善用分析法，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)
——從波利亞的“倒著干”談起

李秉權(quán)

(廣東省惠州市惠東縣惠東中學(xué) 516399)

1 問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能[1]，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)[1]4．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．前三個(gè)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的基本思想，后三個(gè)是數(shù)學(xué)能力，這些核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體．其實(shí)質(zhì)是，通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展[1]2．

以邏輯推理為例，這是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[1]5．主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是歸納推理或類(lèi)比推理，是從特殊到一般的推理；另一類(lèi)是演繹推理，是從一般到特殊的推理．邏輯推理是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[1]5．發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)就是讓學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題，能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的聯(lián)系；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神[1]5．

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，是對(duì)數(shù)學(xué)概念課與原理課的鞏固和深化，也是發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑．如何通過(guò)問(wèn)題解決發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力以形成素養(yǎng)？筆者通過(guò)閱讀解題教學(xué)名著——波利亞的《怎樣解題》,探索發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的策略，發(fā)現(xiàn)“倒著干”的思路是發(fā)展邏輯推理能力的一種有效途徑．

2 波利亞《怎樣解題》思想的啟示

波利亞是美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，《怎樣解題》是其經(jīng)典的數(shù)學(xué)教育著作，圍繞解題的四個(gè)步驟即理解題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃與回顧反思四個(gè)方面詳細(xì)剖析了解題的思維過(guò)程[2]，并列舉了大量案例來(lái)闡述如何運(yùn)用書(shū)中提到的一系列啟發(fā)性問(wèn)題進(jìn)行解題．其中，“倒著干”章節(jié)對(duì)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)路徑探究很有裨益．“倒著干”也就是運(yùn)用逆向思維分析的思想解決問(wèn)題，書(shū)中以一個(gè)有趣的問(wèn)題說(shuō)明“倒著干”的方式和意義．

2.1 “倒著干”題例呈現(xiàn)

問(wèn)題如果你只有兩個(gè)容積分別是4 L和9 L的容器(圖1)，怎樣從一條河中恰好取出6 L水？

圖1

解決該問(wèn)題的常規(guī)思維：(1)給定的是什么？?jī)蓚€(gè)容器底面相同，則高分別為9和4，而且容器是沒(méi)有刻度的；(2)我們還不知道怎樣量出恰好6 L水，但能測(cè)量出別的東西嗎？(如果不能解決所提的問(wèn)題，先嘗試去解某道有關(guān)的題目，你能從已知數(shù)據(jù)中得出一些有用的東西嗎？)

嘗試著對(duì)兩個(gè)桶裝來(lái)倒去，如果沒(méi)有成功，又重新開(kāi)始，嘗試別的倒法．就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，只是簡(jiǎn)單地從給定的初始條件到要求的最終情況，從已知數(shù)據(jù)到未知量，在經(jīng)過(guò)許多次嘗試以后，可能會(huì)碰巧成功，但顯然不容易成功．

倒著干思維(從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行分析)：(1)要求我們做什么？即最終要達(dá)到怎樣的狀態(tài)？由此設(shè)想大桶里恰好裝有6 L水，小桶是空的，如圖2所示．

圖2 圖3 圖4 圖5

(2)研究所求的結(jié)論可根據(jù)什么前提得出？可以將大桶裝滿(mǎn)9 L水，然后再倒出恰好3 L水，因此小桶必須正好有1 L水，如圖3所示．

(3)再研究上一步即小桶的1 L水又可根據(jù)什么前提得出？通過(guò)大桶和小桶的容量差可以量出1 L水，即將大桶裝滿(mǎn)，然后倒出4 L到小桶中，再將小桶中的水倒掉，這樣連續(xù)兩次，則大桶中剩下1 L水，如圖4所示．然后將大桶中剩下的1 L水倒進(jìn)小桶即可，如圖5所示．

(4)剩下要做的是把這一過(guò)程反過(guò)來(lái)，從分析過(guò)程最后到達(dá)的點(diǎn)開(kāi)始，沿著分析的步驟回溯，找到適當(dāng)?shù)牟僮鞒绦?，并最終成功解決問(wèn)題．

2.2 “倒著干”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

首先，“倒著干”的解題方法步驟：(1)從要求的結(jié)果出發(fā)，并且假設(shè)結(jié)果已經(jīng)出現(xiàn)；(2)研究相應(yīng)的結(jié)果可根據(jù)什么前提1推出；(3)再研究前提1是根據(jù)什么前提2得出；(4)繼續(xù)再研究前提2又是根據(jù)什么前提3得出；(5)循環(huán)上面步驟，最終得到某些已知的條件或結(jié)論；(6)最后把這一分析過(guò)程反過(guò)來(lái)往回溯，從已知的條件或結(jié)論開(kāi)始綜合論證，最終找到解決問(wèn)題的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解決．

顯然“倒著干”的解題思路就是分析法，解答的書(shū)寫(xiě)過(guò)程則是綜合論證推導(dǎo)．分析與綜合是探索問(wèn)題的兩種思路，分析法是從結(jié)論一步步反推成立前提直到推出已知的過(guò)程，而綜合法是從已知出發(fā)一步步推導(dǎo)論證最后得出結(jié)論的過(guò)程．問(wèn)題解決是分析與綜合相結(jié)合的過(guò)程，分析在前綜合在后，通過(guò)分析獲得解決問(wèn)題的思路和方法，運(yùn)用綜合邏輯表達(dá)解題過(guò)程．分析存在于思維之中，綜合存在于行動(dòng)之中；分析是設(shè)計(jì)方案，綜合是執(zhí)行方案．所以分析鍛煉人的邏輯思維、發(fā)展人的創(chuàng)造力、提高人的問(wèn)題解決能力；綜合是有邏輯的表達(dá)與交流.在教學(xué)中善用分析輔之綜合，有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

“逐行規(guī)格化，按列消元”方式的計(jì)算特點(diǎn)：對(duì)第i列元素消元計(jì)算，只要調(diào)用第i行對(duì)角元素及以右元素。如對(duì)整個(gè)第1列元素消元，只要調(diào)用第1行對(duì)角元素及以右相應(yīng)元素；對(duì)整個(gè)第2列元素消元，只要調(diào)用第2行對(duì)角元素及以右相應(yīng)元素即可。此時(shí)元素調(diào)用方式只有單純的行或列循環(huán)，特別便于編寫(xiě)程序，因此計(jì)算效率更高。如果在對(duì)稱(chēng)方程組的因子表的形成過(guò)程再考慮對(duì)稱(chēng)稀疏矩陣技術(shù)的應(yīng)用，則其計(jì)算效率將更遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前者(由于篇幅所限，另文討論)。

3 適用分析法的題例特征及解題思路剖析

一般而言，題目滿(mǎn)足以下兩種情形之一，可以考慮用分析法來(lái)嘗試尋找問(wèn)題的解決方案．一種是從正面出發(fā)很難找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，另一種是可以從正面解決但討論太困難、繁瑣或難以找到分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)等．

3.1 正面解決沒(méi)有切入點(diǎn)

正向思路 抽象函數(shù)y=f(x)，顯然從正面作圖象變換沒(méi)有具體函數(shù)作為切入點(diǎn)．

3.2 正面解決比較繁瑣

案例2(2007全國(guó)I卷理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x．證明：(1)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥2；(2)若對(duì)所有x≥2都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．

分析法(倒著干) 設(shè)g(x)=ex-e-x-ax，則“對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax”等價(jià)于“g(x)≥0在x≥0時(shí)恒成立”．因?yàn)間(0)=0，所以問(wèn)題又等價(jià)于“g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)”(此時(shí)發(fā)現(xiàn)了討論的標(biāo)準(zhǔn)，找準(zhǔn)了解題方向)．

3.3 分析法解決幾何問(wèn)題

分析法也是解決許多幾何證明題和結(jié)構(gòu)不良題的一把利劍，在培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力和直觀想象能力的同時(shí)，也發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)．

案例3如圖6所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別在AA1,CC1上，且B1E⊥A1B，B1F⊥BC1．求證：BD1⊥平面B1EF．

圖6

證明因?yàn)殚L(zhǎng)方體中A1D1⊥平面A1ABB1，B1E?平面A1ABB1，所以B1E⊥A1D1．因?yàn)橐阎狟1E⊥A1B，且A1B∩A1D1=A1，所以B1E⊥平面A1BD1．因?yàn)锽D1?平面A1BD1，所以B1E⊥BD1．同理B1F⊥BD1．又因?yàn)锽1E∩B1F=B1，所以BD1⊥平面B1EF．

案例4(2023年惠州一調(diào))如圖7，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，AC∩BD=O，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)

圖7

分析法(倒著干) 從結(jié)論出發(fā)，要使平面MBD⊥平面PCD，等價(jià)于在平面PCD內(nèi)尋找一條直線(選PC)垂直于平面MBD，即等價(jià)于尋找一條直線(選PC)垂直于平面MBD內(nèi)兩條相交直線．又因?yàn)椤鱌DC≌△PBC，由此發(fā)現(xiàn)只需PC⊥DM，則可得PC⊥BM，即可得PC⊥平面MBD，從而可得平面MBD⊥平面PCD．

4 結(jié)語(yǔ)

新課標(biāo)下要求教師要與時(shí)俱進(jìn)地更新教學(xué)觀念，創(chuàng)新教學(xué)方法，探尋有效的教學(xué)模式，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．善用分析法是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的有效路徑，教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生由問(wèn)題的結(jié)論入手，逐步推理分析出解決問(wèn)題的思路，再由綜合法表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程．以分析法(倒著干)為驅(qū)動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)推理證明、邏輯表達(dá)的論證閉環(huán)，真正地讓邏輯推理素養(yǎng)落地，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展．