融史再創(chuàng)構(gòu)情境 探邊尋角悟精神
——以“倍角公式”拓展探究教學(xué)為例

鮑佳麗 朱 哲

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出“高中數(shù)學(xué)課程的基本理念要以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”[1].而數(shù)學(xué)拓展性探究課程就如科學(xué)精神與創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的源頭活水,賦予數(shù)學(xué)課堂以生機(jī).國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中也指出要“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué),認(rèn)真開展驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)”[2].高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分挖掘教材中的可拓展探究因子,借助數(shù)學(xué)史這一有力抓手,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂中科學(xué)精神與創(chuàng)新意識(shí)的培育.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)

1.1 內(nèi)容與學(xué)情分析

倍角公式作為三角恒等變換中最常用的公式,往往能在解題中簡(jiǎn)化過程、另辟蹊徑.教材中倍角公式的推導(dǎo)依賴于兩角和差公式的應(yīng)用,在讓推導(dǎo)過程簡(jiǎn)便的同時(shí)也使倍角公式的教學(xué)趨于單一,不能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層理解,使得倍角公式的學(xué)習(xí)偏向死記硬背,不利于學(xué)生靈活運(yùn)用.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”實(shí)現(xiàn)倍角公式推導(dǎo)過程的直觀呈現(xiàn),將有助于學(xué)生識(shí)記與理解公式.倍角公式的推導(dǎo)也不應(yīng)局限于最常用的二倍角變換.當(dāng)二倍角公式呈現(xiàn)后學(xué)生會(huì)自然產(chǎn)生三倍角變換的疑問,應(yīng)當(dāng)把握這恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī),開展拓展性探究教學(xué).同時(shí),舊版人教版(A版)教材和現(xiàn)行蘇教版(2019年版)教材均將三倍角公式的證明放置在習(xí)題中,但并未給予明確定義.三倍角公式應(yīng)用廣泛,可突破教材限制,適時(shí)開展基于數(shù)學(xué)史的拓展探究,將有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn),感受數(shù)形結(jié)合的思想方法.

高一年級(jí)學(xué)生已學(xué)習(xí)過尺規(guī)作圖、三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,會(huì)解直角三角形,會(huì)利用尺規(guī)作圖解決簡(jiǎn)單的幾何作圖問題,具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備;已接觸數(shù)形結(jié)合的思想方法并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.本堂拓展探究課可根據(jù)學(xué)生具體學(xué)情增減“五倍角公式”的開放性探究活動(dòng),可設(shè)置在“兩角和差的三角函數(shù)”內(nèi)容之后直接作為倍角公式的推導(dǎo)展開,也可以設(shè)置在“倍角公式”內(nèi)容之后作復(fù)習(xí)鞏固使用.

1.2 三等分角問題中的三角學(xué)內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)史上,尺規(guī)作圖三等分角命題的探究經(jīng)歷了曲折的過程,相傳阿基米德用一把標(biāo)有固定長(zhǎng)度的直尺解決了這一難題,卻因破壞尺規(guī)作圖約定又陷入了破解困局.之后帕普斯(Pappus)將三等分角問題轉(zhuǎn)化為“斜向問題”,其圖形繪制與阿基米德方法具有極大的相似性,其內(nèi)在聯(lián)系已無從考據(jù),但“斜向問題”中二倍角、三倍角的存在使得其中蘊(yùn)涵著豐富的三角學(xué)內(nèi)涵[3].解直角三角形過程中可直觀“發(fā)現(xiàn)”二倍角、三倍角公式,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn),有豐富的教學(xué)意義.

1.3 弗賴登塔爾的HPM思想

弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的根源是常識(shí),人們往往需要通過實(shí)踐反思這些常識(shí),再加以橫向或縱向“再創(chuàng)造”[4].其HPM思想在教學(xué)中主要體現(xiàn)為教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的表達(dá),即以歷史發(fā)生原理為指導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)發(fā)展歷程“再創(chuàng)造”出所學(xué)知識(shí),從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)在教學(xué)過程中貫徹“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”以實(shí)現(xiàn)學(xué)生樂趣獲得與教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的微妙平衡,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的“再創(chuàng)造”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化,實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用實(shí)踐.

2 教學(xué)過程

基于弗賴登塔爾的HPM思想[4],將本堂倍角公式拓展探究課分為四個(gè)基本流程:置身歷史情境,提出數(shù)學(xué)問題;借助名家方法,優(yōu)化解題過程;探究邊角關(guān)系,發(fā)現(xiàn)倍角公式;合理外推結(jié)論,感悟數(shù)學(xué)精神.

2.1 置身歷史情境,提出數(shù)學(xué)問題

問題1 亞歷山大城郊正在為小公主修建圓形別墅.現(xiàn)有寢殿O、南門C、河流AB(圖1).需在河流AB上修建一座橋,使得尚未修建的北門到寢殿的距離與北門到橋的距離相等,且北門、橋、南門在同一直線上.據(jù)傳古希臘人為了邏輯思維能力的比拼,嚴(yán)格限制幾何作圖的工具.如果你是古希臘人,你將如何利用“尺規(guī)作圖”解決這個(gè)問題？

圖1 亞歷山大城 郊圓形別墅示意圖

學(xué)生繪制出草圖(圖2),發(fā)現(xiàn)隨意繪制出的草圖并不能讓北門E、橋D、南門C在同一直線上.

圖2 學(xué)生草圖 圖3 圓形別墅建造方案示意圖

教師引導(dǎo)學(xué)生繪制出別墅建設(shè)方案圖紙(圖3).

問題2 從邊的關(guān)系OE=DE出發(fā)無法找到符合條件的點(diǎn)D,如何解決？

問題3 不用量角器怎么把一個(gè)角三等分？

設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)要明確“尺規(guī)作圖”的作圖限制,有助于三等分角難題的引出,讓學(xué)生感受尺規(guī)作圖解三等分角何以困難、何以經(jīng)久不衰、何以具有巨大的探究?jī)r(jià)值.

2.2 借助名家方法,優(yōu)化解題過程

圖4 阿基米德 三等分角方法

說明：阿基米德三等分角方法僅是權(quán)宜之計(jì),其標(biāo)上半徑長(zhǎng)度的行為已經(jīng)破壞了“尺規(guī)作圖”約定.

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,三等分角問題的探索從未止步.教師將阿基米德方法中多余的線去除,通過添加輔助線、旋轉(zhuǎn)變換得到古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯由三等分角問題轉(zhuǎn)化而來的“斜向問題”[5](圖5).

圖5 帕普斯斜向問題

設(shè)計(jì)意圖借助歷史背景,讓阿基米德和帕普斯“幫”學(xué)生優(yōu)化解題步驟,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展至今,離不開先輩的智慧凝練,我們都是“站在巨人的肩膀上”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí).

2.3 探究邊角關(guān)系,發(fā)現(xiàn)倍角公式

探究活動(dòng)1 倍角公式推導(dǎo)

問題4 借助阿基米德和帕普斯的方法,如何求出各邊的長(zhǎng)度？

學(xué)生回答解直角三角形,找出圖5中出現(xiàn)的所有直角三角形,設(shè)OD的長(zhǎng)為1,∠OKL的大小為α,以小組為單位解直角三角形.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在此學(xué)習(xí)階段未學(xué)習(xí)正、余弦定理,還不能將三角函數(shù)與任意三角形的邊聯(lián)系起來,需利用直角三角形搭建腳手架來表示邊的關(guān)系.三角函數(shù)的學(xué)習(xí)從銳角三角形出發(fā),應(yīng)有意識(shí)地回到三角形中去,深化數(shù)形結(jié)合的思想.

小組1:在Rt△DIK中,IK=2,DI=2sinα,DK=2cosα.

小組2:在Rt△DMK中,DM=2sinαcosα,MK=2cos2α.

小組3:在Rt△DMJ中,MJ=cos 2α.

小組4:在Rt△DIM中,IM=2sin2α.

小組5:在Rt△DOM中,DM=sin 2α.

教師根據(jù)小組2和小組5的計(jì)算結(jié)果引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”sin 2α=2sinαcosα,并引出正弦的二倍角公式.

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)教學(xué)過程中表面上看是在用數(shù)形結(jié)合的方法利用三角函數(shù)來表示邊的關(guān)系,實(shí)質(zhì)上是通過邊長(zhǎng)的表示來自然地“發(fā)現(xiàn)”倍角公式.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦的二倍角公式與邊MJ有關(guān),據(jù)MJ=MK-KJ=JI-IM得到cos 2α=2cos2α- 1=1-2sin2α.

探究活動(dòng)2 三倍角公式推導(dǎo)

問題5 我們已經(jīng)得到了最常用的兩個(gè)倍角公式，那三倍角呢？

設(shè)計(jì)意圖正如古希臘人在作出角平分線后自然提出三等分角命題,學(xué)生也會(huì)在倍角公式教學(xué)中對(duì)三倍角產(chǎn)生疑惑.不妨讓學(xué)生自然提出疑問,再開展后續(xù)教學(xué)，如若學(xué)生沒有疑問,教師再進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo).學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必要的.

學(xué)生繼續(xù)觀察圖5,教師引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)與三倍角有關(guān)的直角三角形與矩形,利用矩形的性質(zhì)找到等長(zhǎng)線段,得出以下結(jié)論：

說明:倍角公式推導(dǎo)過程也是方程思想的體現(xiàn).

2.4 合理外推結(jié)論,感悟數(shù)學(xué)精神

開放探究活動(dòng) 五倍角公式推導(dǎo)

教師借三等分角問題引出五等分角問題以推導(dǎo)五倍角公式.

類推斜向問題圖形,學(xué)生以O(shè)D的長(zhǎng)為腰作出四個(gè)等腰三角形,畫出它們各自的底邊高線(圖6),設(shè)線段OD的長(zhǎng)為1,∠ONL為α,利用這兩個(gè)值表示出圖上各邊.

圖6 五等分角問題

(2cos2α-1)=4sinαcosα(1-2sin2α).

說明:五倍角公式的推導(dǎo)是三等分角問題的開放拓展，可根據(jù)學(xué)生學(xué)情對(duì)這一環(huán)節(jié)適當(dāng)增減內(nèi)容.

3 課例簡(jiǎn)析

弗賴登塔爾認(rèn)為概念、公理定理的教學(xué)，都應(yīng)使用“再創(chuàng)造”的方法，反對(duì)生吞活剝地灌輸[4].倍角公式的教學(xué)如果能從相關(guān)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)出發(fā)，讓數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程在學(xué)生身上重現(xiàn)，將更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的理解與掌握.

3.1 歷史情境再現(xiàn) 增添課堂趣味

高中生能解決簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖問題，但尺規(guī)作圖歷史久遠(yuǎn)，正因其對(duì)邏輯思維能力的高要求才經(jīng)久不衰.本節(jié)拓展探究課通過古希臘歷史情境的再現(xiàn)，使學(xué)生置身情境之中，重拾尺規(guī)作圖方法，感受三等分角難題，增添數(shù)學(xué)課堂趣味.

3.2 名家方法呈現(xiàn) 助推問題解決

就學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)而言，解決古希臘三大幾何問題是困難的，本節(jié)課特呈現(xiàn)阿基米德、帕普斯的解決方案為學(xué)生搭建腳手架.不同于以往的教師提示，運(yùn)用數(shù)學(xué)先輩們的方法能夠讓學(xué)生感受到古人的智慧，明白數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程其實(shí)是一個(gè)不斷傳承發(fā)揚(yáng)的過程.

3.3 邊角關(guān)系探究 發(fā)現(xiàn)倍角公式

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的融入是有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”，不必讓學(xué)生經(jīng)歷三等分角的艱辛探索，不妨讓學(xué)生感受如果阿基米德和帕普斯當(dāng)時(shí)掌握了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，將如何“創(chuàng)造”邊角關(guān)系公式進(jìn)而“意外”推導(dǎo)出倍角公式.本節(jié)課中，倍角公式與其說是推導(dǎo)的，不如說是“發(fā)現(xiàn)”的，在了解掌握直角三角形的基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，列出等式，運(yùn)用方程思想整理變形，“發(fā)現(xiàn)”倍角公式.這一推導(dǎo)將不再局限于兩角和差的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而是讓學(xué)生置身于歷史情境中，站在巨人的肩膀上運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)地組織知識(shí)材料，自然地“發(fā)現(xiàn)”倍角公式；并可根據(jù)學(xué)生學(xué)情適當(dāng)增減五倍角公式的開放探究活動(dòng)，靈活組織課堂內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神與創(chuàng)新意識(shí).

本節(jié)拓展探究課著眼于倍角公式的推導(dǎo)過程的直觀呈現(xiàn)而忽視了應(yīng)用，可適當(dāng)加入相關(guān)例題習(xí)題.本節(jié)課對(duì)學(xué)生解直角三角形能力要求較高，需充分考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際，靈活增加解直角三角形的復(fù)習(xí)內(nèi)容，以確保輕負(fù)高效教學(xué)的完美實(shí)現(xiàn).