問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)，開放創(chuàng)新應(yīng)用
——概率或統(tǒng)計(jì)中的開放創(chuàng)新性問(wèn)題

江蘇省濱海中學(xué) 魯明星

概率或統(tǒng)計(jì)中的開放創(chuàng)新性問(wèn)題,是借助數(shù)學(xué)思維來(lái)科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題的一類創(chuàng)新問(wèn)題。此類開放創(chuàng)新性問(wèn)題,從現(xiàn)實(shí)生活中加以抽象與概括,規(guī)劃問(wèn)題情境,形成數(shù)據(jù)信息,結(jié)合大數(shù)據(jù)應(yīng)用,借助數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的圖表或數(shù)據(jù)所確定的數(shù)學(xué)要素,從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行科學(xué)創(chuàng)新與判斷,為合理判斷與決策提供理論支持。

一、與概率相關(guān)的開放創(chuàng)新性問(wèn)題

例1最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功,且試驗(yàn)成功的概率為p(0＜p＜1)?，F(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若試驗(yàn)成功,則試驗(yàn)結(jié)束;若試驗(yàn)不成功,則繼續(xù)試驗(yàn),且最多試驗(yàn)10 次。記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),且每次試驗(yàn)的成本為a(a＞0)元。

(1)寫出X的分布列。

(3)某公司有意向投資該產(chǎn)品,若p=0.25,且試驗(yàn)成功,則獲利5a元,試問(wèn):該公司應(yīng)如何決策投資? 并說(shuō)明理由。

解析：(1)由題意可得,X=1,2,3,…,10,故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P(X=10)=(1-p)9。

故X的分布列如表1所示:

表1

(2)由于E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+…+9p(1-p)8+10(1-p)9,記S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+…+9(1-p)8,則(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1-p)9,以上兩式作差,可得pS=(1-p)0+(1-p)1+(1-p)2+…+(1-p)8-9(1-p)9=

故E(X)=pS+10(1-p)9=,即結(jié)論得證。

點(diǎn)評(píng):借助概率相關(guān)知識(shí)來(lái)科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的開放創(chuàng)新性問(wèn)題,往往借助對(duì)應(yīng)事件的概率、隨機(jī)變量的方差或數(shù)學(xué)期望等數(shù)據(jù)信息與處理,與對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)意義加以對(duì)比與分析,結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境對(duì)概率數(shù)據(jù)的需求差異與變化情況,合理判斷,科學(xué)決策。

二、與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的開放創(chuàng)新性問(wèn)題

例2在實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”的進(jìn)程中,某地政府引領(lǐng)廣大農(nóng)戶發(fā)展特色農(nóng)業(yè),種植優(yōu)良品種柑橘?，F(xiàn)在實(shí)驗(yàn)基地中種植了相同數(shù)量的A、B兩種柑橘,為了比較A、B兩種柑橘品種的優(yōu)劣,在柑橘成熟后隨機(jī)選取A、B兩種柑橘各100株,并根據(jù)株產(chǎn)量X(單位:kg)繪制了如圖1和圖2所示的頻率分布直方圖(數(shù)據(jù)分組為:[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95])。

(1)求a,b的值。

(2)將頻率當(dāng)作概率,在所有柑橘中隨機(jī)抽取一株,求其株產(chǎn)量不低于80 kg的概率。

圖1

圖2

(3)求兩種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值(同一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),并從產(chǎn)量角度分析,哪個(gè)品種的柑橘更好? 說(shuō)明理由。

解析：(1)由頻率分布直方圖可得(0.01×2+0.03+0.05+0.06+a)×5=1,解得a=0.04,(0.01×2+0.03+b+0.05+0.06)×5=1,解得b=0.04。

(2)A品種柑橘株產(chǎn)量不低于80 kg的頻率為(0.04+0.05+0.06)×5=0.75,B品種柑橘株產(chǎn)量不低于80 kg的頻率為(0.03+0.01+0.01)×5=0.25,故200株柑橘中產(chǎn)量不低于 80kg 的頻率為,所以在所有柑橘中隨機(jī)抽取一株,其株產(chǎn)量不低于80 kg的概率為0.5。

(3)設(shè)A品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值為MA,可得MA=(0.01×67.5+0.01×72.5+0.03×77.5+0.04×82.5+0.05×92.5+0.06×87.5)×5=84.5。

設(shè)B品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值為MB,可得MB=(0.01×92.5+0.01×87.5+0.03×82.5+0.04×77.5+0.05×67.5+0.06×72.5)×5=75.5。

所以A品種的柑橘更好。

理由如下:方法一:A的平均產(chǎn)量大于B的平均產(chǎn)量。

方法二:由頻率分布直方圖可知,A品種柑橘株產(chǎn)量在80 kg及以上的占比為75%,B品種柑橘株產(chǎn)量在80 kg及以上的占比為25%,故A品種的柑橘更好。

點(diǎn)評(píng):借助統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)來(lái)科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的開放創(chuàng)新性問(wèn)題,重點(diǎn)是正確識(shí)別題設(shè)條件中的圖表信息或數(shù)據(jù)信息等,結(jié)合統(tǒng)計(jì)中的圖表進(jìn)行直觀分析,對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算等處理,并結(jié)合不同的問(wèn)題情境所對(duì)應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題,合理對(duì)比與分析,進(jìn)而得以正確判斷與科學(xué)決策。

三、與線性回歸模型相關(guān)的開放創(chuàng)新性問(wèn)題

例3人們用大數(shù)據(jù)來(lái)描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù),并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策。某公司通過(guò)大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量,如表2所示:

表2

該公司為了預(yù)測(cè)未來(lái)幾個(gè)月的銷售量,建立了y關(guān)于x的回歸模型

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型,求y關(guān)于x的回歸方程(的值精確到0.1)。

(2)已知該公司的月利潤(rùn)z(單位:萬(wàn)元)與x,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)的結(jié)果,試問(wèn):該公司哪一個(gè)月的月利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大?

參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

點(diǎn)評(píng):借助數(shù)據(jù)信息與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),利用最小二乘法和線性回歸方程的公式,合理構(gòu)建線性回歸模型,利用對(duì)應(yīng)的回歸模型所對(duì)應(yīng)的函數(shù),借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的應(yīng)用或?qū)?shù)的應(yīng)用等來(lái)合理判斷與科學(xué)決策,從而對(duì)一些相關(guān)的預(yù)算或決策加以合理識(shí)別與判斷,巧妙破解此類開放創(chuàng)新性問(wèn)題。

概率或統(tǒng)計(jì)中的開放創(chuàng)新性問(wèn)題,要借助數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理來(lái)表述,同時(shí)吻合概率或統(tǒng)計(jì)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,結(jié)合相關(guān)的概率或統(tǒng)計(jì)知識(shí)來(lái)解決日常生活、社會(huì)活動(dòng)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)等問(wèn)題情境下的開放創(chuàng)新性應(yīng)用問(wèn)題,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用,從而學(xué)以致用,學(xué)會(huì)利用數(shù)據(jù)說(shuō)話,進(jìn)行科學(xué)決策,體現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用精神,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。