基于最小PDOP的跟蹤儀順次多站測(cè)量站位優(yōu)化

馬守東，高 棟，路 勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引 言

隨著大型復(fù)雜構(gòu)件在航空、航天、能源等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床已無(wú)法滿(mǎn)足某些大型構(gòu)件的加工需求，將工業(yè)機(jī)器人集成在移動(dòng)平臺(tái)上，組成移動(dòng)機(jī)器人加工系統(tǒng)，為加工大型復(fù)雜構(gòu)件提供了新的途徑[1]。與固定式加工設(shè)備相比，雖然移動(dòng)機(jī)器人具有較高的靈巧性和極大的工作空間等優(yōu)勢(shì),但利用移動(dòng)機(jī)器人加工大型構(gòu)件時(shí)，需要將機(jī)器人多次移動(dòng)，每次移動(dòng)都需要重新快速測(cè)量機(jī)器人與工件的相對(duì)位置關(guān)系[2]，機(jī)器人的位置精度直接影響著大型構(gòu)件加工質(zhì)量，因此，準(zhǔn)確測(cè)量機(jī)器人與大型構(gòu)件的位置關(guān)系成為移動(dòng)機(jī)器人加工大型構(gòu)件的關(guān)鍵問(wèn)題[3～6]。

目前常用于大尺寸測(cè)量的設(shè)備有激光跟蹤儀、經(jīng)緯儀、IGPS、激光干涉儀等。激光跟蹤儀以其使用方便靈活而成為測(cè)量大型構(gòu)件的首選設(shè)備，如利用激光跟蹤儀提高飛機(jī)大部件的裝配精度[7]、測(cè)量大型數(shù)控機(jī)床的空間定位誤差[8]等。由激光跟蹤儀測(cè)量原理可知道，隨著測(cè)量距離的增加，測(cè)角誤差對(duì)測(cè)量精度的影響將會(huì)變大。因此，為了提高測(cè)量精度，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者提出了僅利用激光跟蹤儀較高測(cè)距精度的多站測(cè)量法。

多站測(cè)量法主要圍繞測(cè)量系統(tǒng)布局及自標(biāo)定算法開(kāi)展研究。天津大學(xué)的林永兵等[9]研究了四路激光跟蹤儀的測(cè)量系統(tǒng)布局，著重考慮了目標(biāo)靶鏡接收角范圍約束，得到了以被測(cè)點(diǎn)位置精度衰減因子(position dilution of precision，PDOP)最小為目標(biāo)的系統(tǒng)最佳布局;繆東晶等[10,11]采用多站法測(cè)量大尺寸位姿參量，提出了基于最小二乘優(yōu)化的自標(biāo)定算法，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法可有效提高測(cè)量精度;Wendt K等[12]研制了M3D3多站測(cè)量系統(tǒng)，并用于校準(zhǔn)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的幾何誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在1 m3的測(cè)量體積內(nèi)可將測(cè)量不確定度控制在0.4 μm范圍內(nèi)。

由于多站法測(cè)量時(shí)需要多臺(tái)激光跟蹤儀同時(shí)測(cè)量，測(cè)量系統(tǒng)造價(jià)昂貴，為此，有關(guān)學(xué)者提出了僅利用1臺(tái)激光跟蹤儀的順次多站測(cè)量法，該方法需要將激光跟蹤儀依次放置在不同站位下對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。王金棟等[13]利用順次多站測(cè)量法對(duì)數(shù)控機(jī)床幾何誤差高精度檢測(cè)進(jìn)行了研究，提出了基于全球定位系統(tǒng)定位原理的幾何誤差辨識(shí)方法，在確定基站和測(cè)點(diǎn)位置的前提下，快速高效地辨識(shí)出了機(jī)床的幾何誤差，但是該研究沒(méi)有考慮激光跟蹤儀站位布局對(duì)測(cè)量精度的影響;Wang J D等[14]為了檢測(cè)重型機(jī)床幾何誤差對(duì)順次多站法中激光跟蹤儀站位優(yōu)化進(jìn)行了研究，提出了以機(jī)床運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)量點(diǎn)的平均誤差放大因子最小為優(yōu)化目標(biāo)的站位優(yōu)化算法，利用蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了該優(yōu)化算法可有效減小測(cè)量不確定度;喬貴方等[15]采用順次多站法對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定進(jìn)行研究，獲取了測(cè)量自標(biāo)定中目標(biāo)點(diǎn)數(shù)量、測(cè)量距離、分布形狀、基站位置等參量對(duì)測(cè)量精度的影響規(guī)律，研究中分析了兩種激光跟蹤儀布局方式對(duì)測(cè)量精度的影響;Zhang Z等[16]提出了單臺(tái)激光跟蹤儀和4個(gè)公共點(diǎn)組成的順次多站測(cè)量法，激光跟蹤儀依次放置在3個(gè)不同位置，跟蹤儀站位坐標(biāo)通過(guò)跟蹤儀到4個(gè)公共點(diǎn)之間的距離得出，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)由3個(gè)不同位置的跟蹤儀確定，該方法較傳統(tǒng)多站測(cè)量更具靈活性。由此可見(jiàn)，在多站法測(cè)量研究中，多以固定點(diǎn)測(cè)量為主，以被測(cè)量目標(biāo)來(lái)優(yōu)化激光跟蹤儀站位布局，如文獻(xiàn)[8]對(duì)機(jī)床與三坐標(biāo)精度檢測(cè)[17]、大齒輪測(cè)量[18]等，這種方式激光跟蹤儀站位只需要滿(mǎn)足測(cè)點(diǎn)可測(cè)即可，對(duì)激光跟蹤儀的站位并無(wú)較高要求。

為提高順次多站測(cè)量的測(cè)量精度，本文針對(duì)激光跟蹤儀位置誤差，在準(zhǔn)確標(biāo)定出測(cè)量系統(tǒng)中各公共點(diǎn)的基礎(chǔ)上，以激光跟蹤儀PDOP最小為優(yōu)化目標(biāo)求解激光跟蹤儀的最優(yōu)站位，并搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該優(yōu)化方法的有效性及測(cè)量系統(tǒng)的精度。

2 大型構(gòu)件移動(dòng)機(jī)器人加工測(cè)量需求分析

圖1為基于移動(dòng)機(jī)器人的大型球殼體開(kāi)孔原理圖。該大型球殼體類(lèi)似文獻(xiàn)[19]中的點(diǎn)火裝置(national ignition facility，NIF)，NIF要求在內(nèi)徑 10 m、厚100 mm的鋁合金球體表面開(kāi)孔，不同尺寸類(lèi)型孔總數(shù)約200個(gè)，全部孔的對(duì)心精度和經(jīng)緯度要求較高。在這種移動(dòng)機(jī)器人加工方式中，機(jī)器人在全局測(cè)量系統(tǒng)中的位置精度會(huì)直接影響加工質(zhì)量，利用外部測(cè)量系統(tǒng)，提高機(jī)器人與工件的相對(duì)位置精度，成為保證加工質(zhì)量的關(guān)鍵技術(shù)[20]。

圖1 基于移動(dòng)機(jī)器人的大型球殼體開(kāi)孔原理圖Fig.1 Schematic diagram of opening of large spherical shell based on mobile robot

為確定移動(dòng)機(jī)器人與大型構(gòu)件相對(duì)位置，在機(jī)器人末端布置了裝有3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的標(biāo)定板，每次機(jī)器人移動(dòng)后，利用激光跟蹤儀測(cè)量該標(biāo)定板來(lái)確定機(jī)器人在全局測(cè)量系統(tǒng)中的位置，如圖2所示。采用順次多站法測(cè)量時(shí)，目標(biāo)點(diǎn)的測(cè)量精度在很大程度上取決于多站測(cè)量系統(tǒng)中各激光跟蹤儀站位的位置精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明[21,22]，若預(yù)先對(duì)多站測(cè)量系統(tǒng)中各激光跟蹤儀的位置進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)定，利用標(biāo)定后的激光跟蹤儀對(duì)目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解，能夠提高測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度。

3 激光跟蹤儀順次多站測(cè)量原理

3.1 激光跟蹤儀測(cè)量誤差

激光跟蹤儀是集成了激光干涉儀和兩個(gè)角度編碼器的球坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器，目標(biāo)點(diǎn)的三維坐標(biāo)由激光干涉儀測(cè)得的距離和兩個(gè)角度編碼器測(cè)得的角度得出。若用L表示激光干涉儀測(cè)得的原點(diǎn)O到目標(biāo)P之間的距離，α和β表示水平角和天頂角，則目標(biāo)P在笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值可通過(guò)式計(jì)算得到：

(1)

激光跟蹤儀的測(cè)量值與理論值之間的關(guān)系表示為:

(2)

式中：Lm為原點(diǎn)O到目標(biāo)P的實(shí)測(cè)值，αm為水平角實(shí)測(cè)值，βm為天頂角實(shí)測(cè)值，ΔL為距離測(cè)量誤差，Δα為水平角測(cè)量誤差，Δβ為天頂角測(cè)量誤差。

結(jié)合式(1)和式(2)可得到目標(biāo)P在笛卡爾坐標(biāo)系下的實(shí)測(cè)坐標(biāo)值，圖3中為由測(cè)角誤差和測(cè)距誤差產(chǎn)生的誤差橢球?？梢?jiàn)隨著測(cè)量距離的增長(zhǎng)，測(cè)角誤差引起的測(cè)量誤差將增大。因此,提出了只利用激光跟蹤儀測(cè)距信息的順次多站測(cè)量法[23]。

圖3 激光跟蹤儀測(cè)量的誤差橢球Fig.3 The uncertainty ellipsoid of laser tracker measurement

3.2 順次多站法

激光跟蹤儀順次多站測(cè)量法是以1臺(tái)激光跟蹤儀在不同站位下測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)，圖4為其測(cè)量原理示意圖。激光跟蹤儀依次在不同站位對(duì)空間公共點(diǎn)即增強(qiáng)型參考系統(tǒng)(enhanced reference system，ERS)進(jìn)行測(cè)量，以公共點(diǎn)ERS1為原點(diǎn)建立多站測(cè)量系統(tǒng)的全局坐標(biāo)系，X軸由公共點(diǎn)ERS1指向公共點(diǎn)ERS2，公共點(diǎn)ERS1、ERS2、ERS3確定X0-Y0平面，Y0、Z0軸由右手定則確定，此時(shí)公共點(diǎn)坐標(biāo)值分別為ERS1(0,0,0)、ERS2(x2,0,0)、ERS3(x3,y3,0)、ERSi(xi,yi,zi)。4臺(tái)激光跟蹤儀站位分別記作：S1(XS1,YS1,ZS1)，S2(XS2,YS2,ZS2)，S3(XS3,YS3,ZS3)，S4(XS4,YS4,ZS4)。

圖4 順次多站法測(cè)量原理Fig.4 Principle of sequential multi-station measurement

假設(shè)測(cè)量空間中共有i個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)公共點(diǎn)ERSi(xi,yi,zi)，利用空間中兩點(diǎn)距離與4個(gè)跟蹤儀站位可建立4個(gè)距離誤差εi1,εi2,εi3,εi4方程：

(3)

式中Li1～Li4分別為S1～S4站位第i個(gè)共點(diǎn)之間的距離。

根據(jù)式可以建立包含4i個(gè)獨(dú)立方程的方程組，而方程組獨(dú)立未知參數(shù)的個(gè)數(shù)為3(i-3)+3+12，包括4個(gè)站位的12個(gè)未知參數(shù)、公共點(diǎn)ERS1、ERS2、ERS3的3個(gè)未知參數(shù)及剩余(i-3)個(gè)公共點(diǎn)的3(i-3)個(gè)未知參數(shù)。當(dāng)獨(dú)立方程個(gè)數(shù)4i大于等于獨(dú)立未知參數(shù)個(gè)數(shù)3(i-3)+3+12時(shí)，即i≥6時(shí)，可通過(guò)將式(4)最小化求解出測(cè)量系統(tǒng)的所有未知參數(shù)。

由式(3)可得到：

(4)

式(4)為非線(xiàn)性最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，可通過(guò)最小二乘法、高斯牛頓法等方法求解。

4 基于PDOP激光跟蹤儀站位優(yōu)化

在GPS(global positioning system)測(cè)量中，通常以PDOP的大小來(lái)評(píng)價(jià)衛(wèi)星分布對(duì)定位精度的影響程度，PDOP還可表示天空中衛(wèi)星分布的幾何空間強(qiáng)度因子，當(dāng)PDOP值越小時(shí)，表示衛(wèi)星與定位點(diǎn)之間的幾何分布關(guān)系越好，定位點(diǎn)的定位精度越高，反之越差。本文借鑒GPS定位原理，引入PDOP作為評(píng)價(jià)激光跟蹤儀位置精度的指標(biāo)。在預(yù)先標(biāo)定好測(cè)量網(wǎng)絡(luò)中公共點(diǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，將公共點(diǎn)等效為GPS測(cè)量系統(tǒng)的中的衛(wèi)星，激光跟蹤儀位置等效為GPS測(cè)量系統(tǒng)的被測(cè)目標(biāo)，如圖5所示。

圖5 基于PDOP激光跟蹤儀站位優(yōu)化Fig.5 Position optimization of laser tracker based on PDOP

假設(shè)激光跟蹤儀最優(yōu)站位點(diǎn)X(x,y,z)，公共點(diǎn)坐標(biāo)Ci(xi,yi,zi)，激光跟蹤儀到各公共點(diǎn)的距離可以由跟蹤儀測(cè)量得到，各公共點(diǎn)的坐標(biāo)已知，理論上有3個(gè)公共點(diǎn)就可以確定跟蹤儀站位的坐標(biāo)，為了保證測(cè)量精度，參照文獻(xiàn)[8]選取4個(gè)公共點(diǎn)來(lái)確定激光跟蹤儀的坐標(biāo)，激光跟蹤儀的測(cè)距殘差為:

(5)

式中：ri為殘差；Li為測(cè)量距離；i=1,2,3,4。

令x=x0+Δx，y=y0+Δy，z=z0+Δz，X0(x0,y0,z0)為激光跟蹤儀最優(yōu)站位的坐標(biāo)值，按Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)并略去高階項(xiàng)[9]，可得線(xiàn)性方程：

(6)

寫(xiě)成矩陣形式：

按最小二乘原理RTR=min，可得式線(xiàn)性方程組的最小二乘解：

ΔX=(ATA)-1ATL

(8)

激光跟蹤儀的距離測(cè)量為獨(dú)立等精度測(cè)量，測(cè)距向量L的協(xié)方差矩陣Cov(L),Cov(L)=Iσl，其中I為單位矩陣；未知參數(shù)ΔX的協(xié)方差矩陣為

Cov(X)=(ATA)-1ATCov(L)((ATA)-1AT)T

(9)

式中：σl為激光跟蹤儀的測(cè)距精度，其值為常數(shù)。

(10)

協(xié)方差矩陣的主對(duì)角元素是未知參數(shù)Δx、Δy、Δz的方差，即：

(11)

σ=Mσ1

(12)

(13)

當(dāng)公共點(diǎn)布局確定后，求解最小PDOP值，該最小值表征跟蹤儀站位精度最高、不確定度最小的位置，即激光跟蹤儀的最優(yōu)站位。

5 多站測(cè)量系統(tǒng)被測(cè)目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)求解

將激光跟蹤儀依次移動(dòng)到最優(yōu)站位，利用激光跟蹤儀測(cè)距功能測(cè)得跟蹤儀與各公共點(diǎn)及各目標(biāo)點(diǎn)之間的距離，首先求解激光跟蹤儀的坐標(biāo)值，再以該跟蹤儀坐標(biāo)信息及到各目標(biāo)點(diǎn)距離信息求解出被測(cè)目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)值,圖6為測(cè)量示意圖。M1、M2、M3為被測(cè)目標(biāo)點(diǎn)，ERS0、ERS1、ERS2、ERS3、ERS4和ERSi為3.2節(jié)所述的公共點(diǎn)，SP1、SP2、SP3和SP4為優(yōu)化后的激光跟蹤儀站位。

圖6 基于站位優(yōu)化的順次多站測(cè)量Fig.6 Sequential multi-station measurement based on station position optimization

被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)可由式(14)得出，已知到目標(biāo)點(diǎn)測(cè)量距離和激光跟蹤儀坐標(biāo)求解。

(14)

將式(14)整理為

(15)

式(15)同樣為非線(xiàn)性最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，可以通過(guò)最小二乘法、高斯牛頓法等方法求解。

6 順次多站法站位優(yōu)化仿真與實(shí)驗(yàn)

6.1 順次多站法站位優(yōu)化仿真

為了分析激光跟蹤儀在空間中的位置精度與所在位置的關(guān)系，分別對(duì)激光跟蹤儀在笛卡爾坐標(biāo)系3個(gè)方向上變動(dòng)時(shí)的位置精度進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)分析。

6.1.1 激光跟蹤儀垂直方向移動(dòng)

為研究激光跟蹤儀在不同高度上PDOP值的變化規(guī)律，選取4個(gè)公共點(diǎn)進(jìn)行仿真，公共點(diǎn)坐標(biāo)值分別為ERS1=[0 0 0]，ERS2=[1 500 0 0]，ERS3=[0 1 500 0]，ERS4=[1 500 1 500 0]，激光跟蹤儀坐標(biāo)X=[100 580Z]。

仿真結(jié)果如圖7所示，可見(jiàn)PDOP值隨著Z向高度先變小再變大，當(dāng)高度值為600附近時(shí)，PDOP值最小，表明PDOP在Z向存在一個(gè)最小值。

圖7 PDOP值與Z向高度間的關(guān)系Fig.7 The relationship between PDOP value and Z height

6.1.2 激光跟蹤儀水平面內(nèi)移動(dòng)

公共點(diǎn)位置不變，激光跟蹤儀高度分別設(shè)定為900 mm、1 500 mm、1 800 mm，3種情況下使其在水平面內(nèi)移動(dòng)，仿真獲得的PDOP值與激光跟蹤儀位置關(guān)系如圖8所示。

從仿真結(jié)果可以看出，不同高度下水平面內(nèi)的PDOP值的變化規(guī)律一致，最小值在平面中心位置，即該平面內(nèi)激光跟蹤儀的最優(yōu)站位。

6.2 實(shí)驗(yàn)

基于以上仿真結(jié)果分析，本實(shí)驗(yàn)設(shè)置了11個(gè)自標(biāo)定公共點(diǎn)，4個(gè)激光跟蹤儀站位，3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)(機(jī)器人末端標(biāo)定板上的目標(biāo)點(diǎn))，使用激光跟蹤儀測(cè)量各站位到11個(gè)自標(biāo)定公共點(diǎn)和3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)之間的距離，使用3.2節(jié)的標(biāo)定算法，求解自標(biāo)定公共點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)和激光跟蹤儀站位的坐標(biāo)?；谝阎墓颤c(diǎn)坐標(biāo)，選取優(yōu)化各激光跟蹤儀站位的公共點(diǎn)組，并根據(jù)第4節(jié)計(jì)算激光跟蹤儀最優(yōu)站位。本實(shí)驗(yàn)使用API-T3激光跟蹤儀，測(cè)量精度為15 μm+5 μm/m；API-XD激光干涉儀，直線(xiàn)度測(cè)量精度為(1+0.2) μm/m。

圖8 不同高度的PDOP值Fig.8 PDOP values of different heights

圖9為公共點(diǎn)布置示意圖。

圖9 順次多站測(cè)量系統(tǒng)示意圖Fig.9 Schematic diagram of sequential multi-station measurement system

實(shí)驗(yàn)中激光跟蹤儀在高度方向不變，只是在水平方向上移動(dòng)，先后放置在4個(gè)不同的位置，分別測(cè)量11個(gè)公共點(diǎn)和3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，使用SA軟件得到激光跟蹤儀到各公共點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間的距離，利用式(13)和式(14)計(jì)算11個(gè)公共點(diǎn)、3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)和4個(gè)激光跟蹤儀的坐標(biāo)。表1為自標(biāo)定坐標(biāo)值。

自標(biāo)定后，選取4個(gè)已知坐標(biāo)的公共點(diǎn)，以PDOP值為優(yōu)化目標(biāo)優(yōu)化得到的激光跟蹤儀在其固定高度上的最優(yōu)站位，圖10所示為優(yōu)化后激光跟蹤儀站位布局圖。

圖10 優(yōu)化后激光跟蹤儀站位布局Fig.10 Optimized laser tracker station layout

表1 自標(biāo)定系統(tǒng)坐標(biāo)Tab.1 Self-calibration system coordinates mm

表2所示為以PDOP值為評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)化得到的激光跟蹤儀坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的PDOP值。

表2 基于公共點(diǎn)的激光跟蹤儀站位優(yōu)化Tab.2 Position optimization of laser tracker based on common points

實(shí)驗(yàn)中，機(jī)器人末端目標(biāo)點(diǎn)的理論坐標(biāo)未知，為表征測(cè)量精度，用標(biāo)定板上被測(cè)目標(biāo)點(diǎn)之間的距離測(cè)量來(lái)獲取，標(biāo)定板上的目標(biāo)點(diǎn)間距作為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度，可事先用激光干涉儀測(cè)得，如圖11所示。

圖11 靶球間距理論值測(cè)量Fig.11 Theoretical measurement of target ball spacing

從表3可以看出，站位優(yōu)化后L1、L2、L3的距離誤差由自標(biāo)定測(cè)量的55.1、48.3、46.8 μm分別降低到12.4、33.0、26.1 μm，標(biāo)準(zhǔn)差由29.0 μm降低到14.6 μm，優(yōu)化站位后的順次多站測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度可提高50%以上。

表3 標(biāo)定板靶球距離Tab.3 Calibration plate target ball distance mm

7 結(jié) 論

本文提出了一種激光跟蹤儀站位優(yōu)化方法，以提高機(jī)器人與大型構(gòu)件的相對(duì)位置精度，在分析激光跟蹤儀測(cè)量誤差的主要來(lái)源基礎(chǔ)上，建立了順次多站測(cè)量系統(tǒng)中激光跟蹤儀的站位優(yōu)化模型，給出了跟蹤儀位置精度最優(yōu)求解算法。本文方法在預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定出測(cè)量系統(tǒng)公共點(diǎn)坐標(biāo)基礎(chǔ)上，選取4個(gè)公共點(diǎn)，以激光跟蹤儀位置PDOP因子最小為優(yōu)化目標(biāo)，確定激光跟蹤儀最優(yōu)站位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：優(yōu)化站位后的測(cè)量系統(tǒng)比自標(biāo)定測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度提高50%以上，從而驗(yàn)證了本文方法對(duì)提高測(cè)量精度的有效性。