與“線性元素”有關(guān)的全等三角形的性質(zhì)與判定

胡歧曦

(江蘇省南京市旭東中學(xué) 210044)

1 什么是“線性元素”

三角形的三邊(或它們的長度)和三角形的內(nèi)角(或它們的大小)以及由它們所確定的幾何圖形(或相應(yīng)的幾何量)統(tǒng)稱為三角形的元素．其中，三角形的三邊及三內(nèi)角稱為三角形的基本元素．除此之外的三角形的元素稱為三角形的非基本元素．與三角形有關(guān)的線段又稱之為三角形的“線性元素”，如三角形的高線、中線、角平分線等．[1](下文所述的“基本元素”指三角形的邊、角，“線性元素”則特指三角形的高線、中線或角平分線．)

2 為什么要研究與線性元素有關(guān)的全等三角形的性質(zhì)與判定

2.1 體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的一致性

全等三角形是平面幾何中最重要的概念之一．定義、表示方法、性質(zhì)與判定等共同構(gòu)成了這個(gè)概念的若干子集．全等三角形具有怎樣的性質(zhì)？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對(duì)此沒有具體表述．縱觀各版本教材，對(duì)此描述大體相同，即“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”．這其實(shí)僅僅是對(duì)全等三角形的定義“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”的具象描述而已．然而，無論是課程標(biāo)準(zhǔn)，還是教材，對(duì)相似三角形的性質(zhì)都有具體表述．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求“了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方”[2]．這里所述的對(duì)應(yīng)線段即是前文所述的三角形的線性元素的一般化指稱．人教版九年級(jí)下冊(cè)第27章《相似》第2.2節(jié)“相似三角形的性質(zhì)”則更加明確地指出“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比”“相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”等．

為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前后呼應(yīng)，加深學(xué)生對(duì)全等三角形中對(duì)應(yīng)元素之間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，我們有理由建議在全等三角形的教學(xué)過程中，增加對(duì)與線性元素有關(guān)的全等三角形的性質(zhì)的系統(tǒng)探究．

2.2 源于學(xué)生認(rèn)知的需要

在“探索三角形全等的條件”的教學(xué)過程中，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：

如圖1，已知△ABC,嘗試用最少的條件畫出△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC，并寫出畫圖過程中所需要的條件.

圖1

有學(xué)生是這么操作的：如圖2，先畫B′C′=BC；再在B′C′的相同位置畫垂線段A′D′等于△ABC的高AD，確定A′的位置，從而確定△A′B′C′．

圖2

這個(gè)操作活動(dòng)，主要是為了引導(dǎo)學(xué)生憑借幾何直觀，積累用最少的條件確定三角形的經(jīng)驗(yàn)，從而探索得到兩個(gè)三角形全等的充分條件．絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)借助邊、角等基本元素確定三角形，這個(gè)例子中的學(xué)生則是借助三角形的高A′D′這個(gè)線性元素確定第三個(gè)頂點(diǎn)A′的位置，這足以說明學(xué)生對(duì)如何確定一個(gè)三角形存在著多元化的認(rèn)識(shí)．順著學(xué)生思維發(fā)展的方向，我們可以發(fā)散性地提出更多的假設(shè)，并就某些命題予以嚴(yán)格的邏輯證明．

另外，從“命題-逆命題”的關(guān)系入手，在研究完全等三角形的性質(zhì)之后，我們也可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形全等的條件再次展開探索與發(fā)現(xiàn)，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題的契機(jī)[3]．

3 與線性元素有關(guān)的全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的性質(zhì)，就是研究兩個(gè)全等三角形的要素的相互關(guān)系．與線性元素有關(guān)的全等三角形的性質(zhì)可以歸納如下：

全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．

一般地，

全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等．

4 與線性元素有關(guān)的全等三角形的判定

全等三角形的判定，就是研究兩個(gè)三角形全等的充分條件．教材從三角形的基本元素的相互關(guān)系入手，給出了三個(gè)基本事實(shí)“邊角邊”“角邊角”“邊邊邊”，再結(jié)合三角形的性質(zhì)給出一條推論“角角邊”．如果由基本元素與線性元素的關(guān)系給出，還可以得到大量的命題．

4.1 命題的分類標(biāo)準(zhǔn)

將三角形的6個(gè)基本元素(3條邊、3個(gè)內(nèi)角)以及它的9個(gè)線性元素(3條高、3條中線、3條角平分線)進(jìn)行組合，可以得到若干命題．現(xiàn)將分類標(biāo)準(zhǔn)描述如下：

一級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)：基本元素與線性元素的個(gè)數(shù)．分為4大類：3個(gè)基本元素；2個(gè)基本元素和1個(gè)線性元素(如2條邊和1條高)；1個(gè)基本元素和2個(gè)線性元素(如1條邊和2條高)；3個(gè)線性元素(如3條高)．

二級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)：元素的類別．

三級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)：元素的相對(duì)位置(如2條邊和1條高分別相等，就包含“其中1條等邊上的高”和“第3邊上的高”兩種情形)．

4.2 部分命題的證明與證偽

4.2.1證明

命題1兩邊分別相等及第三邊上的中線相等的兩個(gè)三角形全等．

如圖3，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，BD，B′D′分別是△ABC，△A′B′C′的中線，且BD=B′D′．求證：△ABC≌△A′B′C′．

圖3

證法1 如圖4，分別取AB，A′B′中點(diǎn)E，E′，連結(jié)ED，E′D′．易證ED=E′D′，BE=B′E′，又BD=B′D′，故△BED≌△B′E′D′，∠EBD=∠E′B′D′，∠EDB=∠E′D′B′．由ED∥BC，E′D′∥B′C′，可得∠EDB=∠DBC，∠E′D′B′=∠D′B′C′，進(jìn)而可得∠ABC=∠A′B′C′．即可根據(jù)“SAS”證得△ABC≌△A′B′C′．

圖4

證法2 如圖5，分別延長BD，B′D′至點(diǎn)F，F(xiàn)′，使DF=BD，D′F′=B′D′，連結(jié)FC，F(xiàn)′C′．易證△ABD≌△CFD，△A′B′D′≌△C′F′D′，進(jìn)而可證CF=C′F′，又可證BF=B′F′，已知BC=B′C′，于是可得△BCF≌△B′C′F′，∠FBC=∠F′B′C′，∠F=∠F′．由△ABD≌△CFD，△A′B′D′≌△C′F′D′可得∠F=∠ABD， ∠F′=∠A′B′D′，進(jìn)而可得∠ABC=∠A′B′C′．即可根據(jù)“SAS”證得△ABC≌△A′B′C′．

圖5

命題2一邊及其對(duì)角分別相等及該邊上的高相等的兩個(gè)三角形全等．

如圖6，在△ABC和△A′B′C′中，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，AD，A′D分別是△ABC，△A′B′C′的高，且AD=A′D′．求證：△ABC≌△A′B′C′．

圖6

圖7

命題3三條中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

如圖8，在△ABC中，中線AM，BN，CP相交于點(diǎn)O，在△A′B′C′中，中線A′M′，B′N′，C′P′相交于點(diǎn)O′，且AM=A′M′，BN=B′N′，CP=C′P′．求證：△ABC≌△A′B′C′．

圖8

證明 結(jié)合三角形重心的性質(zhì)，易證OA=O′A′，OB=O′B′，OP=O′P′．根據(jù)命題1可知△AOB≌△A′O′B′，AB=A′B′．同理可得BC=B′C′，AC=A′C′．即可根據(jù)“SSS”證得△ABC≌△A′B′C′．

4.2.2證偽

命題4兩邊分別相等及第三邊上的高相等的兩個(gè)三角形全等．

如圖9，AD是△ABC的高．以點(diǎn)A為圓心、AC長為半徑作弧，交BC邊于另一點(diǎn)C′．顯然，△ABC與△ABC′滿足條件“兩邊分別相等及第三邊上的高相等”，但△ABC與△ABC′不全等，故命題不成立．

圖9

命題5一角及其一條鄰邊相等及另一條鄰邊上的中線相等的兩個(gè)三角形全等．

如圖10，在△ABC中，C′是AC上一點(diǎn)，M，N分別是AC，AC′的中點(diǎn)，且BM=BN．顯然，△ABC與△ABC′滿足條件“一角及其一條鄰邊相等及另一條鄰邊上的中線相等”，但△ABC與△ABC′不全等，故命題不成立．

圖10

4.3 結(jié)論推廣

4.3.1從線性元素到對(duì)應(yīng)線段

可將三角形的高線、中線、角平分線推廣至對(duì)應(yīng)線段．如：三邊上的三條對(duì)應(yīng)線段分別相等的兩個(gè)三角形全等．

圖11

4.3.2從全等到相似

首先，我們來看一道題(南京市2020年中考試卷第26題)：

圖12

證明的途徑可以用下面的框圖(圖13)表示，請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭瘢?/p>

圖13

兩個(gè)命題可以分別論述為：

兩邊及其中一邊上的對(duì)應(yīng)線段成比例的兩個(gè)三角形相似；

兩邊及第三邊上的對(duì)應(yīng)線段成比例的兩個(gè)三角形相似．

事實(shí)上，全等是相似的一種特例，前面研究所得的結(jié)論都可以從全等推廣到相似．具體證明方法與全等類似，這里不再贅述．

5 結(jié)語

項(xiàng)武義認(rèn)為：“三角形既簡單又能充分反映空間的本質(zhì)．”[4]這說明三角形雖然簡單但是很重要，掌握好三角形的知識(shí)就意味著理解了空間的大部分基本性質(zhì)．對(duì)三角形的要素的認(rèn)識(shí)及其相互關(guān)系的研究，有利于學(xué)生更加深刻地理解三角形的空間形式，對(duì)于后面的學(xué)習(xí)具有示范性．