于求當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，使|ax-1|＜1恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍的求解。對(duì)a展開分類討論得a≤0時(shí)|ax-1|≥1不成立，a＞0時(shí)|ax-1|＜1的解集為，所以≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2]。

另解：首先確立動(dòng)態(tài)函數(shù)：y=|ax-1|和靜態(tài)函數(shù)：y=1。注意到x∈（0，1）并對(duì)a進(jìn)行分類討論：

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，ax≤0，則|ax-1|≥1，原不等式不成立；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，借助圖像進(jìn)行分析。①當(dāng)時(shí)，動(dòng)態(tài)函數(shù)滿足在x∈（0，1）時(shí)小于1.②當(dāng)時(shí)，動(dòng)態(tài)函數(shù)滿足在時(shí)小于1，當(dāng)時(shí)，動(dòng)態(tài)函數(shù)單調(diào)遞增，則存在一個(gè)臨界位置（可?。磁c直線x=1的交點(diǎn)（1，1）。綜上，即當(dāng)x=1時(shí)，需滿足ax-1≤1，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2]。

三、總結(jié)與反思

“解析式分離法”作為一種通解通法，可以規(guī)避因解法選擇帶來(lái)的困難。“解析式分離法”適用面廣泛，且通過(guò)抽象與形象思維的結(jié)合，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度進(jìn)行直觀表征，有助于學(xué)生形成“數(shù)形結(jié)合”的思想，從而更加清晰直觀地領(lǐng)會(huì)“恒成立”這個(gè)數(shù)學(xué)概念?！敖馕鍪椒蛛x法”雖然不是所有問(wèn)題的最優(yōu)解，但是它可以引導(dǎo)學(xué)生以一種整體性的角度理解不同解法之間的共性，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度深度把握此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而突破含參不等關(guān)系問(wèn)題。